32 Tema 3. MATRICES Y DETERMINANTES 3.1 Conceptos generales 3.2 Operaciones matriciales 3.3 Tipos de matrices 3.4 Determinantes 3.5 Matriz inversa 3.6 Rango y traza 3.7 Matrices particionadas 3.8 Sistemas de ecuaciones lineales ¶ticas Matema 3 Matrices y determinantes 33 MATRICES Y DETERMINANTES 3.1 3.1.1 CONCEPTOS GENERALES ¶ DEFINICION Una matriz de m ¯las y n columnas sobre un cuerpo IK es una aplicaci¶on: A : f1; : : : ; mg £ f1; : : : ; ng (i; j) ¡! IK 7¡! aij : La matriz A suele representarse por 0 A = (aij ) 1·i·m 1·j·n B a11 a12 ¢ ¢ ¢ a1n B B B a21 a22 ¢ ¢ ¢ a2n =B B B .................. B @ am1 am2 ¢ ¢ ¢ amn y se dice que es de orden m £ n . 1 C C C C C C C C A ² La ¯la i-¶esima de la matriz A es la formada por los elementos ai1; ai2 ; : : : ; ain. ² La columna j-¶esima de la matriz A es la formada por los elementos a1j ; a2j ; : : : ; amj . ² El t¶ermino (i; j) de la matriz A es aij . Se denota por Mm£n (IK) el conjunto de las matrices de orden m £ n con elementos en IK . ¶ NOTACION: ¶ticas Matema Matrices y determinantes Sean A; B 2 Mm£n(IR); A = (aij ) 1·i·m 1·j·n 34 ; B = (bij ) 1·i·m 1·j·n . Se dice que A y B son iguales si y s¶olo si 8i 2 f1; : : : ; mg 8j 2 f1; : : : ; ng aij = bij . 3.2 3.2.1 OPERACIONES MATRICIALES SUMA DE MATRICES Sean A; B 2 Mm£n(IK); A = (aij ) 1·i·m 1·j·n ; B = (bij ) de¯ne A + B = C 2 Mm£n(IK) , con C = (cij ) 1·i·m 1·j·n 1·i·m 1·j·n . Se tal que 8i 2 f1; : : : ; mg 8j 2 f1; : : : ; ng cij = aij + bij : 3.2.2 PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES 1. 8A; B; C 2 Mm£n (IK) (A + B) + C = A + (B + C). 2. 9 O = (0ij ) 1·i·m 1·j·n 2 Mm£n (IK) (matriz nula), tal que 8A 2 Mm£n(IK) A + O = O + A = A. 3. 8A 2 Mm£m (IK) 9 ¡ A 2 Mm£n(IK) tal que A + (¡A) = (¡A) + A = O: (¡A = (¡aij ) 1·i·m 1·j·n ). ¶ticas Matema Matrices y determinantes 35 4. 8A; B 2 Mm£n(IK) A + B = B + A. 3.2.3 PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ Sean A 2 Mm£n(IK); A = (aij ) 1·i·m 1·j·n ¸A = C 2 Mm£n(IK) , con C = (cij ) , y ¸ 2 IK. Se de¯ne 1·i·m 1·j·n , tal que 8i 2 f1; : : : ; mg 8j 2 f1; : : : ; ng cij = ¸aij : 3.2.4 PROPIEDADES DEL PRODUCTO POR ESCALARES 8A; B 2 Mm£n(IK) 8¸; ¹ 2 IK 1. ¸(A + B) = ¸A + ¸B. 2. (¸ + ¹)A = ¸A + ¹A. 3. (¸¹)A = ¸(¹A). 4. 1A = A (1 es la unidad del cuerpo IK). 3.2.5 ¶ OBSERVACION: (Mm£n (IK); +; ¢) es un espacio vectorial sobre IK de dimensi¶on mn. ¶ticas Matema 3.2.6 Matrices y determinantes 36 PRODUCTO DE MATRICES Sean A 2 Mm£n(IK); B 2 Mn£p (IK) , donde A = (aij ) B = (bij ) (cij ) 1·i·n 1·j·p 1·i·m 1·j·p tal que: n X k=1 aik bkj : PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES 1. 8A 2 Mm£n(IK); 8B 2 Mn£p (IK); 8C 2 Mp£q (IK) (AB)C = A(BC): 2. 8A; B; C 2 Mn£n(IK) A(B + C) = AB + AC (B + C)A = BA + CA: 3. 9 In 2 Mn£n(IK), tal que 8A 2 Mn£n(IK) AIn = InA = A; donde: , . Se de¯ne A ¢ B = C 2 Mm£p (IK); con C = 8i 2 f1; : : : ; mg 8j 2 f1; : : : ; pg cij = 3.2.7 1·i·m 1·j·n 0 1 B 1 0 ¢¢¢ 0 C B C B C B 0 1 ¢¢¢ 0 C B C: In = B C B .......... C B C @ A 0 0 ¢¢¢ 1 ¶ticas Matema Matrices y determinantes 37 4. 8A 2 Mm£n(IK); 8B 2 Mn£p (IK); 8¸; ¹ 2 IK (¸A)(¹B) = (¸¹)(AB): 3.2.8 ¶ DE MATRICES TRASPOSICION Sea A 2 Mm£n(IK), con A = (aij ) 1·i·m 1·j·n . Se de¯ne matriz tras- puesta de A, y se denota por At 2 Mn£m (IK), como At = ¶ µ 0 tal que aij 1·j·n 1·i·m 8i 2 f1; : : : ; mg 8j 2 f1; : : : ; ng a0ij = aji: 3.2.9 ¶ DE MATRICES PROPIEDADES DE LA TRASPOSICION Sean A 2 Mm£n (IK) y ¸ 2 IK. 1. (In)t = In. t 2. (At ) = A. 3. (¸A)t = ¸At. 4. Si B 2 Mm£n(IK), entonces (A + B)t = At + B t. 5. Si B 2 Mn£p (IK), entonces (AB)t = B t At. ¶ticas Matema 3.3 3.3.1 Matrices y determinantes 38 TIPOS DE MATRICES DEFINICIONES 1. Matriz ¯la: posee una u¶nica ¯la. (a11a12 : : : a1n) 2 M1£n(IK): 2. Matriz columna: posee una u¶nica columna. 0 B a11 B B B a21 B B ... B B @ am1 1 C C C C C C C C A 2 Mm£1 (IK): 3. Matriz cuadrada de orden n : tiene el mismo n¶umero de ¯las que de columnas, m = n . 0 1 B a11 a12 ¢ ¢ ¢ a1n C C B C B B a21 a22 ¢ ¢ ¢ a2n C C: B A=B C B ................ C B C @ A an1 an2 ¢ ¢ ¢ ann ² aii ; i = 1; : : : ; n, se denominan elementos diagonales. ² A es una matriz diagonal si y s¶olo si los elementos no diagonales son nulos: i 6= j ) aij = 0. ² Una matriz es escalar si y s¶olo si es diagonal y todos los elementos diagonales son iguales entre s¶³. ² Una matriz es triangular inferior si y s¶olo si los elementos por encima de la diagonal son nulos: i < j ) aij = 0. ¶ticas Matema Matrices y determinantes 39 ² Una matriz es triangular superior si y s¶olo si los elementos por debajo de la diagonal son nulos: i > j ) aij = 0. 4. A 2 Mn£n(IK) es idempotente si y s¶olo si A2 = A. 5. A 2 Mn£n(IK) es nilpotente si y s¶olo si existe m 2 IN tal que Am = O. 6. A 2 Mn£n(IK) es sim¶etrica si y s¶olo si At = A , es decir, si A = (aij ) : 1·i·n 1·j·n 8i; j 2 f1; : : : ; ng aij = aji : 7. A 2 Mn£n (IK) es antisim¶etrica si y s¶olo si At = ¡A , es decir, si A = (aij ) : 1·i·n 1·j·n 8i; j 2 f1; : : : ; ng aij = ¡aji : 3.4 DETERMINANTES El determinante es una aplicaci¶on det : Mn£n(IK) A ¡! IK 7¡! det A tal que ² Para n = 1 y A = (a) : det A = a. ¶ticas Matema Matrices y determinantes 0 a11 a12 @ ² Para n = 2 y A = B a21 a22 0 1 C A 40 : det A = a11 a22 ¡ a12 a21 . B a11 