13. Equilíbrio e elasticidade
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Versão preliminar
19 de setembro de 2002
Notas de Aula de Física
13. EQUILÍBRIO ................................................................................................................. 2
CONDIÇÕES PARA O EQUILÍBRIO ........................................................................................... 2
SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS ....................................................................................... 3
10 .................................................................................................................................. 3
15 .................................................................................................................................. 3
19 .................................................................................................................................. 4
25 .................................................................................................................................. 5
27 .................................................................................................................................. 6
34 .................................................................................................................................. 7
35 .................................................................................................................................. 8
39 .................................................................................................................................. 8
Prof. Romero Tavares da Silva
13. Equilíbrio
Condições para o equilíbrio
Diz-se que um corpo está em equilíbrio quando o seu momento linear e o seu momento angular são constantes, ou seja:
!
P = cons tan te
!
L = cons tan te
Quando as constantes mencionadas acima são nulas, diz-se que o corpo está em
equilíbrio estático. Nessa situação ele não está em movimento de translação e também
não está em movimento de rotação.
As condições expostas nas equações anteriores implicam que:
!
!
dP
= F EXT = 0
dt
!
dL ! EXT
=τ
=0
dt
ou seja, para que um corpo esteja em equilíbrio estático devemos ter as seguintes condições satisfeitas:
!
F EXT = 0
τ! EXT = 0
Cap13
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2
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Solução de alguns problemas
Capítulo 13 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
10 Uma esfera uniforme de peso P e raio r é mantida no lugar por uma corda presa a
uma parede, sem atrito, situada a uma distância L acima do centro da esfera, conforme a figura a seguir.
a) Encontre a tensão na corda.
Como a esfera está em repouso,
temos que:
! ! !
T +P +N =0
y
θ
!
T
!
N
ou seja:
!
T
L
!
N
T cos θ − P = 0
T sen θ − N = 0
!
P
!
P
Logo
T cos θ = P
⇒ T =
L2 + r 2
∴ T =
L
P
cos θ
P
onde
cos θ =
L
L +r2
2
b) Encontre a força exercida pela parede sobre a esfera.
N T sen θ
=
P T cos θ
⇒
N = P tan θ
r
∴ N = P
L
onde
tan θ =
r
L
Capítulo 13 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
15 Uma viga é transportada por três homens, estando um homem em uma das extremidades e os outros dois sustentando a viga por meio de uma trave transversal, colocada de modo que a carga esteja igualmente dividida entre os três homens. Em que
posição está colocada a trave transversal? (Despreze a massa dessa trave.)
Por exigência do enunciado, temos que:
F1 = F2 = F3 = F
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!
F1
!
P
Eixo
x
!
!
F2 + F3
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Como o corpo está em repouso a resultante de forças é nula, logo:
F1 + F2 + F3 - P = 0
!
P
!
F1
O torque resultante também é nulo. Vamos considerar o torque em relação a
uma eixo que passa ao longo da trave
transversal. Desse modo:
!
F2
x
!
F3
Eixo
L
F1 (L − x ) − P − x = 0
2
Da primeira equação encontramos que P = 3 F , e usando esse resultado na segunda equação:
3L
L
L
F (L − x ) − 3F − x = 0 ⇒ L −
+ (3 x − x ) = 0 ∴ x =
2
4
2
Capítulo 13 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
19 Duas esferas idênticas, uniformes e sem atrito, cada uma de peso P , estão em repouso conforme mostra a figura à seguir.
a) Encontre, em termos de P , as forças que atuam sobre as esferas devido às superfícies do recipiente.
θ = 450
F12 = F21 = F
P1 = P2 = P
!
N1
Os dois corpos estão em repouso, logo
a resultante das forças que atuam em
cada um deles é nula.
F sen θ − P = 0
F cos θ − T = 0
2
Das equações acima encontramos que:
T1 = T2 = F cosθ
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!
T2
!
F21
N 1 − P − F sen θ = 0
e
T − F cos θ = 0
1
!
F12
!
T1
!
P2
!
P1
!
N1
θ
!
F21
!
T1
!
P1
!
F12
θ
!
T2
!
