Funciones de Autocorrelación Luca Mar3no Apuntes no revisados Cuidado! “AutoConvolución” • Antes de todo, para evitar confusiones, definimos una “auto-­‐ convolución” (la conv. de una señal con si misma) que SIEMPRE será CX (τ ) = ∫ +∞ * x(t)x ( τ − t)dt = −∞ = x(t) ∗ x * (t) • En frecuencia tenemos (u3lizando la propiedad de la conv. y que F { x * (t) } = X * (− f ) ) Nota que la definición de € € * CX ( f ) = X( f )X (− f ) trasformada de Fourier de una señal x(t) 3ene sen3do si la señal es determinista. Para proceso estoc. se hablará de “Densidad espectral de potencia”. Autocorrelación para V.A. • En términos de variables aleatorias en un proceso estocás3co estacionario RX (τ ) = E[X(t)X * (t + τ )] = = +∞ ∫ ∫ −∞ +∞ * * x(t)x (t + τ ) f (x(t), x (t + τ ))dx t dx t +τ X −∞ Densidad conjunta • U3lizamos en este caso la X mayúscula para indicar una € variable aleatoria. • La integración es respecto a las “x”, el 3empo juega el papel de un parámetro. Autocorrelación temporal para E.F. • Para una señal de energía finita (E.F.) se define una Autocorrelación TEMPORAL como RX (τ ) = € +∞ * * x(t)x (t + τ )dt = x(t) ∗ x (−t) ∫ −∞ • Aquí como en el caso de la “autoconvolución” integramos respecto a t. • Está definición no puede ser u3lizada en el caso de los procesos estocás3cos. Luego veremos el porque. • La transf. de Fourier de esta autocorrelación es (u3lizando la propiedad de la conv. y que F { x * (−t) } = X * ( f ) ) Recuerda que la SX ( f ) = X( f )X * ( f ) = X( f ) Densidad espectral d€ e potencia para una señal determinista. 2 trasformada de Fourier de una señal x(t) 3ene sen3do si es determinista. Sino hay que hacer un “promedio”….. Autocorrelación temporal para P.M.F. • Para una señal de potencia media finita (P.M.F) se define una Autocorrelación TEMPORAL como 1 RX (τ ) = lim T → ∞ 2T ∫ +T * x(t)x (t + τ )dt −T • Aquí como en el caso de anterior integramos respecto a t. €• Esta definición cobra sen3do en el caso de los procesos estocás3cos. Vamos a ver el porque en las próximas diaposi3vas. Energía • Dada una señal determinista, la energía H se define como HX = +∞ 2 x ∫ −∞ (t)dt • En el caso de un proceso estocás3co: € HX = E ∫ € +∞ [ ] +∞ 2 X ∫ −∞ (t)dt = E X (t) dt = [ ] −∞ 2 ∫ +∞ R (0)dt X −∞ Energía Recordando que [ RX (0) = E X(t) 2 ] ≥0 • La única manera para que este integral no diverja es que la función dentro del integral sea nula +∞ +∞ H X = ∫ −∞ RX (0)dt = RX (0) ∫ −∞ dt ≤ +∞ € RX (0) = 0 • Ahora recordando que RX (0) ≥ RX (τ ) ≥ 0 ⇒ RX (τ ) = 0 € • esto ocurre solo se RX (τ ) = 0 ⇒ X(t) = 0 € Es decir para procesos estocás3co No 3ene sen3do hablar de señales de energía (finita)…. En los procesos estocás3cos • En el caso de procesos estocás3cos (estacionarios) 3ene sen3do hablar solo de señales con potencia finita, es decir la única definición de autocorrelación que 3ene sen3do es esta 1 RX (τ ) = lim T → ∞ 2T € ∫ +T * x(t)x (t + τ )dt −T