Material para Ayudantía No. 8, Funciones de Producción (Capítulo 6 Nicholson) 1. Suponga que la función de producción para utensilios viene dada por: En donde q representa la cantidad anual de utensilios producidos, k representa el capital utilizado por año, y l representa al activo trabajo que se utiliza, también anual. a) Suponga que k=10; grafique el producto marginal total y promedio. ¿En qué nivel de trabajo alcanza un máximo la productividad promedio? ¿Cuántos utensilios se producen en este punto? b) De nuevo suponga que k=10, y grafique la curva de producto marginal del trabajo. ¿En qué nivel de trabajo su producto marginal se torna cero? c) Suponga que el capital se incrementa a 20. ¿Cómo cambian tus respuestas de las partes (a) y (b)? d) ¿Qué clase de retornos a escala exhibe la función de producción de utensilios? 2. Suponga la función de producción Cobb Douglas dada por: Donde 0<α<1 y 0<β<1. a) Muestre qué: fk>0, fl>0, fkk<0, fll<0, fkl=flk>0 b) Muestre qué: εq,k=α y εq,l=β c) Los resultados de la parte (b) sugieren que para esta función εq,t= α+β. Demuestre que este resultado intuitivo es correcto. d) Demuestre que esta función es cuasicóncava e) Demuestre que la función es cóncava para α+β ≤ 1, pero no cóncava para α+β >1 3. Considere la función de producción: En donde 0≤βi≤1, i=0 … 3. a) ¿Qué restricciones deben mostrar los parámetros βi para que la función exhiba retornos constantes a escala? b) Muestre que en el caso de retornos constantes a escala esta función exhibe productividades marginales decrecientes, y que las funciones de productividad marginal son homogéneas de grado 0 c) Calcule la elasticidad de sustitución σ. Aun cuando σ no es, por lo general, constante, ¿Para qué valores de βi es σ = 0, σ = 1, σ = ∞? 4. Demuestre que el Teorema de Euler implica que para una función de producción q=f(k,l) con retornos constantes a escala debe ocurrir qué: Y use dicho resultado para demostrar que para tales funciones de producción, si MP l>APl, MPk debe ser negativa. ¿Qué implicancias tiene ese hecho en relación a dónde debe ocurrir la producción? ¿Puede una firma producir en un punto en que APl sea creciente? 1 7.2 a. kl 0.8k 2 0.2l 2 q When k = 10, 10l 0.2l 2 80 q = 10L – 80 – .2L2. Marginal productivity = dq 10 .4l 0 , maximum at l = 25 dl 2 dq dl 2 AP l .4 , The total product curve is concave. q / l 10 .2l 80 / l To graph this curve: dAPl dl 80 .2 0 , maximum at l = 20. l When l = 20, q = 40, APl = 0 where l = 10, 40. b. MP l 10 .4l , 10 .4l 0, l 25 See above graph. c. k 20 q 20l .2l 2 320 APl 20 .2l MPl d. 20 .4l , 320 ; reaches max. at l = 40, q = 160 l 0 at l = 50 . Doubling of k and l here multiplies output by 4 (compare a and c). Hence the function exhibits increasing returns to scale. 2. 7.5 q Ak l a. fk 1 Ak l fl Ak l f kk ( f ll 0 1 0 2 1) Ak ( 1) Ak l f kl 1 Ak 1 l l 0 2 0 0 b. q k q l k q l q f (tk , tl ) t eq ,k eq ,l k q k q 1 Ak l Ak l 1 . c. eq ,t Ak l lim(t q t t q 1) lim( 1 )t q t q d. Quasiconcavity follows from the signs in part a. e. Concavity looks at: f kl2 f kk f ll A2k 2 ( 2 2 2 l 1) A2k 2 1) ( (1 2 2 l 2 2 2 A2k 2 2 2 l 2 ) This expression is positive (and the function is concave) only if 3 a. If q q 0 ' 0 1 2 kl kl 1 2 2 k 2 k 3 2 1 l doubling k, l gives 3 l 2q when 0 =0 b. MPl 0.5 1 (k / l )0.5 MPk 0.5 1(l / k )0.5 3 2 which are homogeneous of degree zero with respect to k and l and exhibit diminishing marginal productivities. c. = = ( q / l) ( q / k ) 2 q q k l 2 1 + 1 [ values of k, l. 2 (k/l ).5 + 3 (l/k ).5 ] + q [0.25 1 (kl ) .5 ] 2 3 which clearly varies for different 4 q f ( k , l ) exhibits constant returns to scale. Thus, for any t > 0, f (tk , tl ) tf ( k , l ) . Euler’s theorem states tf (k , l ) f k k f l l . Here we apply the theorem for the case where t = 1: hence, q f (k , l ) f k k f l l , q l f l f k (k l ) . If f l q l then f k 0 , hence no firm would ever produce in such a range.