P2
4
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e
N1 - P - P = 0
F=
⇒
N1 = 2 P
P
=P 2
sen θ
T = F cos θ = P cot anθ
⇒ T =P
b) Encontre, em termos de P , as forças que atuam sobre as esferas devido uma à
outra, se a linha que une os centros das esferas faz um ângulo de 450 com a
horizontal.
F=
P
=P 2
sen θ
Capítulo 13 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
25 Uma placa quadrada uniforme, pesando 50,0kg e tendo 2,0m de lado, está pendurada em uma haste de 3,0m de comprimento e massa desprezível. Um cabo está
preso à extremidade da haste e a um ponto na parede situado 4,0m acima do ponto
onde a haste é fixada na parede, conforme mostra a figura a seguir.
a) Qual é a tensão no cabo?
L2 = 2,0m
L3 = 3,0m
M = 50kg
L1 = 4,0m
Vamos considerar apenas as forças
que atuam na haste horizontal.
!
T
Como a placa é uniforme as forças P1
e P2 são tais que:
P1 = P2 = P / 2 = M g / 2
θ
!
FV
!
FH
!
P2
L1
!
P1
L2
Vamos considerar o torque das forças
que atuam na haste, em relação a um
eixo perpendicular ao papel e que pasL3
se no ponto onde a haste está presa na
parede.
T senθ L3 - P2 L3 - P1 ( L3 - L2 ) = 0
T sen θ L3 =
P
[L3 + (L3 − L2 )] ⇒ T = 2L3 − L2
2
2L3 sen θ
Mas
sen θ =
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L1
L21 + L23
(2L3 − L2 ) L21 + L23
⇒ T =
2L1L3
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P
P = 408,34N
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b) Qual é a componente vertical da força exercida pela parede sobre a haste?
Vamos considerar o torque das forças que atuam na haste, em relação a um eixo
perpendicular ao papel e que passe no ponto onde o cabo suspende a haste.
P1 L2 - FV L3 = 0
FV =
P1L2 PL2
=
= 163,34N
L3
2L3
c) Qual é a componente horizontal da força exercida pela parede sobre a haste?
Como a placa está em repouso, a resultante das forças que atuam nela é zero,
Segundo um eixo horizontal, as forças que atuam são tais que:
T cos θ − FH = 0
⇒
L3
FH = T cos θ = T
L2 + L2
3
1
Usando o resultado para T deduzido anteriormente, temos que:
2L − L2
FH = 3
2L1
P = 245N
Capítulo 13 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
!
27 Na figura a seguir, qual a magnitude da força F , aplicada horizontalmente no eixo
da roda, necessária para fazer a roda ultrapassar um obstáculo de altura h ? Considere r como sendo o raio da roda e P o seu peso.
Na iminência da ultrapassagem do obstáculo, a roda perdeu o contato com o solo,
e as forças que atuam nela estão mostradas na figura ao lado. Como ainda não
existe movimento, a resultante é nula.
Logo:
F - N cosθ = 0
!
N
θ
r
r-h
h
!
P
P - N senθ = 0
P N sen θ
=
= tan θ
F N cos θ
!
F
⇒
F=
P
tan θ
Mas
tan θ =
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r −h
r 2 − (r − h )
2
=
r −h
2rh − h 2
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⇒
2rh − h 2
F=
r − h
P
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Capítulo 13 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
34 Uma barra não uniforme de peso P está suspensa em repouso, na horizontal, por
duas cordas sem massa, como mostra a figura a seguir. Uma corda faz um ângulo
θ = 36,90 com a vertical e a outra faz um ângulo ϕ = 53,10 , também com a vertical.
Se o comprimento L da barra é 6,1m , calcule a distância x entre a extremidade
esquerda da barra e o seu centro de gravidade.
θ = 36,90
ϕ = 53,10
L = 6,1m
!
T1
x
!
T2
ϕ
L
Vamos calcular o torque das forças que
θ
atuam na barra em relação a um eixo
perpendicular ao papel, e que passe por
!
um ponto da extremidade esquerda da
P
barra.
τ = P x - T2 cosϕ L = 0
ou seja:
T cos ϕ
x= 2
L
P
Por outro lado, como a barra está em repouso a resultante das forças que nela atuam
é nula:
T1 cos θ + T2 cos ϕ − P = 0
! !
