Teorı́a de la Integración: Primera Interrogación Profesor: Rolando Rebolledo Pontificia Universidad Católica de Chile 15 de octubre de 2002 Ejercicio 1 Dada una partición π del intervalo I = [a, b] y una función acotada f : I → R, se define X Vπ (f ) = |f (ti+1 ) − f (ti )| . (1) ti ,ti+1 ∈π Se dice que f tiene variaciones totales finitas si V (f ) := sup Vπ (f ) < ∞, π cuando π recorre el conjunto de todas las particiones de I. El número V (f ) es en ese caso la variación total de f . Considere una sucesión arbitraria de particiones (πn )n de modo que |πn | ↓ 0. Pruebe que V (f ) = lı́m Vπn (f ). (2) n Usando esta propiedad, demuestre que si f es una función de clase C 1 , entonces Z b 0 f (x) dx, (3) V (f ) = a donde la integral se entiende en el sentido de Riemann. Solución. Dados tres puntos r, s, t de [a, b], la desigualdad triangular implica que |f (t) − f (s)| ≤ |f (t) − f (r)| + |f (r) − f (s)|. El refinamiento de la partición πn consiste en aumentar el número de sus puntos, intercalando nuevos entre los ya existentes. Aplicando la desigualdad triangular anterior, donde s, t designan extremidades de intervalos de πn , que 1 también pertenecerán a πn+1 , y r un punto de πn+1 que queda intercalado entre s y t, se observa que Vπn (f ) ≤ Vπn+1 (f ). Luego la sucesión Vπn (f ) es creciente y está dominada por V (f ), luego su lı́mite existe y lı́m Vπn (f ) ≤ V (f ). n Pero, por otra parte, por la definición de V (f ) y puesto que la sucesión de particiones (πn )n crece, dado > 0 existe N tal que VπN (f ) ≥ V (f ) − . Luego lı́m Vπn (f ) ≥ V (f ) − , n de donde resulta lı́mn Vπn (f ) = V (f ). Si f es de clase C 1 , sobre cada intervalo de la partición πn podemos aplicar el Teorema del Valor Medio y tendremos: |f (tni+1 ) − f (tni )| = f 0 (θin ) (tni+1 − tni ), para algún punto θin ∈]tni , tni+1 [, donde tni , tni+1 ∈ πn . Siendo f 0 una función continua, ella es Riemann-integrable. Designemos por Sπn (f ) la suma superior de Riemann, (que converge a la integral de f 0 sobre I) y por W (f 0 , |πn |) la oscilación de f 0 sobre los intervalos de πn , (que debe tender a 0 porque |πn | ↓ 0 y f 0 es continua). Entonces, |Vπn (f ) − Sπn (f )| ≤ W (f 0 , |πn |)(b − a). (4) Rb 0 De (4) se deduce finalmente lı́mn Vπn (f ) = lı́mn Sπn (f ) = a |f (t)| dt. `j ` ^ Ejercicio 2 Se define la aplicación µ : P(N) → [0, ∞], para todo A ⊆ N por X 1 µ(A) = , n2 n∈A si A es finito; µ(A) = ∞ si A es infinito y µ(∅) = 0. Probar que µ es aditiva pero no define una medida sobre (N, P(N)). Solución. Comenzamos por verificar la aditividad. Sean A, B partes disjuntas de N, si alguno de ellas es infinito (por ejemplo A), la conclusión es inmediata pues entonces A∪B es infinito, luego µ(A∪B) = ∞ = ∞+µ(B) = µ(A) + µ(B). Si ambos conjuntos son finitos, entonces la propiedad resulta 2 por descomposición de una serie de términos positivos en subseries parciales con conjuntos de ı́dices disjuntos: X n∈A∪B X 1 X 1 1 = + . 2 2 n n n2 n∈A n∈B La función µ no es σ-aditiva. En efecto, consideremos los conjuntos disS juntos An = {n}, (n ∈ N). Se tiene n An = N y puesto que la serie de término general 1/n2 es convergente, [ X X 1 ∞ = µ( An ) 6= µ(An ) = < ∞. n2 n n n `j ` ^ Problema 1 Sea S = {A ∈ B(R) : A = −A} donde −A = {−x : x ∈ A}. 1. Probar que S es una tribu sobre R. 2. ¿Son S-medibles las aplicaciones: f (x) := ex , g(x) := x3 y h(x) := cos x? 3. Caracterizar las aplicaciones de R en R que son S-medibles. Solución. 