Matrices 1. Consideremos las matrices

Matrices
1. Consideremos las matrices:


3 1 4
A =  −2 0 1  ,
1 2 2
Calcular: 4A + B,
(2A)t − 3B t ,


1
0 2
1 1 ,
B =  −3
2 −4 1
A.B,
C.A
µ
C=
1
2 0
1 −1 3
¶
C.A.A.B
2. Sean:


1 −3
2
1 −3  ,
A= 2
4 −3 −1


1
4 1 0
1 1 1 ,
B= 2
1 −2 1 2


2
1 −1 −2
C =  3 −2 −1 −1 
2 −5 −1
0
Calcular A.B y A.C. ¿Es verdadera para matrices la siguiente proposición?
¾
A.B = A.C
=⇒ B = C
A 6= O
3. Probar que:
(a) A, B ∈ Mm×n =⇒ (A + B)t = At + B t .
(b) A ∈ Mm×n , α ∈ R =⇒ (αA)t = αAt .
(a) A ∈ Mm×n , B ∈ Mn×m =⇒ (A.B)t = B t .At .
4. Un laboratorio fabrica tres productos (A, B y C) cada uno de los cuales requiere de ciertas cantidades
de tres tipos de materia prima y de mano de obra. La matriz R resume los requerimientos por unidad
de cada producto:


2 4 5 5
R =  3 2 3 8 
1 3 5 4
Las necesidades de materias primas se dan en kg por unidad y las de mano de obra en horas por
unidad. Las tres materias primas cuestan $2, $3 y $1,50 por kg respectivamente. Los costos de mano
de obra son de $5 por hora. Suponga que se deben fabricar 500, 1000 y 400 productos de tipo A, B
y C respectivamente. Plantee las operaciones matriciales que deben realizarse para calcular el costo
total de la producción.
5. (a) Hallar, si es posible, la inversa de cada una de

µ
¶
3
3 5
A=
,
B= 0
1 2
1
(b) Resolver el sistema:

 6x − 2y + 3z = 1
3x + y + 2z = 1

3x − 8y + 3z = 1
las siguientes matrices:



6 −2 3
5 0
1 2 
0 1 ,
C= 3
3 −8 3
2 0

(c) Hallar una matriz X tal que:
6. Consideremos las matrices:


2 −3 −5
4
5 ,
A =  −1
1 −3 −4

1 2 1
X .B =  0 1 2 
−1 0 3


−1
3
5
B =  1 −3 −5  ,
−1
3
5


2 −2
4
3
4 
C =  −1
1 −2 −3
Verificar que A.B = B.A = O, A.C = A, C.A = C, C 2 = C, A2 = A. Deducir que A, B y C
NO son invertibles.
7. (a) Si A, B ∈ Mn×n
probar que:
A y B invertibles =⇒ A.B es invertible y (A.B)−1 = B −1 .A−1
A invertible =⇒ A−1 es invertible y (A−1 )−1 = A
A invertible =⇒ At es invertible y (At )−1 = (A−1 )t
Si A es invertible entonces A.B = O ⇐⇒ B = O
µ
¶
µ
¶
1 2
−2 −2
(b) Sean A =
,
B =
Verificar que A.B = O. ¿Qué se puede
1 2
1
1
deducir sobre A y B?


λ1


..
8. Sea D = 
 una matriz diagonal. Probar que
.
λn
 p

λ1


..
(a) Dp = 
 ∀p ∈ N.
.
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
λpn


(b) D es invertible si, y sólo si, λ1 . . . .λn 6= 0 y, en ese caso, D−1 = 
λ−1
1

..


.
λ−1
n
9. Matrices semejantes. Decimos que A, B ∈ Mn×n son semejantes, y escribimos A ≈ B, si existe
C ∈ Mn×n invertible tal que A = C.B.C −1 .
(a) Probar que la relación de semejanza es una relación de equivalencia.
(b) Probar que A ≈ B ⇐⇒ At ≈ B t .
(b) Probar que A ≈ B ⇐⇒ A − λI ≈ B − λI, ∀λ ∈ R.
(d) Investigar
si son
µ
¶ semejantesµlas siguientes
¶ matrices:µ
¶
1
2
9 −10
2 1
A=
,
B=
,
C=
0 −1
8 −9
3 0
(e) Probar que A ≈ B =⇒ Am ≈ B m , ∀m ∈ N.
1. Probar que det(α · A) = αn · det(A), A ∈ Mn×n , α ∈ R.
2. Demostrar que si A es antisimétrica (o sea que si At = −A ∈ Mn×n ) y n es impar entonces det(A) = 0.
3. Probar que en general no es cierto que det(A + B) = det(A) + det(B) con A, B ∈ Mn×n .