!
T1 + T2 + P = 0 ⇒
T sen θ − T sen ϕ = 0
2
1
Da última equação temos que:
sen ϕ
T1 = T2
sen θ
e usando esse resultado na penúltima equação, encontramos:
sen ϕ
T2 sen θ cos θ + T2 cos ϕ = P
ou seja:
T2 {sen ϕ cos θ + cos ϕ sen θ } = P sen θ
T2 sen(ϕ + θ ) = P sen θ
sen θ
⇒ T2 =
P
sen(ϕ + θ )
Mas
T cos ϕ
x= 2
L
P
⇒
L cos ϕ sen θ
x=
P
P sen(ϕ + θ )
logo
cos ϕ sen θ
x=
L = 2,23m
sen(ϕ + θ )
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Capítulo 13 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
35 Na figura a seguir, uma barra horizontal fina AB , de massa desprezível e comprimento L , é presa a uma dobradiça em uma parede vertical no ponto A e sustentada em B , por um fio fino BC , que faz um ângulo θ com a horizontal. Um peso P
pode ser movido para qualquer posição ao longo da barra, sendo a sua posição definida pela distância x desde a parede até o seu centro de massa.
a) Encontre a tensão no fio.
Iremos considerar apenas as forças que atuam na barra.
Vamos calcular o torque em relação a um eixo perpendicular à folha de
papel e que passe pelo ponto onde a
barra está presa á parede pela dobradiça (ponto A)
Como a barra está em repouso o
torque em relação a qualquer eixo é
nulo, logo:
T senθ L - P x = 0
C
!
T
B
!
FV
!
FH
θ
A
!
P
x
L
x
T =
P
L sen θ
b) Encontre a componente horizontal da força exercida sobre a barra pelo pino da
dobradiça em A .
Como a barra está em repouso a resultante das forças que nela atuam é nula. A
componente horizontal da resultante é:
x
∴ FH =
P
L tan θ
c) Encontre a componente vertical da força exercida sobre a barra pelo pino da dobradiça em A .
T cos θ − FH = 0
⇒
FH = T cos θ
Vamos considerar, agora, o torque das forças em relação a um eixo perpendicular à folha de papel e que passe pelo ponto onde o fio está preso na barra (ponto
B).
x
L − x
P (L − x ) − FV L = 0 ⇒ FV =
P ∴ FV = 1 − P
L
x
Capítulo 13 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
39 Uma tábua uniforme de comprimento L = 6,1m e peso P = 444,8N está em repouso no chão, encostada numa quina sem atrito, situada no alto de uma parede de altura h = 3,0m conforme a figura a seguir. A tábua permanece em equilíbrio para qualquer valor do ângulo θ ≥ 700 , mas escorrega para θ < 700 . Encontre o coeficiente
de atrito entre a tábua e o chão.
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θ é o ângulo limite para o deslizamento, e
isso significa que para esse ângulo a força
de atrito estático é máxima, logo
!
T
α
Fa = µE N
α
!
N
Pode-se perceber que os ângulos α e θ
são complementares, logo:
α = π/2 - θ
h
θ
!
P
!
Fa
A força da quina na tábua é perpendicular à
tábua pois não existe atrito entre as duas.
d
Como o corpo está em equilíbrio, a resultante de forças é nula e o torque resultante
também é nulo.
O torque em relação a um eixo que passe pelo ponto de apoio da escada no chão e
que seja perpendicular à folha de papel tem a forma:
-(T cosα ) h - (P senα) L/2 = 0
T =
PL sen α
2h cos α
A resultante de forças tem a forma:
T sen α − P + N = 0
! ! ! !
T + P + N + FaE = 0 ∴
− T cos α + F = 0
aE
ou seja:
FaE
µ N
T cos α
=
= E
N
P − T sen α
N
∴ µE =
T cos α
P − T sen α
e usando o resultado anterior para T , encontramos:
PL sen α
cos α
2h cos α
µE =
PL sen α
P −
sen α
2h cos α
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L
sen α
2
h
∴ µE =
= 0,3981
L sen 2 α
1−
2h cos α
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