a12 a13 B B a21 a22 a23 ² Para n = 3 y A = B B @ a31 a32 a33 1 C C C C C A : det A = a11 a22 a33 +a21 a32a13 +a31 a23 a12 ¡a13 a22 a31 ¡a23a32 a11 ¡a33 a21 a12: 3.4.1 DEFINICIONES ² Los menores de una matriz cuadrada son los determinantes de las submatrices que se obtienen eliminando varias ¯las y el mismo n¶umero de columnas. ² Se llama menor complementario del elemento aij de una matriz cuadrada, que denotamos por Mij , al determinante de la matriz resultante de suprimir la ¯la i y la columna j. ² Se denomina adjunto del elemento aij a Aij = (¡1)i+j Mij . ² Se llama matriz adjunta de A 2 Mn£n(IK) a la matriz A? 2 Mn£n (IK) que tiene por elementos los adjuntos de los elementos de A . 3.4.2 DESARROLLO DE DETERMINANTES POR LOS ELEMENTOS DE UNA FILA O COLUMNA Sea A = (aij ) 1·i·n 1·j·n viene dado por: 2 Mn£n(IK). Para n > 3 el determinante ¶ticas Matema Matrices y determinantes ² Desarrollo por los elementos de la ¯la i : det A = 41 n X k=1 ² Desarrollo por los elementos de la columna j : det A = 3.4.3 aik Aik . n X k=1 akj Akj . PROPIEDADES Sean A; B 2 Mn£n(IK). 1. det(A) = det(At). 2. Si se intercambian entre s¶³ dos ¯las (o columnas), el determinante cambia de signo. 3. Si una matriz tiene dos ¯las (columnas) iguales, su determinante es cero. 4. Si se multiplica a una ¯la (o columna) de A por un escalar ¸ , el determinante de la matriz resultante es igual a ¸ por det A. 5. Si ¸ 2 IK, entonces det(¸A) = ¸n det A. 6. El determinante de una matriz no var¶³a si a una ¯la (o columna) se le suma una combinaci¶on lineal de las restantes. 7. Si una matriz tiene una ¯la (o columna) nula, su determinante es nulo. 8. det(AB) = det A det B. NOTA: Habitualmente, det(A + B) 6= det A + det B. ¶ticas Matema 3.5 3.5.1 Matrices y determinantes 42 MATRIZ INVERSA ¶ DEFINICION Sea A 2 Mn£n(IK). Se dice que A es inversible o regular si existe B 2 Mn£n(IK) de forma que AB = BA = In. En ese caso, B se llama matriz inversa de A y se denota por A¡1. Si tal B no existe, se dice que A no es inversible o que es singular. 3.5.2 PROPIEDADES Sean A; B 2 Mn£n(IK). 1. A es inversible si y s¶olo si det A 6= 0. 1 . det A es u¶nica y viene dada por 2. Si A es inversible, entonces det(A¡1 ) = 3. Si A es inversible, entonces A¡1 1 A¡1 = (A?)t . det A 4. In es inversible y In¡1 = In. ¡1 5. Si A es inversible, entonces A¡1 es inversible y (A¡1 ) = A. 6. Sea ¸ 2 IK ¡ f0g . Si A es inversible, entonces ¸A es inversible y (¸A)¡1 = ¸¡1A¡1. 