Hallar la ecuación de una elipse dadas ciertas

p
Hallar la ecuación de la elipse que pasa por el punto
7=2; 3 , tiene su
centro en el origen, su eje menor coincide con el eje X y la longitud de su eje
mayor es el triple de la de su eje menor.
Solución:
Por las especi…caciones del problema es claro que la ecuación es de la forma
y2
x2
+
=1
b2
a2
La condición sobre los ejes nos da
2a = 3 (2b)
p
El que el punto
7=2; 3 este en la elipse nos da una segunda ecuación
9
7 1
+ 2 =1
4 b2
a
Resolvemos este sistema por sustitución. Poniendo a = 3b de la primera en
la segunda,
7 1
1
9
1=
+
4b2 11 = 0
2
4 b2
4b2
(3b)
ó sea
4b2 11 = 0
que tiene
p dos soluciones
11
b=
2
p
11
Claramente solo es valido el valor positivo y b =
2
Sustituyendo!de regreso
p
11
3p
a=3
=
11
2
2
y la ecuación queda
y2
x2
+
!
p
p !2 = 1
2
11
3 11
2
2
ó …nalmente
36x2 + 4y 2 99 = 0
1
y
5
4
3
2
1
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
-5
2
2
3
x