1 CAP. 5 DISEÑO DE MIEMBROS EN TORSIÓN OBJETIVOS

MEC 2240 Diseño Mecánico
CAP. 5
DISEÑO DE MIEMBROS EN TORSIÓN
OBJETIVOS:
-
Demostrar la ecuación de la tensión de torsión, su aplicación y diseño
de miembros sometidos a tensiones de torsión
TEMAS:
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
5.6.
5.7.
5.8.
5.9.
5.1.
Teoría de torsión simple
Deformación angular
Tensión de torsión
Módulo de rigidez
Tensión de torsión admisible
Módulo de sección polar
Deformación angular admisible
Potencia transmitida por los ejes
Diseño de miembros en torsión
Teoría de torsión simple
Un par de torsión es un momento que tiende a hacer girar a un miembro con
respecto a su eje longitudinal.
Hibbeler
Los esfuerzos de torsión se los encuentra sobre todo en elementos giratorios como los
ejes de las maquinarias.
Cuando se somete a una pieza a un momento torsor, en la misma se crea un ángulo de
torsión que varía proporcionalmente a la longitud del eje, por lo que el tamaño de la
pieza es fundamental para obtener una relación de la deformación de la misma, así por
ejemplo en la figura de lado, se ve un eje antes de ser
sometido a un momentos torsor.
En la figura de abajo se tiene la misma pieza sometida a
un torsor que la deforma haciendo rotar su estructura
formando el ángulo de rotación.
Docente: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana
1
MEC 2240 Diseño Mecánico
5.2
Deformación angular
Observando las figuras anteriores se puede concluir lo siguiente:
Los puntos n-n’ dan la relación:
n−n
γ⋅x
ρ ⋅θ
Donde:
γ = deformación por cortante
φ = Angulo de Torsión
ρ = Radio o distancia hasta el punto de análisis.
X = Distancia o longitud del elemento
La ecuación anterior nos presenta una relación entre la longitud del elemento y su
deformación angular debido a un momento torsor.
Normalmente cuando se calcula en eje a torsión se verifica
que este resista un torsor determinado y que no exceda una
deformación pedida.
5.3
Tensión de torsión
Si un miembro de sección circular está sujeto a cargas de torsión, se producen fuerzas
cortantes; el producto de estas fuerzas cortantes por sus respectivas distancias al eje
de la flecha producen los momentos cuya suma es el torsor resistente al torsor
impuesto externamente.
Algunos enunciados que se pueden formular para obtener las relaciones de las
tensiones de torsión pueden ser:
1. La sección de flecha es plana antes de la torsión y continua plana después de
la torsión (este hecho solo se da en secciones circulares)
2. El diámetro de la flecha no varía durante la carga.
3. Los esfuerzos están dentro el rango elástico.
Docente: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana
2
MEC 2240 Diseño Mecánico
4. Las deformaciones por cortante varían linealmente desde cero en el centro del
eje hasta un máximo en el extremo radial del mismo.
Por cuanto si suponemos que la tensión en el borde del eje es τmax y las tensiones en
cualquier punto del eje son τ, se puede exponer la siguiente relación:
τmax
τ
c
ρ
De ahí se puede colegir que la fuerza en un punto
determinado será:
F
τ⋅ dA
τmax⋅
ρ
⋅ dA
c
Multiplicándolo por el radio dará:
dT
F⋅ ρ
τmax⋅
ρ
2
c
⋅ dA
Integrando:
⌠
⎮
⌡
c
⌠ τ
⎮ max 2
⋅ ρ dA
⎮
c
⌡
T
1 dT
0
0
c
τmax ⌠ 2
⋅ ⎮ ρ dA
c ⌡
T
0
La integral por definición es el momento polar de
inercia, por tanto:
T
τmax
⋅ Ip
c
Escrito de otra manera:
τmax
Donde:
T⋅ c
Ip
T= Momento torsor
c=Distancia al punto mas alejado
Ip= Momento polar de Inercia
Docente: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana
3
MEC 2240 Diseño Mecánico
Ejercicio 5.1
Determinar el par interno de las secciones indicadas:
Ejercicio 5.2
5.2.1
Determinar el esfuerzo cortante máximo en un eje de 2 pulg. de diámetro; el
par aplicado es de 800 lb-pies.
Deje := 2in
Tor := 800lbf ⋅ ft
Calculando el momento de inercia:
4
Ip :=
π⋅ Deje
32
4
Ip = 65.381cm
el esfuerzo cortante máximo es:
τmax
5.2.2
Tor⋅ c
Ip
Tor⋅
τmax :=
Deje
2
τmax = 429.684
Ip
kgf
2
cm
Un eje macizo de latón de 90 mm de diámetro tiene un esfuerzo cortante
admisible de 8000 lb/pulg2. determinar el par máximo que puede resistir el eje.
Deje := 90mm
4
Ip :=
π⋅ Deje
32
Docente: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana
τadm := 8000
lbf
2
in
4
Ip = 644.12cm
4
MEC 2240 Diseño Mecánico
τadm
Tor
c
⋅ Ip
Tor :=
τadm
Deje
⋅ Ip
Tor = 7895.26N⋅ m
2
5.3.1
Tensión de torsión en ejes huecos
Revisando la ecuación de la tensión, se puede encontrar que el esfuerzo es susceptible
a las variaciones del momento polar de inercia; mas cuando trabajamos con ejes
huecos el momento de inercia sufre pequeñas variaciones respecto de un eje macizo, y
por el contrario, el peso del elemento disminuye considerablemente, por cuanto se
puede aprovechar esta propiedad para obtener elementos mas livianos con buenas
propiedades de resistencia.