7. Si A y B son inversibles, entonces AB es inversible y (AB)¡1 = B ¡1 A¡1 . ¡1 8. Si A es inversible, entonces At es inversible y (At ) t (A¡1 ) . = ¶ticas Matema 3.5.3 Matrices y determinantes 43 ¶ DEFINICION A 2 Mn£n(IK) es ortogonal si y s¶olo si es inversible y A¡1 = At. 3.6 3.6.1 RANGO Y TRAZA ¶ DEFINICION Sean A 2 Mm£n(IK); con A = (aij ) 1·i·m 1·j·n ; i 2 f1; : : : ; mg; j 2 f1; : : : ; ng . Se consideran los vectores f¹i = (ai1 ; ai2; : : : ; ain); vector ¯la i-¶esima de A y c¹j = (a1j ; a2j ; : : : ; amj ); vector columna j-¶esima de A. Se denomina rango de A por ¯las al n¶umero m¶aximo de vectores ¯la linealmente independientes. An¶alogamente se denomina rango de A por columnas al n¶umero m¶aximo de vectores columna linealmente independientes. 3.6.2 TEOREMA DEL RANGO En cualquier matriz el rango por ¯las es igual al rango por columnas. NOTA: 3.6.3 El rango de una matriz A , se denota por rg(A). TEOREMA (Caracterizaci¶ on del rango mediante determinantes) El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. ¶ticas Matema 3.6.4 Matrices y determinantes 44 COROLARIO Sean u¹1 ; : : : ; u¹n 2 IKn. 1. u¹1 ; : : : ; u¹k , con k · n, son linealmente independientes si y s¶olo si rg(A) = k, donde A tiene como vectores ¯la (o columna) a u¹1; : : : ; u¹k . 2. u¹1 ; : : : ; u¹k , con k · n, son linealmente dependientes si y s¶olo si rg(A) < k, donde A tiene como vectores ¯la (o columna) a u¹1; : : : ; u¹k . 3. u¹1 ; : : : ; u¹n son vectores linealmente dependientes si y s¶olo si det A = 0 , donde A tiene como vectores ¯la (o columna) a u¹1 ; : : : ; u¹n. 3.6.5 PROPIEDADES 1. Cambios en una matriz que no var¶³an el rango: (a) Intercambiar ¯las entre s¶³ (columnas). (b) Suprimir una ¯la (columna) cuyos elementos sean nulos. (c) Suprimir una ¯la (columna) que sea combinaci¶on lineal de otras. (d) Multiplicar todos los elementos de una ¯la (columna) por un n¶umero distinto de cero. (e) Sumar a una ¯la (columna) una combinaci¶on lineal de las restantes. 2. Si A 2 Mm£n (IK), entonces rg(A) · minfm; ng. ¶ticas Matema Matrices y determinantes 45 3. Si A 2 Mn£n(IK) y A es inversible entonces rg(A) = n. 4. rg(In) = n. 5. rg(O) = 0. 6. Si A 2 Mm£n (IK); entonces rg(A) = rg(At). 7. Si A 2 Mm£n (IK) y B 2 Mn£p (IK), entonces rg(AB) · minfrg(A); rg(B)g: 3.6.6 ¶ DEFINICION Sea A 2 Mn£n (IK), donde A = (aij ) 1·i·n 1·j·n . Se de¯ne traza de A, y se denota por tr(A), a la suma de los elementos de la diagonal de A, es decir, tr(A) = 3.6.7 n X i=1 aii : PROPIEDADES Sean A; B 2 Mn£n(IK) y ¸ 2 IK. 1. tr(At ) = tr(A). 2. Si ¸ 2 IK, entonces tr(¸A) = ¸ tr(A). 3. tr(A + B) = tr(A) + tr(B). 