1. Sea σ : R → R la función x 7→ −x. Dado un subconjunto A de R nótese que σ(A) = {−x : x ∈ A} en tanto σ −1 (A) = {x : −x ∈ A}. σ es una biyección de R pues es inyectiva y σ ◦ σ = identidad, es decir su inversa es ella misma. S es la tribu de los conjuntos invariantes bajo σ, i.e. S = {A : σ(A) = A}. En particular, un intervalo [a, b] pertenece a S si y sólo si es simétrico respecto al origen, es decir a = −b. Como σ es una biyección, σ(∅) = ∅, si σ(A) = A, también (σ(A))c = σ(Ac ) =SAc . Además, S dada una colección (AnS)n de elementos de S, como σ( n An ) = n σ(An ) se tiene también n An ∈ S. Luego S es tribu. 2. De las tres funciones f, g, h, sólo h es S-medible, pues siendo el coseno una función par, dado A ∈ S, es decir σ(A) = A, resulta que h−1 (A) es también invariante bajo σ. En efecto, nótese que h = h ◦ σ y entonces σ(h−1 (A)) = σ ◦ σ −1 (h−1 (A)) = h−1 (A). Esta propiedad no es satisfecha ni por f ni por g pues f 6= f ◦ σ, g 6= g ◦ σ. 3 3. S es la tribu generada por las aplicaciones invariantes bajo σ, es decir por las funciones pares. Probémoslo. Llamemos T la tribu que generan las funciones pares. Se tiene de inmediato S ⊆ T porque si A ∈ S, 1A ◦ σ = 1A y 1A es par, luego, T -medible y A ∈ T . Por otra parte, si f es cualquier función par positiva, ella es lı́mite de una sucesión creciente de funciones simples pares. Para comprobarlo basta considerar los conjuntos An,k = k2−n ≤ f < (k + 1)2−n , Bn = {f ≥ n} , (k = 0, . . . , n(2n −1)), y las funciones simples n(2n −1) fn = X k=0 k 1A + n1Bn . 2n nk Las funciones 1Ank y 1Bn son invariantes para σ, es decir son pares, pues f lo es. Pero también quiere decir que los mencionados conjuntos pertenecen a S, luego cada fn es S-medible y su lı́mite f también lo es. Se tiene entonces T ⊆ S y las dos tribus coinciden. `j ` ^ Problema 2 Considerar un espacio métrico Ω, provisto de su tribu boreliana B(Ω). Sean µ, ν dos medidas positivas σ-finitas sobre (Ω, B(Ω)). Designamos por G (resp. F), la familia de los abiertos (resp. los cerrados) de Ω. Se recuerda que en un espacio métrico, todo conjunto cerrado es de tipo Gδ . 1. Probar que si µ y ν coinciden sobre los abiertos (respectivamente los cerrados) de Ω, entonces coinciden sobre todo B(Ω). 2. Suponga ahora Ω localmente compacto de base numerable (es decir existe una sucesión de compactos (KS n )n tales que cada Kn está contenido en el interior de Kn+1 y Ω = n Kn ). Probar que las dos medidas coinciden si y sólo si µ(K) = ν(K) para todo compacto K de Ω. Solución. 1. La propiedad de que cada cerrado es de tipo Gδ prueba que la tribu boreliana es en realidad generada por el álgebra A = Fσ ∩Gδ . Si las dos medidas coinciden sobre los abiertos (o sobre los cerrados), coinciden entonces sobre A. En consecuencia, si definimos M = {A ∈ B(Ω) : µ(A) = ν(A)} , 4 M contiene a A. Pero además, como las medidas son σ-finitas, M es clase monótona. Luego, por el Teorema de las Clases Monóntonas, M contiene a σ(A) = B(Ω), de donde se deduce que M y la tribu boreliana de Ω coinciden y en consecuencia las medidas también. 2. La propiedad anterior puede ser usada al interior de cada conjunto Kn primero, para probar que µn (A) = µ(A ∩ Kn ) y νn (A) = ν(A ∩ Kn ) coinciden para cada n. Esta propiedad se cumple pues, si µ y ν coinciden sobre los compactos, entonces µn , νn coinciden sobre los cerrados de Kn (que son compactos). Luego, la propiedad anterior implica la igualdad de µn con νn , para cada n. `j ` ^ 5