Teoría Espectral Stephen B. Sontz Centro de Investigación en Matemáticas, A.C. (CIMAT) Guanajuato, Mexico Mini-curso impartido en Colima 27 septiembre 2016 - Primer día Ecuación de Cuerda 1. Supongamos que hay una cuerda a lo largo del eje x. 2. La cuerda tiene desplacimientos solo en el plano xy . 3. Hay una tensión T constante a lo largo de la cuerda. 4. El ángulo α de la cuerda con el eje x siempre es pequeño. 5. La densidad ρ de masa (en gr/cm) es constante. Vamos a aplicar la Ley de Newton a un trocito de la cuerda en el intervalito [x, x + ∆x]. La única fuerza actuando sobre el trocito es la tensión. Su masa es ρ∆x. Por las hipótesis 3 y 4 la componente horizontal de la fuerza es esencialmente cero. La componente vertical es T sin α(x + ∆x) − T sin α(x). Ecuación de Cuerda Notación: u(t, x) es la distancia vertical arriba o abajo de (x, 0) al tiempo t. ∂u/∂x = tan α(x) ∼ = sin α(x) apróximamente. Entonces, F = ma en este caso es ∂u ∂2u ∂u (x + ∆x) − T (x) = ρ ∆x 2 . ∂x ∂x ∂t Ahora dividimos por ∆x y luego tomamos el límite ∆x → 0. Así obtenemos la ecuacón de onda (wave equation): T ∂2u ∂2u = ρ . ∂x 2 ∂t 2 Al definir v 2 = T /ρ con v > 0 se obtiene T ∂2u 1 ∂2u = ∂x 2 v 2 ∂t 2 donde v es una rapidez y tiene dimensiones de velocidad (o sea, metro/segundo). Separación de Variables Vamos a considerar una cuerda en el intervalo [0, L] con L > 0 y con la condición que los puntos extremos de la cuerda están fijos en el eje x. O sea, u(t, 0) = u(t, L) = 0 para todo tiempo t. Vamos a ver si u(t, x) = u1 (t)u2 (x) es solución. En tal caso la ecuación de onda es 1 u1 (t)u200 (x) = 2 u100 (t)u2 (x) v Dividiendo por u1 (t)u2 (x) se obtiene u200 (x) 1 u 00 (t) = 2 1 = −k 2 < 0. u2 (x) v u1 (t) La constante de separación tiene que ser negativa. Tomamos k > 0. La solución general es u2 (x) = A cos(k x)+B sin(k x) u1 (t) = C cos(ω t)+D sin(ω t) donde ω := v k y A, B, C, D son constantes de integración. Condiciones Las condiciones (de Dirichlet) en la frontera dicen que u2 (0) = 0 y u2 (L) = 0. Pero, u2 (0) = 0 implica que A = 0. Luego u2 (L) = 0 implica B sin(k L) = 0. Entonces, B = 0 o más bien la constante k satisface k ∈ {kn := πn/L | ∃n ∈ Z}. O sea, u2 (x) = sin(πnx/L). Y hay una restricción sobre ω. ω ∈ {ωn := v kn = v πn/L | ∃n ≥ 1}, dado que ω > 0. (Además, n > 0 y −n < 0 dan la “misma” solución.) Supongamos que la velocidad inicial es u20 (0) = 0. Pero, u20 (t) = −Cω sin(ω t) + Dω cos(ω t). Entonces, 0 = u20 (0) = Dω implica que D = 0. Entonces, u2 (t) = sin(v πnt/L) La Solución Para cada n ≥ 1 hay una solución con rapidez vn = ωn /kn un (t, x) = An sin(ωn t) sin(kn x), donde An es una constante. Por linealidad la combinación lineal X u(t, x) = An sin(ωn t) sin(kn x) n≥1 debe ser la solución general bajo ciertas hipotesis sobre An . Una consecuencia muy importante es que la cuerda tiene una frecuencia básica ω1 = v π/L que depende solamente de la tension T , la densidad ρ y la longitud L. Músicos controlan estos tres parámetros para producir la nota básica de un instrumento de cuerda (piano, guitarra, violin, etcetera). Las demás frecuencias ωn = v πn/L = n ω1 son multiples simples de la frecuencia básica. Son las notas armónicas. Es un caso de la mecánica clásica donde hay cuantización en los valores que un sistema físico puede tener. Oído y Vista El oído del ser humano puede distinguir entre las frecuencias del sonido. Por eso pusimos enfasis en la cuantización de ω. Pero hay una cuantización correspondiente en k , el número de onda (wave number). O sea, kn = πn/L para n ≥ 1. Estos números surgieron de la ecuación de eigenvalor d 2u = λu(x) dx 2 para el operador d 2 /dx 2 con condiciones de Dirichlet en la frontera del intervalo [0, L]. Ese operador resulta ser un operador auto-adjunto pero no acotado cuyo espectro consta de sus eigenvalores (y nada más) que son −kn2 = π 2 n2 /L2 . Esta estructura espacial se ve con fotos bien hechas. Rapidez y Velocidad El término básico en la solución general de la ecuación de la onda tiene la forma sin(ωn t) sin(kn x) = 1 cos(ωn t − kn x) − cos(ωn t + kn x) 2 por una identidad trigonométrica. Como hemos visto esta onda en el lado izquierdo tiene rapidez vn = ωn /kn > 0. Entonces, los dos términos en el lado derecho tienen la misma rapidez vn . Sin embargo, tienen velocidades diferentes. El término cos(ωn t − kn x) es una onda con velocidad positiva, o sea, la onda se mueve a la derecha. Y el otro término cos(ωn t + kn x) es una onda con velocidad negativa, o sea, la onda se mueve a la izquierda. Cuantización de la Luz Antes del sigo XX había dos teorías de la luz, o sea, es un flujo de partículas o más bien una onda. Resulta que es ni partícula ni onda. Pero, tiene algunas propiedades de partícula y otras de onda. Historicamente hablando fue M. Planck que introdujo antes de nadie la idea correcta. Luego A. Einstein extendió la idea a un principio general. En notación moderna se escribe E = ~ω. Se refiere a un foton que es una paquete (o partícula) de luz con energía E asociada a una onda e−i(ωt−k·x) = cos(ωt − k · x) − i sin(ωt − k · x) where k, x ∈ R3 . Pero, la luz trae también momento, que es un vector p ∈ R3 . La idea es que hay una relación análoga p = ~k. Cuantización de la Luz La rapidez c de la luz (que es la magnitud de su velocidad) entra así: ω = c ||k|| = c k . Multiplicando por ~ vemos que E = c ||p|| = c p. Una ecuación de este tipo entre energía y momento se llama una relación de dispersión. Schrödinger intentaba a encontrar una ecuación parcial diferencial para describir electrones (y otra ‘particulas’ elementarias). Empezamos con la relación de dispersión para una ‘partícula’ de masa m en mecánica clásica: 1 2 E(x, p) = p + V (x) (1) 2m donde p2 = p · p = ||p||2 . Ecuación de Schrödinger Jugando con la función de onda e−i(ωt−k·x) podemos ver que ∂ i~ e−i(ωt−k·x) = ~ωe−i(ωt−k·x) = Ee−i(ωt−k·x) . ∂t −~2 ∆e−i(ωt−k·x) = ~2 k 2 e−i(ωt−k·x) = p2 e−i(ωt−k·x) . Entonces remplazamos dos de los términos en (1) ~2 ∂ =− ∆ + V (x) ∂t 2m que es una ecuación de operadores (que mandan funciones a funciones) si tomamos el último término también como operador. Actuando sobre una función ψ = ψ(t, x) obtenemos la Ecuación de Schrödinger (dependiente de tiempo) i~ ~2 ∂ψ =− ∆ψ + V (x)ψ ∂t 2m una de las más famosas ecuaciones de toda la ciencia. Aquí vemos V (x) como el operador de multiplicación por V (x). i~ Comentarios: Ecuación de Schrödinger Es la ecuación básica de evolución temporal en física cuántica. Desempeña un papel que corresponde a la Ley de Movimiento de Newton en la Mecánica Clásica. La incognita es ψ = ψ(t, x). No es la ecuación de onda. Sin embargo una solución ψ(t, x) se llama una función de onda. Es de primer orden en tiempo. Entonces, cabe la posibilidad de obtener un problema de Cauchy. Es linear. Nótense que la Ley de Movimiento de Newton en general no es lineal. E. Schrödinger ganó el Premio Nobel en 1933 por encontrar esta ecuación. En la literatura científica hay alrededor de 105 referencias a la ecuación de Schrödinger en una de sus varias formas.