TEORIA ELECTROMAGNETICA FIZ 0321 (12) Ricardo Ramı́rez Facultad de Fı́sica, Pontificia Universidad Católica, Chile 2do. Semestre 2006 CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA Consideremos el circuito de la figura: L ε(t) C R La fuente E(t) = Eo cos(ωt) es un generador de corriente alterna. E(t) = RI + L dI q + dt C Primero derivamos la ecuación anterior con respecto al tiempo: dE(t) I dI d 2I =R +L 2 + dt dt dt C Ahora escribimos: E(t) = Eo eiωt Después de un largo tiempo la corriente tendrá la misma forma: I(t) = Io eiωt donde Io = |Io |eiφ Reemplazamos las expresiones para E(t) e I(t) en la ecuación anterior y obtenemos: » – 1 iωEo eiωt = iωR − ω 2 L + Io eiωt C Dividiendo por iω: – » 1 Io eiωt Eo eiωt = R + iωL + iωC Luego Eo = ZIo donde Z = R + iωL + Similar a Ley de Ohm. Z se llama la impedancia del circuito. 1 iωC Nótese que Io es en general complejo. Si escribimos Z como: Z = |Z |eiφ donde: " φ = tan−1 ωL − 1 ωC # R vemos que: Eo −iφ e |Z | Si el circuito es preponderantemente inductivo, i.e. φ > 0 ,entonces podemos ver que Io = la corriente va atrasada con respecto a la F.E.M. Eo . Lo opuesto ocurre en un circuito preponderantemente capacititivo, i.e. φ < 0, en este caso la corriente va adelantada con respecto a la F.E.M Eo . Las impedancias se combinan en la misma forma que las resistencias. Z = Z1 + Z2 1/Z = 1/Z1 + 1/Z2 z1 z2 z1 z2 Potencia y factores de potencia Consideremos el circuito con una fuente alterna que se muestra en la figura, en el cual el amperı́metro tiene resistencia cero y voltı́metro resistencia infinita. A V Z Elegiremos la fase de V (t) = Vo eiωt como cero e I(t) = Io eiωt , con Io = |Io |eiφ , donde −φ es la fase de la impedancia Z de este circuito. La potencia instantánea está dada por: P(t) = ReI(t)ReV (t) por lo tanto la potencia promedio se calcula de : P̄ = ReI(t)ReV (t) = 1 1 1 Re(Io∗ Vo ) = Re(|Io |e−iωt−iφ |Vo |eiωt ) = |Io ||Vo | cos φ 2 2 2 Resonancia y sintonización de circuitos Tomemos el módulo de la última expresión: |Io | = |Eo | |Z | y r |Z | = R 2 + (ωL − 1 2 ) ωC Ası́ vemos que la corriente Io es máxima cuando ω = √1LC , esta es la frecuencia de resonancia ωo . En la resonancia el potencial en la resistencia es igual a Eo y el voltaje en el condensador es Vc = I/(iωo C) = Eo /(iωo CR). La razón entre |Eo | y |Vc | se llama el factor de calidad Q del circuito y está dado por: r |Eo | 1 1 L ωo L = = = Q= |Vc | ωo CR R C R Si tomamos una frecuencia levemente fuera de la resonancia ω = ωo + δω y la reemplazamos en la expresión de Z y despreciamos los términos de orden (δω)2 y superiores: Z = R + i(ωo L + δωL − 1 δω + 2 ) = R + 2iδωL ωo C ωo C Lo que se puede escribir como: Z = R(1 + 2i δω Q) ωo y s |Z | = R 1 + 4Q 2 „ δω ωo «2 Entonces cuando la frecuencia se desvı́a de la resonancia de modo que √ δω/ωo = ±1/(2Q), la corriente cae en un factor 1/ 2 desde su valor máximo. 1 I/Imax 0.8 0.6 0.4 0.2 0 −4 −2 0 Qδω/ωο 2 4 Filtros L C L R C R