Capítulo 7 Funciones de Producción 1 La Función de Producción • La función de producción de una firma para un bien (q) muestra el máximo monto de ese bien que puede ser producido usando combinaciones alternativas de (k) y trabajo (l) q = f(k,l) 2 Producto Marginal Físico • Para estudiar las variaciones en un sólo insumo, definimos al producto marginal físico como el producto adicional que puede ser producido si empleamos una unidad más del insumo manteniendo los otros insumos constantes Producto Marginal Físico del Capital Producto Marginal Físico del Trabajo MPk q k fk MPl q l fl 3 Productividad Marginal Decreciente • El producto marginal físico de un insumo depende de cuánto de ese insumo se ha utilizado • En general, asumiremos una productividad marginal decreciente: MPk k 2 f k 2 fkk f11 0 MPl l 2 l f 2 fll f22 0 4 Productividad Marginal Decreciente • Debido al fenómeno de la Productividad Marginal Decreciente, un economista del siglo XIX llamado Thomas Malthus se preocupó del efecto del crecimiento poblacional sobre la productividad del trabajo • Pero los cambios en la productividad marginal del trabajo a través del tiempo también dependen de cambios en otros factores productivos, como el capital – Así, sucede que muchas veces flk > 0 5 Producto Físico Promedio • La productividad del trabajo es medida muchas veces a través de la productividad media (AP): APl producto trabajo q l f (k , l ) l • Note como APl depende del monto del capital usado 6 Una función de producción con dos insumos • Suponga que la función de producción puede ser representada por: q = f(k,l) = 600k 2l2 - k 3l3 • Para construir MPl y APl, debemos asumir algún valor para k – Suponga que k = 10 • Entonces, la función se transforma a: q = 60,000l2 - 1000l3 7 Una función de producción con dos insumos • La función de productividad marginal es: MPl = q/ l = 120,000l - 3000l2 la cual decrece cuando l crece • Ello implica que q alcanza un máximo: 120,000l - 3000l2 = 0 40l = l2 l = 40 Para ése monto de k! • Así, agregar trabajo más allá de l = 40 reducirá el producto total 8 Una función de producción con dos insumos • Para encontrar la productividad promedio, asignamos k=10 y dividimos: APl = q/l = 60,000l - 1000l2 • APl alcanza su máximo en: APl/ l = 60,000 - 2000l = 0 l = 30 9 Una función de producción con dos insumos • De hecho, cuando l = 30, tanto APl como MPl son iguales a 900,000 • Así, cuando APl se encuentra en su máximo, tanto APl como MPl son iguales 10 Mapas de Isocuantas • Para ilustrar la posibilidad de sustituir un insumo por otro, es útil usar un mapa de isocuantas • Una isocuanta muestra combinaciones de k y l que producen cierto nivel de producto (q0) f(k,l) = q0 11 Mapas de Isocuantas • Cada isocuanta representa un nivel diferente de producción – El producto crece cuando nos movemos al noreste k por período q = 30 q = 20 l por período 12 Tasa Marginal de Sustitución Técnica (TMST) • La pendiente de una isocuanta muestra la tasa a la cual l puede sustituirse por k k por período kA - pendiente = Tasa Marginal de Sustitución Técnica (TMST) A B kB TMST > 0 y decreciente al incrementarse el trabajo usado q = 20 l por período lA lB 13 Tasa Marginal de Sustitución Técnica (TMST) • La Tasa Marginal de Sustitución Técnica (TMST) muestra la tasa a la cual el trabajo puede ser sustituido por capital mientras mantenemos constante el producto en una isocuanta dada: TMST (l por k ) dk dl q q0 14 TMST y las Productividades Marginales • Tomemos el diferencial total de la función de producción: dq f dl l f dk k MPl dl MPk dk • Sobre una isocuanta dq = 0, así que: MPl dl TMST (l por k ) MPk dk dk dl q q0 MPl MPk 15 TMST y las Productividades Marginales • Debido a que MPl y MPk serán ambas no negativas, la TMST será positiva (o cero) • Sin embargo, en general no es posible derivar una TMST decreciente partiendo únicamente del supuesto de productividad marginal decreciente 16 TMST y las Productividades Marginales • Para demostrar que las isocuantas son convexas, nos gustaría demostrar que d(TMST)/dl < 0 • Dado que TMST = fl/fk dTMST dl dTMST dl [ f k ( fll flk dk / dl ) fl ( f kl ( f k )2 d ( fl / f k ) dl f kk dk / dl )] 17 TMST y las Productividades Marginales • Usando el hecho de que dk/dl = -fl/fk en una isocuanta, y por el teorema de Young (fkl = flk) dTMST dl ( f k2 fll 2 f k fl f kl 3 ( fk ) fl 2 f kk ) • Dado que asumimos que fk > 0, el denominador es positivo • Dado que asumimos que fll y fkk son negativos, el cociente será negativo si fkl es positivo 18 TMST y las Productividades Marginales • Intuitivamente, parece razonable que fkl = flk debe ser positivo – Si más trabajadores tienen más capital, serán más productivos • Pero ocurre que algunas funciones de producción tienen fkl < 0 en algunos rangos de insumos – Cuando asumimos una TMST decreciente estamos asumiendo que MPl y MPk disminuyen lo suficientemente rápido como para compensar cualquier posible efecto de productividad cruzada negativo 19 Una TMST decreciente • Suponga que la función de producción es: q = f(k,l) = 600k 2l 2 - k 3l 3 • Para ésta función: MPl = fl = 1200k 2l - 3k 3l 2 MPk = fk = 1200kl 2 - 3k 2l 3 – Estas productividades marginales serán positivas para valores de k y l para los cuales kl < 400 20 Una TMST decreciente • Esto es así debido a qué: fll = 1200k 2 - 6k 3l fkk = 1200l 2 - 6kl 3 Esta función de producción muestra productividades marginales decrecientes para valores los suficientemente altos de k y l – fll y fkk < 0 si kl > 200 21 Una TMST decreciente • Una diferenciación cruzada de cualquiera de las productividades marginales significa: fkl = flk = 2400kl - 9k 2l 2 La cual es positiva únicamente para kl < 266 22 Una TMST decreciente • Así, para ésta función de producción, la TMST es decreciente en todo el rango de k y l en donde las productividades marginales son positivas – Para valores elevados de k y l, las productividades marginales decrecientes son suficientes para anular la influencia de un valor negativo de fkl y asegurar la convexidad de las isocuantas 23 Retornos a Escala • ¿Cómo responde el producto a incrementos de todos los insumos conjuntamente? – Suponga que todos los insumos se doblas… ¿Conseguirá ello doblar el producto? • Retornos a escala han sido de interés a los economistas desde los tiempos de Adam Smith! 24 Retornos a Escala • Smith identificó dos fuerzas que entran en juego cuando los insumos son duplicados: – Una división del trabajo y una mayor especialización (efecto positivo) – Una pérdida de eficiencia debido a que la administración se torna más difícil dado el mayor tamaño de la firma 25 Retornos a Escala • Si la función de producción está dada por q = f(k,l) y todos los factores son multiplicados por la misma constante positiva (t >1), Entonces: Efecto en el Producto f(tk,tl) = tf(k,l) Retornos a Escala Constantes f(tk,tl) < tf(k,l) Decrecientes f(tk,tl) > tf(k,l) Crecientes 26 Retornos a Escala • Es posible que una función de producción exhiba retornos constantes a escala para algunos niveles de utilización de insumos, y retornos decrecientes o crecientes para otros niveles – Los economistas nos referimos al grado de los retornos a escala con la noción implícita de que solo estamos considerando un rango de variación (relativamente pequeño) en el uso de insumos 27 Retornos a Escala Constantes • Funciones de producción con retornos constantes a escala son homogéneas de grado 1 en insumos: f(tk,tl) = t1f(k,l) = tq • Esto implica que las funciones de productividad marginal son homogéneas de grado 0 – Si una función es homogénea de grado k, sus derivadas son homogéneas de grado 28 k-1 Retornos a Escala Constantes • La productividad marginal de cada insumo depende del cociente de capital y trabajo (y no así de los niveles absolutos de los insumos) • La TMST entre k y l depende únicamente del cociente de k a l, y no de la escala de operaciones 29 Retornos a Escala Constantes • La función de producción será homotética • Geométricamente, todas las isocuantas son una expansión radial unas de las otras 30 Retornos a Escala Constantes • A partir de un rayo desde el origen (un cociente k/l constante), la TMST será igual en todas las isocuantas k por periodo Las isocuantas se encuentran igualmente espaciadas mientras crece el producto q=3 q=2 q=1 l por periodo 31 Retornos a Escala • Los retornos a escala pueden ser generalizados a una función de producción con n insumos q = f(x1,x2,…,xn) • Si todos los factores son multiplicados por una constante positiva t, tenemos: f(tx1,tx2,…,txn) = tkf(x1,x2,…,xn)=tkq – Si k = 1, tenemos retornos constantes a escala – Si k < 1, tenemos retornos decrecientes a escala – Si k > 1, tenemos retornos crecientes a escala 32 Elasticidad de Sustitución • La elasticidad de sustitución ( ) mide el cambio proporcional en k/l relativo al cambio proporcional de la TMST en una isocuanta dada % (k / l ) % TMST d (k / l ) TMST dTMST k / l ln(k / l ) ln TMST • El valor de siempre será positivo debido a que k/l y TMST se mueven en la misma dirección siempre 33 Elasticidad de Sustitución • Tanto la TMST como k/l cambiarán al movernos del punto A al punto B es el cociente de estos cambios proporcionales k por periodo TMSTA A TMSTB (k/l)A (k/l)B B mide la curvatura de la isocuanta q = q0 l por periodo 34 Elasticidad de Sustitución • Si es alta, la TMST no cambiará mucho en relación a k/l – Las isocuantas serán relativamente planas • Si es baja, la TMST cambiará en un monto sustancial cuando k/l cambia – Las isocuantas serán fuertemente curvadas • Es posible que cambie sobre una isocuanta o a medida que la escala de la producción cambia 35 Elasticidad de Sustitución • Generalizar la elasticidad de sustitución a muchos insumos genera diversas complicaciones – Si definimos la elasticidad de sustitución entre dos insumos como el cambio proporcional en el cociente de los dos insumos en relación al cambio proporcional en la TMST, necesitamos mantener constante tanto el producto como los niveles de los otros insumos 36 Función de Producción Lineal • Suponga que la función de producción es: q = f(k,l) = ak + bl • Esta función de producción muestra retornos constantes a escala f(tk,tl) = atk + btl = t(ak + bl) = tf(k,l) • Todas las isocuantas son líneas rectas – La TMST es constante – = 37 Función de Producción Lineal El trabajo y el capital son sustitutos perfectos k por periodo TMST es constante a medida que k/l cambia pendiente = -b/a q1 q2 = q3 l por periodo 38 Proporciones Fijas • Suponga que la función de producción es: q = min (ak,bl) a,b > 0 • El trabajo y el capital siempre tienen que ser utilizados en una proporción fija – La firma siempre operará en un rayo donde el cociente k/l es constante • Dado que k/l es constante, =0 39 Proporciones Fijas No es posible ningún tipo de sustitución entre el trabajo y el capital k/l está fijo en b/a k por periodo =0 q3 q3/a q2 q1 l por periodo q3/b 40 Función de Producción CobbDouglas • Suponga que la función de producción es q = f(k,l) = Akalb A,a,b > 0 • Esta función de producción puede mostrar cualquier tipo de retornos a escala f(tk,tl) = A(tk)a(tl)b = Ata+b kalb = ta+bf(k,l) – Si a + b = 1 Retornos constantes a escala – Si a + b > 1 Retornos crecientes a escala – Si a + b < 1 Retornos decrecientes a escala 41 Función de Producción CobbDouglas • La función de producción Cobb-Douglas es lineal en logaritmos ln q = ln A + a ln k + b ln l – a es la elasticidad de producción con respecto ak – b es la elasticidad de producción con respecto al 42 Función de Producción CES • Suponga que la función de producción es q = f(k,l) = [k + l ] / 1, 0, > 0 – >1 Retornos crecientes a escala – <1 Retornos decrecientes a escala • Para esta función de producción = 1/(1- ) – – – =1 ==0 Función de producción lineal Función de producción de proporciones fijas Función de producción lineal Cobb-Douglas 43 Función de Producción Leontief Generalizada • Suponga que la función de producción es q = f(k,l) = k + l + 2(kl)0.5 • Las productividades marginales son fk = 1 + (k/l)-0.5 fl = 1 + (k/l)0.5 • Por lo tanto, TMST fl fk 1 (k / l )0.5 1 (k / l ) 0.5 44 Progreso Técnico • Los métodos de producción cambian con el tiempo • Después del desarrollo de técnicas de producción superiores, los mismos niveles de producción podrán ser alcanzados con menos factores – Las isocuantas se desplazan hacia adentro 45 Progreso Técnico • Suponga que la función de producción es q = A(t)f(k,l) Donde A(t) representa a todas las influencias que determinan a q (distintas de k y l ) – Cambios en A sobre el tiempo significan progreso técnico • A se muestra como una función del tiempo (t) • dA/dt > 0 46