Integrales Impropias

Integrales Impropias.
INTEGRALES IMPROPIAS
∫
La integral
b
a
f ( x )dx se dice impropia si ocurre al menos una de las hipótesis siguientes:
1º a, b o ambos son infinitos.
2º La función f(x) no está acotada en el intervalo [a,b].
Ejemplos:
∫
∞
1
2 1
1
dx ; ∫
dx
2
0 x −1
x
∫
∞
0
1
dx
x2
INTEGRALES EN INTERVALOS NO ACOTADOS.
(Integral impropia de 1ª especie).
∫
Los distintos tipos son: a)
∞
a
f ( x )dx ,b)
∫
b
−∞
f ( x )dx , c)
∫
∞
−∞
f ( x )dx
a) Sea a∈R, f(x) función acotada e integrable en el intervalo [a , x ] para todo x ≥ a .
Definimos
•
∫
∞
a
k
f ( x )dx = lím ∫ f ( x )dx .
k →∞ a
Si éste límite existe, y es igual a un nº finito L, se dice
que
la
Ejemplo:
integral
∫
∞
1
∫
∞
a
f ( x )dx = L ,
es
convergente.
a
1
dx
x2
∫
∞
1
dx
x
•
Si tal límite es infinito la integral es divergente. Ejemplo:
•
Cuando no existe límite se dice que no existe valor de la integral o ésta es
divergente por oscilación. Ejemplo:
∫
∞
0
1
senxdx
b) De la misma forma, f(x) es acotada e integrable en el intervalo [x, b] siendo b∈R.
b
Se define: ∫ f ( x )dx = lím
−∞
b
∫ f (x )dx .
k → −∞ k
En los casos en que, éste límite (sea finito, sea infinito o no
exista), la integral será (convergente, divergente o
divergente por oscilación). Ejemplo: ∫
−1
−∞
c) Se define
∫
∞
−∞
c
∞
−∞
c
1
x
1
dx = −∞
b
3
f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx .
La integral del primer miembro de dice convergente, si existen y son finitas ambas
integrales del segundo miembro. Ejemplo:
∫
∞
e x dx
−∞
Se dice divergente si al menos una de ellas es no convergente.
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Integrales Impropias.
INTEGRALES DE FUNCIONES NO ACOTADAS.
(Integral impropia de segunda especie).
a) Sea f(x) una función definida en un intervalo (a,b], integrable en todo intervalo [x,b] con
a<x≤b y no acotada en el límite inferior del intervalo de integración, lím+ f (x) = ±∞ .
x →a
b
b
I = ∫ f (x)dx = lím ∫ f (x)dx , I es convergente, divergente u oscilante si el límite es
ε→0
a
a +ε
finito, infinito o no existe, respectivamente. Ejemplo:
∫
1
dx
x
1
0
b) Análogamente se define la integral en intervalo de la forma [a,b). Sea f(x) no acotada
en
el
límite
superior
b
lím− f (x) = ±∞ ; I = ∫ f (x)dx = lím ∫
ε→ 0
a
x →b
del
b −ε
a
intervalo
de
integración
f (x)dx , I es convergente, divergente u oscilante
si el límite es finito, infinito o no existe, respectivamente.
c) Si la función está definida en (a,b) y
lím f (x) = ±∞ ; lím− f (x) = ±∞ , siendo integrable en todo
x →a +
x →b
intervalo contenido en (a,b) diremos que la integral I =
∫
b
a
f (x)dx
a
b
es convergente cuando lo sean simultáneamente las integrales de
f en los intervalos (a,c] y [c,b).
d) f(x) no esta acotada en un punto c∈(a,b).
∫
b
a
c
b
a
c
f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx = lim ∫
c −ε1
f ( x )dx + lim ∫
b
ε 2 →0 c + ε 2
ε1 →0 a
f ( x )dx
en caso de ser ambos límites finitos la integral del primer miembro es convergente, en
otro caso la integral es divergente. Ejemplo:
3
dx
∫ ( x − 1)
0
2
dx
INTEGRALES EN INTERVALOS NO ACOTADOS DE FUNCIONES NO ACOTADAS.
(Integral impropia de tercera especie).
Se trata de una integral con intervalo no acotado, y función no acotada en un número
finito de puntos.
Descomponemos la integral en suma de las integrales de los tipos anteriores. Es
convergente si todas las integrales de los sumandos son convergentes. Si una al menos
es divergente la integral dada es divergente.
CONVERGENCIA DE INTEGRALES IMPROPIAS
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Integrales Impropias.
