CASTILLA Y LEÓN / JUNIO 03. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / EXAMEN COMPLETO CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN Cada pregunta de la 1 a 3 se puntuará sobre un máximo de 3 puntos. La pregunta 4 se puntuará sobre un máximo de 1 punto. La calificación final se obtiene sumando las puntuaciones de las cuatro preguntas. Deben figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos efectuados por el alumno/a. OPTATIVIDAD: EL ALUMNO DEBERÁ ESCOGER UNO DE LOS DOS BLOQUES Y DESARROLLAR LAS PREGUNTAS DEL MISMO. BLOQUE A Pregunta 1A Encuentra, si existen, matrices cuadradas A, de orden 2, distintas de la matriz 1 0 1 0 identidad, tales que A = A 1 1 1 1 ¿Cuántas matrices A existen con esa condición? Razona tu respuesta. Pregunta 2A Halla el área del recinto de la figura siguiente: sabiendo que el tramo curvo corresponde a una parábola que tiene un mínimo en el punto (0, 1). Pregunta 3A Una máquina de llenado, está diseñada para llenar bolsas con 300 g de cereales. Con el objeto de comprobar el buen funcionamiento de la máquina, se eligen al azar 100 bolsas llenadas en un día y se pesa su contenido. El valor de la media muestral fue de 297 gramos. Suponiendo que la variable peso tiene una distribución normal con varianza 16, ¿es aceptable el funcionamiento de la máquina al nivel 0,05? Pregunta 4A Una moneda de 1 euro está lastrada de forma que la probabilidad de sacar cara es 0,6. Se lanza la moneda 3 veces. Calcula la probabilidad de que salga al menos una cara y una cruz. www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM CASTILLA Y LEÓN / JUNIO 03. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / EXAMEN COMPLETO BLOQUE B Pregunta 1B Para la temporada de rebajas, un comerciante decide poner a la venta 70 camisetas, 120 camisas y 110 pantalones en dos tipos de lotes. El lote A formado por 2 camisas, 1 pantalón y 1 camiseta se venderá a 60 euros, mientras que el lote B, formado por 1 camisa, 2 pantalones y 1 camiseta se venderá a 70 euros. ¿Cuántos lotes ha de hacer de cada clase para obtener el máximo de recaudación y cuánto dinero ingresará? Pregunta 2B Dada la función f ( x ) = 2 x 2 + ax + b : a) Determina los valores de a y b sabiendo que pasa por el punto (1, 3) y alcanza un extremo en el punto de abscisa x = −2. b) Representa gráficamente la función. Pregunta 3B Juan, María y Pablo quedan para ir al cine. Las probabilidades de llegar con retraso son 0,3, 0,2 y 0,1, respectivamente. El retraso o no de uno de ellos no depende de los otros dos. Calcula las probabilidades siguientes: a) Ninguno se retrasa. b) Sólo uno se retrasa. c) Sabiendo que sólo uno se retrasó, ¿cuál es la probabilidad de que fuera Juan? Pregunta 4B Para una variable aleatoria X con distribución normal se sabe que la media es de 5000 y la P(X < 3000) = 0,1587. Determina la desviación típica. www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM CASTILLA Y LEÓN / JUNIO 03. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / EXAMEN COMPLETO SOLUCIÓN A LAS PREGUNTAS DEL BLOQUE A Pregunta 1 a b Sea A = la matriz buscada. Entonces: c d b a b 1 0 1 0 a b a + b b a = ⇒ = ⇒ c d 1 1 1 1 c d c + d d a + c b + d a+b = a b=b ⇒ c + d = a + c d = b + d ⇒ b = 0; a = d. a 0 − 4 0 La matriz buscada es A = , con a ≠ 1 o c ≠ 0. Por ejemplo, A = c a 17 − 4 Pregunta 2 La ecuación general de la parábola es y = ax 2 + bx + c . Por la figura se ve que pasa por los puntos (0, 1) y (1, 2). Como el eje de simetría de la parábola pasa por el vértice, otro punto de esa curva será (−1, 2). Así pues, tenemos tres puntos de la parábola: (0, 1), (1, 2) y (−1, 2). Por pasar por (0, 1) se cumple: Por pasar por (1, 2) se cumple: Por pasar por (−1, 2) se cumple: 1=c 2=a+b+1 2 = a − b + 1 ⇒ a = 1 y b = 0. La ecuación de la parábola es y = x 2 + 1 . Calculamos ahora el área del recinto que, como vemos por la siguiente figura, se puede descomponer en dos triángulos y en un trapecio mixtilíneo (sombreado). www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM CASTILLA Y LEÓN / JUNIO 03. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / EXAMEN COMPLETO Por tanto, el área pedida, A, será igual a: A = A1 + A2 + A3 = 1·1 = + 2 1 1·2 1 x 3 1 1 17 ( x + 1) dx + = + + x + 1 = + + 1 + 1 = 0 2 2 3 2 3 6 0 1 ∫ 2 Pregunta 3 Hay que hacer un contraste de hipótesis para la media. Los datos son: µ = 300; x = 297; σ2 = 16 ⇒ σ = 4; n = 100; α = 0,05 ⇒ Zα/2 = 1,96 Haremos un contrate de hipótesis bilateral Hipótesis nula, H0: µ = x Hipótesis alternativa, H1: µ ≠ x Se rechaza la hipótesis nula si x − µ > Z α / 2 σ . n En nuestro caso: x − µ = 297 − 300 = 3 y Zα / 2 σ 4 = 1,96· = 0,784 n 100 Como 3 > 0,784, hay que rechazar la hipótesis nula. En consecuencia, se admite la hipótesis alternativa: la máquina función mal; no llena bolsas con 300 g de cereales. Pregunta 4 Como cada lanzamiento es independiente del anterior, se tienen las siguientes probabilidades: P(C) = 0,6 ⇒ P(3 Caras) = 0,63 P(X) = 0,4 ⇒ P(3 Cruces) = 0,43 Con esto, la P(de que salga al menos una cara y una cruz) = 1 − P(3 Caras) − P(3 Cruces) = = 1 − 0,63 − 0,43 = 1 − 0,28 = 0,72 www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM