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Elementos de Programación
Dinámica
Profesor: Juan Francisco Diaz
Elementos de . . .
jdiaz@eisc.univalle.edu.co
La Subsucesión . . .
August 11, 2002
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II
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Quit
1.
Elementos de Programación Dinámica
• Cuándo buscar una solución con esta técnica?
? Subestructura Optima
? Subproblemas dependientes.
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La Subsucesión . . .
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• Subestructura Optima:
? Un problema exhibe una Subestructura Optima si una solución
óptima al problema contiene implı́citamente soluciones óptimas a
subproblemas.
? La Subestructura óptima para un problema, normalmente sugiere
el conjunto de subproblemas que pueden llegar a aparecer.
Es muy importante que sean pocos (O(nk ))
• Subproblemas dependientes:
? El conjunto de subproblemas debe ser pequeño (polinomial en el
tamaño de la entrada), es decir, un algoritmo recursivo para el problema resuelve muchas veces los mismos subproblemas.
En este caso se dice que los subproblemas se sobreponen,es decir, no
son independientes.
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La Subsucesión . . .
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? Un problema resuelto con la técnica de Dividir y Conquistar normalmente no tiene esta caracterı́stica.
? Idea importante: almacenar las respuestas que se han calculado para
no volverlas a calcular. Esto no cuesta mucho en espacio pues el
número de subproblemas no es muy grande.
? Miremos lo costoso que puede resultar no almacenar los resultados
de los subproblemas ya resueltos:
◦ Sucesión Matrices Recursivo (p, i, j)
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La Subsucesión . . .
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1 if i = j
2 then return 0
3 m[i, j] ← ∞
4 for k ← i to j − 1
5
do q ← sucesión Matrices Recursivo (p, i, k)
+ sucesión Matrices Recursivo (p, k + 1, j)
+ p[i − 1] × p[k] × p[j]
6
if q < m[i, j]
7
then m[i, j] ← q
8 return m[i, j]
? El árbol de llamados recursivos que realiza el anterior algoritmo, para
el caso
Sucesión Matrices Recursivo (p, 1, 4)
1..4
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La Subsucesión . . .
1..1
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2..4
2..2 3..4
1..2
2..3 4..4
3..4
1..1 2..2 3..3
4..4
1..3
4..4
1..1 2..3
1..2
3..3
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Quit
3..3
4..4
2..2
3..3
2..2
3..3 1..1
2..2
De hecho se puede demostrar que
∀n ≥ 1:
T (n) ≥ 2n−1
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La Subsucesión . . .
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• T (1) ≥ 1 = 20
P
• T (n) ≥ 1 + ( n−1
k=1 (T (k) + T (n − k) + 1)), n > 1
Pn−1
= 1 + k=1 2T (k) + (n − 1)
P
k−1 + n Hip. de inducción
≥ 2 n−1
k=1 2
Pn−2
k
= 2 k=0 2 + n
= 2(2n−1 − 1) + n
= 2(2n−1 ) − 2 + n
= 2(2n−1 ) + (n − 2)
≥ 2n−1
? Moraleja: Arbol de recursión con muchas repeticiones ⇒ usar programación dinámica.
• Técnica de memorización:
◦ Cómo mejorar el algoritmo recursivo, para que no repita tantos cálculos?
◦ Cómo lograr una solución de arriba hacia abajo (top-down)?
Memorización!!
◦ Idea: Mantener el control recursivo, pero memorizando lo calculado
en una tabla.
Sucesión Matrices Memorizada (p)
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La Subsucesión . . .
1 n ← length[p] − 1
2 for i ← 1 to n
3
do for j ← i to n
4
do m[i, j] ← ∞
5 return Mire Sucesión (p, 1, n)
Mire Sucesión (p, i, j)
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1 if m [i, j] < ∞
2
then return m[i, j]
3 if i = j
4 then m[i, j] ← 0
5 else for k ← i to j − 1
6
do q ← Mirar Sucesión (p, i, k) +
Mirar Sucesión (p, k + 1, j)+
p[i − 1] × p[k] × p[j]
7
if q < m[i, j]
8
then m[i, j] ← q
9 return m[i, j]
◦ Análisis del algoritmo:
• Cada una de las n2 entradas de m, se calcula una sola vez por medio
del llamado al algoritmo recursivo.
• Todas las otras veces que se necesite su valor, se obtiene en tiempo
constante.
• La única vez que se calcula, toma O(n) tiempo, sin tomar en cuenta
los llamados recursivos, que se toman en cuenta de manera global.
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• Entonces la complejidad del algoritmo es:
θ(n2 ).O(n) + O(n2 )
| {z }
| {z }
Cálculo de Número
m[i, j]
total de
1 ≤ i < j ≤ llamados
n
recursivos
= O(n3 )
• En general, si se deben resolver todos los subproblemas al menos una
vez, se prefieren las tablas dinámicas llenadas de abajo a arriba. Sino, se
prefiere la técnica de memorización.
2.
La Subsucesión común más larga
• Dada X =< x1 , . . . , xm >, una sucesión Z =< z1 , z2 , . . . , zk > es una
subsucesión de X si existen < i1 , i2 , . . . , ik >, 1 ≤ i1 < i2 < . . . < ik ≤ n,
tales que xij = zj , j = 1, . . . , k.
Por ejemplo:X =< A, B, C, B, D, A, B >
Z =< B, C, D, B >
(i1 = 2, i2 = 3, i3 = 5, i4 = 7)
Elementos de . . .
La Subsucesión . . .
• Dadas X y Y , sucesiones, se dice que Z es una subsucesión común de X
y Y , si Z es subsucesión de X y Z es una subsucesión de Y .
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Quit
Por ejemplo X =< A, B, C, B, D, A, B >
Y =< B, D, C, A, B, A >
< B, C, A > es una subsucesión común de X y Y
< B, C, B, A > también lo es
< B, C, A, B >, < B, D, A, B > también lo son
No hay una más larga.
• El problema de la subsucesión común más larga (LCS)
Entrada: X =< x1 , . . . , xm >, Y =< y1 , . . . , yn >
Salida: La longitud de una subsucesión más larga de X y Y .
Resolveremos este problema usando Programación Dinámica.
Elementos de . . .
• Caracterizar la estructura óptima:
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? Sean X =< x1 , x2 , . . . , xm >,
Y =< y1 , y2 , . . . , yn >
y Z =< z1 , . . . , zk > una LCS de X y Y.
Entonces:
1. Si xm = yn , entonces zk = xm = yn y
< z1 , . . . , zk−1 > es una LCS de
< x1 , . . . , xm−1 > y < y1 , . . . , yn−1 >
2. Si xm 6= yn y zk 6= xm
entonces Z es una LCS de < x1 , . . . , xm−1 > y Y
3. Si xm 6= yn , y zk 6= yn
entonces Z es una LCS de X y < y1 , . . . , yn−1 >
Quit
? Entonces la estructura de una solución óptima al problema LCS,
incluye soluciones óptimas a subproblemas del mismo problema.
• Definir recursivamente el valor de una solución óptima:
Sea Xi =< x1 , . . . , xi > el i-ésimo prefijo de X.
De la caracterización se tiene que:
1. Si xm = yn entonces
LCS (X,Y) = LCS(X_{m-1},Y_{n-1}) + 1
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2. Si xm 6= yn entonces
LCS(X,Y) = max(LCS(X_{m-1},Y), LCS (X, Y_{n-1}))
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Entonces, si c[i, j] = “Longitud de la LCS (Xi , Yj )” :
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
si i = 0 o j = 0
 0
c[i − 1, j − 1] + 1
si xi = yj
c[i, j] =

M ax{c[i − 1, j], c[i, j − 1]} si xi =
6 yj
• Calcular el valor de una solución óptima:
? Existen mn subproblemas: pocos
⇒ Programación Dinánica.
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n
(i,j)
j
j-1
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2
Llenar C por filas !!
1
o llenar C por columnas !!
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?
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1
2 i-1 i
m
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? Longitud LCS(x,y)
1 m ← length[x]
2 n ← length[y]
3 for i → 1 to m
4
do c[i, 0] ← 0
5 for j ← 1 to n
6
do c[0, j] ← 0
7 for i ← 1 to m
8
do for j ← 1 to n
9
do if xi = yj
10
then c[i, j] ← c[i − 1, j − 1] + 1
11
b[i, j] ← “.”
12
else if c[i, j − 1] ≤ c[i − 1, j]
13
then c[i, j] ← c[i − 1, j]
14
b[i, j] ← “←”
15
else c[i, j] ← c[i, j − 1]
16
b[i, j] ← “↓”
17 return c y b
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O(mn)
• Construir una solución óptima
? Utilizar el arreglo b:

 .: xi = yj hace parte de una LCS de Xi , Yj
←: LCS (Xi , Yj ) = LCS (Xi−1 , Yj )
b[i, j] =

↓: LCS (Xi , Yj ) = LCS (Xi , Yj−1 )
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? Imprimir LCS (b, X, i, j)
1 if i = 0 or j = 0
2 then return
3 if b[i, j] = “ . ”
4 then imprimir LCS (b, X, i − 1, j − 1)
5
print “xi ”
6 else if b[i, j] = “ ← ”
7
then imprimir LCS (b, X, i − 1, j)
8
else imprimir LCS (b, X, i, j − 1)
O(m + n)
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• Mejorando la eficiencia
? En espacio:
◦ Eliminar b.
El espacio usado sigue siendo O(mn)
◦ Guardar sola la fila i − 1 y la fila i hasta donde va.
No sirve para reconstruir una solución.
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