Ejercicio 5.3.1
Comparar la resistencia de una flecha de acero de 4 in de diámetro con otra flecha
hueca de 4 in de diámetro exterior y 2 in de diámetro interior; el esfuerzo cortante
admisible es 10000lbf/in2. Comparar los pesos de los ejes si estos tiene 1 pie de
longitud.
Solución para eje Macizo
De := 4in
Ip :=
τadm := 10000
π⋅ De
Tor :=
4
lbf
ρ acero := 7.45
2
in
kgf
3
dm
4
Ip = 1046.1cm
32
τadm
De
Tor = 14198.09N⋅ m
⋅ Ip
2
π⋅ De
wmacizo :=
2
⋅ 1ft⋅ ρ acero
4
wmacizo = 18.41kgf
Solución para eje hueco
De := 4in
Di := 2in
π⋅ ⎛ De − Di
⎝
4⎞
4
Ip :=
⎠
32
Torhueco :=
τadm
De
⋅ Ip
4
Ip = 980.72cm
Torhueco = 13310.71N⋅ m
2
π
2
2
whueco := ⋅ ⎛ De − Di ⎞ ⋅ 1⋅ ft⋅ ρ acero
⎠
4 ⎝
Docente: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana
whueco = 13.81kgf
5
MEC 2240 Diseño Mecánico
En Torsor resistente
Torhueco
Tor
⋅ 100 = 93.75
en peso
whueco
wmacizo
⋅ 100 = 75
5.4 Módulo de rigidez
Cuando se aplica un momento torsor sobre un eje, esta produce una tensión de corte además
de un ángulo de deformación. Esta relación es directamente proporcional pues tal como en
esfuerzos de tracción sigue la ley de Hook. La relación de proporcionalidad se la denomina
como modulo de rigidez o Módulo de elasticidad a cortante.
τ
5.5
G⋅ γ
Angulo de Torsión
Al igualar las dos definiciones de esfuerzo cortante en torsión se puede obtener la ecuación del
ángulo de torsión, en la que relaciona el momento torsor, con la longitud del eje y las
propiedades del material, constituyéndose una ecuación base para el diseño de flechas.
τ
γ
G⋅ γ
R⋅ θ
L
Tor ⋅ R
G⋅ R⋅ θ
Ip
L
θ
Docente: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana
Tor ⋅ L
Ip ⋅ G
6
MEC 2240 Diseño Mecánico
Ejercicio 5.5.1
El eje BC es hueco y sus diámetros interior y exterior miden 90 mm y 120 mm repsectivamente.
Los ejes AB y CD son sólidos y su diámetro es "d". Para la carga mostrada halle:
Los esfuerzos cortantes máximo y mínimo en el eje BC.
el diámetro "d" en los ejes AB y CD si el cortante admisible es 65 MPa.
Primero se debe encontrar mediante las ecuaciones de la estática los momentos que están
afectando al eje:
Primer tramo
Σ x=0
TAB := 6kN⋅ m
6kN⋅ m − TAB 0
Segundo Tramo
6kN⋅ m + 14kN⋅ m − TBC 0
el momento de inercia para el eje hueco es:
π
4
4
Iph := ⋅ ⎛ r2 − r1 ⎞
⎠
2 ⎝
TBC:= 20kN⋅ m
r1 := 45mm
r2 := 60mm
4
Iph = 1391.63cm
El esfuerzo cortante máximo se encuentra en el punto exterior, por lo tanto:
τmax:=
TBC⋅ r2
τmax= 86.23MPa
Iph
El esfuerzo cortante mínimo se encuentra en el punto interior de eje:
τmin:=
TBC⋅ r1
τmin = 64.67MPa
Iph
En los ejes AB y CD, el torque solicitante es de 6 kN, entonces:
Tor⋅
τadm
d
2
τadm := 65MPa
Ip
Given
τadm
dab
TAB⋅
2
4
π⋅ dab
32
( )
Find dab = 77.76mm
Docente: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana
7
MEC 2240 Diseño Mecánico
5.6
TORSIÓN DE ELEMENTOS NO CIRCULARES
El comportamiento a torsión de elementos de secciones no circulares varia de los de secciones
circulares, y es que existe una deformación no uniforme de la sección no circular cuando a esta
se la exige con un momento torsor; sin embargo para fines prácticos de cálculo se emplean
fórmulas semejantes a las empleadas para tensiones de corte a torsión de secciones circulares
pero empleando valores de ajuste de una sección dada ha una circular, así:
Para la formula de esfuerzo cortante por torsión:
τmax
Tor ⋅ c
Ip
τmax
Tor
Q
Donde Q, depende de la forma de la sección.
Para el ángulo de torsión se puede emplear la siguiente relación:
θ
Tor ⋅ L
G⋅ Ip
θ
Tor ⋅ L
G⋅ K
“K” también está en función de la sección.
Ambos valores se puede obtener de la tabla siguiente:
Docente: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana
8
MEC 2240 Diseño Mecánico
Docente: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana
9
MEC 2240 Diseño Mecánico
Ejercicio 5.6
Un eje de 2” de diámetro que soporta a una rueda tiene un extremo fresado en forma de
cuadrado para permitir el uso de una manivela. El cuadrado mide 1.75” por lado. Calcule la
tensión máxima por esfuerzo de corte en la parte cuadrada si se aplica un torque de
15000lbf*in. Además calcular el ángulo de torsión si la longitud de la parte cuadrada es de 8”.
Se considera G=11.5*106 psi.
Docente: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana
10