Obtención de las ecuaciones de Maxwell Miguel Rodrı́guez Lago De acuerdo con el principio de relatividad, las leyes de la Fı́sica han de ser invariantes con el sistema de referencia. De forma que haciendo uso del principio de mı́nima acción buscaremos la manera de hacer invariante la integral de acción. Definimos S como el intervalo relativista en forma diferencial como dS 2 = c2 dt2 − (dx2 + dy 2 + dz 2 ) Sacando factor común c2 dt2 obtenemos que 1 dl2 v2 2 2 dS = c dt 1 − 2 2 = c dt 1 − 2 c dt c 2 2 2 y extrayendo la raı́z cuadrada r dS = cdt 1 − v2 c2 La acción depende de la relación existente entre el campo y la partı́cula, de forma que utilizaremos un cuadrivector (cuadripotencial) A que caracterice al campo, de forma que notaremos la acción como Z Spart−campo = α Ai dxi El cuadripotencial Ai lo definimos como i Ai = (Ax , Ay , Az , φ) c y la acción de la propia partı́cula será 1 2 Z Z 1− c dS = α S=α r 2 1 1 v2 c2 en donde el integrando hace las veces de lagrangiana de la partı́cula. de manera que la acción de la partı́cula libre y el campo será: Z S = −mc 2 Z 2 Ai dxi dS + e 1 1 Ahora, variamos la acción Z S = −mc 2 2 2 δS = 1 2 Ai dxi (−dxi ) + e 1 1 Z Z dxi δ(dxi ) −mc p + edxi δ(Ai ) + eAi δ(dxi ) = 0 −dx2i Agrupo los términos en δ(dxi ): Ahora, teniendo en cuenta la definición de intervalo, el término en dxi nos queda dividido por el tiempo propio que es dτ = icdt, y al dividir nos queda la velocidad ui = dxi /dτ 2 Z δS = [−mui + eAi ]δ(dxi ) + edxi δ(Ai ) = 0 1 Integro por partes el primer miembro. Debido a que en los puntos 1 y 2 la variación de x vale cero, según el principio de mı́nima acción, el factor finito por el factor integrado evaluado entre 1 y 2 se anula, quedando que Z δS = 2 [−mdui + edAi ]δ(xi ) + edxi δ(Ai ) = 0 1 Si recordamos un poco de notación tensorial dAi = ∂Ai dxk ∂xk δAi = ∂Ai δxk ∂xk y de igual forma Sustituyendo en la integral, 2 2 Z −mdui δ(xi ) − e δS = 1 ∂Ai ∂Ai δxk dxi + e dxk δxi ∂xk ∂xk Ahora, agrupo los términos en dxk δxi y multiplico y divido por el diferencial del tiempo propio en ambos términos Z δS = 1 2 dui ∂Ak ∂Ai dxk [−m −e − ]δxi dτ = 0 dτ ∂xi ∂xk dτ Nos queda una ecuación dinámica en notación tensorial, llamando Fik al tensor campo electromagnético tenemos que −m dui = eFik dτ ~ =∇ ~ ×A Si ahora recordamos cómo se definió A anteriormente, y si definimos el vector B ~ = −∇φ ~ − ∂A , obtenemos todas las componentes del tensor. yE ∂t Estas definiciones parecen un poco hechas a propósito, realmente se pueden obtener haciendo el desarrollo anterior sin utilizar cálculo tensorial para nada simplemente haciendo una analogı́a con mecánica y aplicando las ecuaciones de lagrange al integrando de la acción. No obstante, la manera tensorial es mucho más potente. Ası́, el tensor campo electromagnético es el que sigue y se ve su carácter antisimétrico de forma inmediata: Bz −By 0 −Bz 0 Bx Fik = By −Bx 0 i i i c Ex c Ey c Ez −i c Ex −i c Ey −i E z c 0 Las componentes espaciales están asociadas al campo magnético mientras que las temporales están asociadas al campo eléctrico. Si hacemos i=1 en la ecuación dinámica tensorial que obtuvimos arriba, −m dux = eF1k uk dτ 3 Si sustituı́mos tanto u como tau por la velocidad y el tiempo y hacemos operaciones, tenemos que el primer término es la derivada de un momento igual a otro término a calcular, sustituyendo los Fij por los valores que sean. Total, que al final obtenemos la ecuación de Lorentz d~p ~ = e~v × B + eE dt Es fácil demostrar que se cumple lo siguiente, para un tensor de orden 2 cualquiera: ∂Fik ∂Fkl ∂Fli + + =0 ∂xl ∂xi ∂xk Si hacemos i =1, k =2, l = 3 obtenemos lo siguiente: ∂F12 ∂F23 ∂F31 + + =0 ∂z ∂x ∂y Si miramos cuánto valen los coeficientes de F en el tensor, corresponden a Bz , Bx yBy respectivamente. Y si observamos que la derivación es justamente la divergencia, obtenemos ası́ que ~ ·B ~ =0 ∇ Si hacemos el mismo proceso para i = 1, k = 2, l = 4, obtenemos que (haciendo operaciones) ~ ~ ×E ~ = − ∂B ∇ t Dos ecuaciones de Maxwell que hemos obtenido sin utilizar más que principios de mecánica clásica. Obviamente la elección del cuadripotencial y las constantes son intencionadas para que salgan las ecuaciones, pero si usamos constantes arbitrarias obtenemos formalmente las mismas ecuaciones. Las otras dos ecuaciones de Maxwell que faltan, son las relativas a la acción del campo por sı́ mismo y se obtienen de forma similar, sin más que añadir un término invariante para el campo en la acción. 4