4. tr(AB) = tr(BA). ¶ticas Matema 3.7 Matrices y determinantes 46 MATRICES PARTICIONADAS r X Sean A 2 Mm£n(IK) , m1; : : : ; mr ; n1; : : : ; ns 2 IN con y s X j=1 i=1 nj = n. La matriz A puede representarse como: A= 0 B B B B B @ A11 ¢ ¢ ¢ A1s ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ Ar1 ¢ ¢ ¢ Ars 1 C C C C C A donde Aij 2 Mmi£nj (IK). Se dice que A est¶a particionada en rs bloques por (m1; : : : ; mr ; n1 ; : : : ; ns): 3.7.1 OPERACIONES CON MATRICES PARTICIONADAS ² Suma: Sean A; B 2 Mm£n(IK) matrices particionadas por (m1 ; : : : ; mr ; n1; : : : ; ns) , A= 0 B B B B B @ A11 ¢ ¢ ¢ A1s ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ Ar1 ¢ ¢ ¢ Ars Entonces, A + B = 0 B B B B B @ 1 C C C C C A ;B = 0 B B B B B @ B11 ¢ ¢ ¢ B1s ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ Br1 ¢ ¢ ¢ Brs A11 + B11 ¢ ¢ ¢ A1s + B1s ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ Ar1 + Br1 ¢ ¢ ¢ Ars + Brs 1 C C C C C A : 1 C C C C C A mi = m ¶ticas Matema Matrices y determinantes 47 ² Producto por escalares: Sean A 2 Mm£n(IK) matriz particionada por (m1; : : : ; mr ; n1 ; : : : ; ns) y ¸ 2 IK , entonces ¸A = 0 B B B B B @ ¸A11 ¢ ¢ ¢ ¸A1s ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ ¸Ar1 ¢ ¢ ¢ ¸Ars 1 C C C C C A : ² Producto de matrices: Sean A 2 Mm£n(IK) y B 2 Mn£p (IK) matrices particionadas por (m1 ; : : : ; mr ; n1; : : : ; ns) y (n1 ; : : : ; ns; p1; : : : ; pk ) , respectivamente, entonces C est¶a particionada por (m1 ; : : : ; mr ; p1; : : : ; pk ) C = AB = donde Cij = 3.7.2 s X l=1 0 B B B B B @ C11 ¢ ¢ ¢ C1k ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ Cr1 ¢ ¢ ¢ Crk 1 C C C C C A ; Ail Blj . ¶ PROPOSICION Sea A 2 Mn£n(IK) particionada por (n1 ; n2 ; n1 ; n2 ), 0 @ A=B A11 A12 A21 A22 1 C A : Si A12 = O 2 Mn1£n2 (IK) o A21 = O 2 Mn2£n1 (IK), entonces det A = det A11 det A22. ¶ticas Matema 3.7.3 Matrices y determinantes 48 INVERSA PARTICIONADA Sea A 2 Mn£n(IK) particionada por (n1 ; n2 ; n1 ; n2 ) 0 @ A=B A11 A12 A21 A22 1 C A : Si A22 es regular, entonces 0 @ A¡1 = B B11 B12 B21 B22 1 C A ; donde: ¡1 B11 = (A11 ¡ A12A¡1 22 A21 ) ; B21 = ¡A¡1 22 A21 B11 ; B12 = ¡B11A12 A¡1 22 ; ¡1 B22 = A¡1 22 ¡ A22 A21 B12 : Si A11 es regular, entonces 0 @ A¡1 = B C11 C12 C21 C22 1 C A ; donde: ¡1 ¡1 C11 = A¡1 11 + A11 A12 C22 A21 A11 ; C12 = ¡A¡1 11 A12 C22 ; C21 = ¡C22 A21A¡1 11 ; ¡1 C22 = (A22 ¡ A21 A¡1 11 A12 ) : ¶ticas Matema 3.8 3.8.1 Matrices y determinantes 49 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ¶ DEFINICION Se denomina sistema de m ecuaciones lineales con n inc¶ognitas a un conjunto de ecuaciones de la forma: a11 x1 + a12 x2 + ¢ ¢ ¢ + a1nxn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ¢ ¢ ¢ + a2nxn = b2 ¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢ am1x1 + am2x2 + ¢ ¢ ¢ + amnxn = bm donde 8 i 2 f1; : : : ; mg 8 j 2 f1; : : : ; ng aij ; bi 2 IR . ² aij son los coe¯cientes del sistema. ² bi son los t¶erminos independientes del sistema. ² xj son las inc¶ognitas del sistema. Se denomina soluci¶on del sistema a todo vector (s1; s2; : : : ; sn ) que veri¯ca las siguientes igualdades: a11s1 + a12 s2 + ¢ ¢ ¢ + a1n sn = b1 a21s1 + a22 s2 + ¢ ¢ ¢ + a2n sn = b2 ¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢ am1 s1 + am2 s2 + ¢ ¢ ¢ + amn sn = bm Forma matricial del sistema de m ecuaciones lineales con n inc¶ognitas: 0 10 1 0 1 a a ¢ ¢ ¢ a x b 12 1n C B 1 C B 11 B 1 C B CB C B C B CB C B C B a21 a22 ¢ ¢ ¢ a2n C B x2 C B b2 C B CB C = B C ; o bien A¹ x = ¹b; B CB C B C B .................. CB ¢ C B ¢ C B CB C B C @ A@ A @ A am1 am2 ¢ ¢ ¢ amn xm bm ¶ticas Matema Matrices y determinantes 50 donde A 2 Mm£n(IK) es la matriz de los coe¯cientes del sistema, x¹ 2 Mn£1(IK) el vector de las inc¶ognitas del sistema y ¹b 2 Mm£1(IK) el vector de t¶erminos independientes del sistema. Clasi¯caci¶on de los sistemas de ecuaciones en funci¶on del conjunto de soluciones: 1. Incompatible: cuando no admite soluci¶on. 2. Compatible: cuando admite soluci¶on. A su vez puede ser: (a) Determinado: cuando admite una u¶nica soluci¶on. (b) Indeterminado: cuando admite m¶as de una soluci¶on. Clasi¯caci¶on de los sistemas de ecuaciones atendiendo a sus t¶erminos independientes: 1. Homog¶eneo: el vector ¹b es nulo. 2. No homog¶eneo: al menos alguna de las componentes de ¹b es distinta de cero. Se denomina matriz ampliada o completa del sistema, y se representa por (Aj¹b) , a la matriz que se obtiene al aadir a la matriz A la matriz columna ¹b. Por tanto, (Aj¹b) 2 Mm£(n+1)(IK) y toma la forma: 0 1 a a ¢ ¢ ¢ a b 12 1n 1 C B 11 B C B C B a21 a22 ¢ ¢ ¢ a2n b2 C ¹ B C: (Ajb) = B C B ...................... C B C @ A am1 am2 ¢ ¢ ¢ amn bm ¶ticas Matema 3.8.2 Matrices y determinantes 51 ¶ TEOREMA DE ROUCHE-FROBENIUS Un sistema de m ecuaciones lineales con n inc¶ognitas es: 1. Compatible si y s¶olo si rg(A) = rg(Aj¹b) . Adem¶as, (a) Si rg(A) = n, entonces el sistema es determinado. (b) Si rg(A) < n, entonces el sistema es indeterminado. 2. Incompatible si y s¶olo si rg(A) < rg(Aj¹b) . 3.8.3 ¶ OBSERVACION Todos los sistemas homog¶eneos de la forma A¹ x = ¹0 son compatibles, rg(A) = rg(Aj¹0), y siempre admiten como soluci¶on: x1 = 0; x2 = 0; : : : ; xn = 0; denominada soluci¶on trivial. El sistema homog¶eneo A¹ x = ¹0 de m ecuaciones lineales con n inc¶ognitas: ² S¶olo tiene soluci¶on trivial si rg(A) = n. ² Admite in¯nitas soluciones si rg(A) < n.