Integrales en intervalos no acotados
∫
∞
a
f (x)dx
(1ª especie)
1. Criterio de comparación:
Sean f(x) y g(x) tales que 0 ≤ f (x) ≤ g(x), ∀x ≥ a
∞
i) Si
∫
ii) Si
∫
a
∞
a
∫
g(x)dx converge, entonces
a
∫
f (x)dx diverge, entonces
∞
∞
a
f (x)dx converge
g(x)dx diverge
2. Criterio de comparación en el límite:
f (x)
=A
x →∞ g(x)
Sean f(x) y g(x) tales que 0 ≤ f (x),0 ≤ g(x), ∀x ≥ a y lím
∫
i) Si A ∈ R, A ≠ 0 entonces
∞
a
∫
f (x)dx y
∞
a
g(x)dx convergen o divergen
simultáneamente.
ii) Si A=0 y
∫
iii) Si A= ∞ y
∞
g(x)dx converge, entonces
a
∫
∞
a
g(x)dx diverge, entonces
∫
∞
a
∫
∞
a
f (x)dx converge
f (x)dx diverge
3. Corolario:
Sea f(x) tal que 0 ≤ f (x), ∀x ≥ a y lím
x →∞
i) Si A ∈ R, A ≠ 0 y p>1, entonces
f (x)
=A
1/ x p
∫
ii) Si A ∈ R, A ≠ 0 y p ≤ 1 , entonces
iii) Si A=0 y p>1, entonces
∫
∞
a
iiii) Si A = ∞ y p ≤ 1 , entonces
Puesto que sabemos que
∫
∞
a
∞
a
∫
f (x)dx converge.
∞
a
f (x)dx diverge.
f (x)dx converge.
∫
∞
a
f (x)dx diverge.
dx converge si p > 1
=
x p diverge si p ≤ 1
NOTA: Criterios análogos son válidos para − ∞
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Integrales Impropias.
CONVERGENCIA DE INTEGRALES IMPROPIAS
∫
Integrales de funciones no acotadas
b
a
f (x)dx con f(x) no acotada en x=a
(2ª especie)
4. Criterio de comparación:
Sean f(x) y g(x) tales que 0 ≤ f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ (a , b ]
i) Si
ii) Si
∫
b
a
∫
b
a
∫
g(x)dx converge, entonces
a
∫
f (x)dx diverge, entonces
b
b
f (x)dx converge
g(x)dx diverge
a
5. Criterio de comparación en el límite:
Sean f(x) y g(x) tales que 0 ≤ f (x), 0 ≤ g(x), ∀x ∈ (a , b] y lím+
x →a
∫
i) Si A ∈ R, A ≠ 0 entonces
b
a
f (x)dx y
∫
b
a
f (x)
=A
g(x)
g(x)dx convergen o divergen
simultáneamente.
ii) Si A=0 y
∫
iii) Si A= ∞ y
b
a
g(x)dx converge, entonces
∫
b
a
g(x)dx diverge, entonces
∫
b
a
∫
b
a
f (x)dx converge
f (x)dx diverge
6. Corolario:
f (x)
=A
1/(x − a) p
Sea f(x) tal que 0 ≤ f (x), ∀x ∈ ( a,b ] y lím+
x →a
i) Si A ∈ R, A ≠ 0 y p<1, entonces
∫
ii) Si A ∈ R, A ≠ 0 y p ≥ 1 , entonces
iii) Si A=0 y p<1, entonces
∫
b
a
∫
b
a
f (x)dx converge.
a
∫
b
a
f (x)dx diverge.
f (x)dx converge.
iiii) Si A = ∞ y p ≥ 1 , entonces
Puesto que sabemos que
b
∫
b
a
f (x)dx diverge.
converge si p<1
dx
=
p
( x − a)
diverge si p ≥ 1
NOTA: Criterios análogos son válidos cuando f(x) no está acotada en x=b.
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Integrales Impropias.
INTEGRALES EULERIANAS
1) Función gamma de Euler
Sea p ∈ R, p>0 . Sea Γ(p) =
∫
∞
0
e − x x p−1dx la función gamma de Euler. Esta
integral es convergente y recibe el nombre de integral euleriana de 1ª especie.
Propiedades:
1.- Γ(p) = (p − 1)Γ(p − 1)
2.- Γ(p) = (p − 1)! si p ∈ N
1
= π
2
3.- Γ 
4.- Γ(p)Γ(1 − p) =
π
, si 0<p<1.
sen ( πp )
2) Función beta de Euler
Sea p,q ∈ R, p,q>0 . Sea β(p,q) =
∫
1
0
x p−1 (1 − x)q −1 dx la función beta de Euler.
Esta integral es convergente y recibe el nombre de integral euleriana de 2ª especie.
Propiedades:
1.- β(p,q) = β(q,p)
2.- β(p,q) = 2
3.- β(p,q) =
π
2
0
∫
sen 2p−1 x cos 2q −1 xdx
Γ(p)Γ(q)
Γ(p + q)
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