Sesión 3. La Elipse Definición: Una elipse es el lugar geométrico de los puntos en un mismo plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante (llamada k). Partes de una Elipse (L2) Eje normal A1 V1 LR F1 Lado Recto LR F2 C V2 (L1) Eje focal A2 Partes de una elipse C: Centro de la elipse F1 y F2: Focos 1 y 2 V1 y V2: Vértice 1 y 2 L1: Eje focal L2: Eje Normal LR: Lado Recto Longitudes de una Elipse (L2) Eje normal A1 LR V1 LR F2 C F1 b V2 (L1) Eje focal b A2 c a c a Para determinar la constante k mencionada en la definición nos basamos en la misma definición y situamos un punto P sobre el vértice V y utilizando la suma de la distancia entre el vértice V y los dos focos encontramos la contante k. A1(0,b) dpf´ V’(-a,0) dpf P(a,0) F(c,0) F’(-c,0) A2(0,-b) ݀ + ݀´ = ݇ ඥሺܽ − ܿሻଶ + ሺ0 − 0ሻଶ + ඥሺܽ + ܿሻଶ + ሺ0 − 0ሻଶ = ݇ ඥሺܽ − ܿሻଶ + ඥሺܽ + ܿሻଶ = ݇ ሺܽ − ܿሻ + ሺܽ + ܿሻ = ݇ ܽ−ܿ+ܽ+ܿ =݇ 2ܽ = ݇ ݇ = 2ܽ Por lo tanto en la definición de la elipse la constante k equivale a 2a que nos será útil para demostrar la formula de la elipse con centro en el origen y cuyo eje focal se encuentra sobre el eje x. A continuación veamos qué relación tiene las longitudes a, b y c en la elipse; para ello aplicamos la definición de elipse situando ahora el punto P sobre el punto A1 y utilizando el valor de k=2a. P(0,b) dpf´ dpf V’(-a,0) V(a,0) F(c,0) F’(-c,0) A2(0,-b) ݀´ + ݀ = 2ܽ ඥሺ0 + ܿሻଶ + ሺܾ − 0ሻଶ + ඥሺ0 − ܿሻଶ + ሺܾ − 0ሻଶ = 2ܽ ඥܿ ଶ + ܾ ଶ + ඥܿ ଶ + ܾ ଶ = 2ܽ 2ඥܿ ଶ + ܾ ଶ = 2ܽ ඥܿ ଶ + ܾ ଶ = ܽ ଶ ቀඥܿ ଶ + ܾ ଶ ቁ = ܽଶ ܿ ଶ + ܾ ଶ = ܽଶ Esto nos indica que el cuadrado de la longitud del semieje mayor es igual al cuadrado de la distancia del centro a uno de los focos más el cuadrado de la longitud del semieje menor. Si despejamos b2 tenemos que, ܾ ଶ = ܽଶ − ܿ ଶ Ya que sabemos cuál es la relación entre los valores de a, b y c estamos listos para demostrar la ecuación de la elipse con centro en el origen y cuyo eje focal se encuentra a lo largo del eje de las x. ݔଶ ݕଶ + ଶ=1 ܽଶ ܾ Para demostrar la ecuación estándar de la elipse, ahora situaremos un punto P en cualquier parte a lo largo de la elipse con coordenadas P(x,y) y utilizando la definición de la elipse se tiene que: A1(0,b) dpf´ P(x,y) dpf V’(-a,0) V(a,0) F(c,0) F’(-c,0) A2(0,-b) ݀´ + ݀ = 2ܽ ඥሺ ݔ+ ܿሻଶ + ሺ ݕ− 0ሻଶ + ඥሺ ݔ− ܿሻଶ + ሺ ݕ− 0ሻଶ = 2ܽ ඥሺ ݔ+ ܿሻଶ + ݕଶ + ඥሺ ݔ− ܿሻଶ + ݕଶ = 2ܽ Despejando la segunda raíz cuadrada al lado derecho de la ecuación se tiene que ඥሺ ݔ+ ܿሻଶ + ݕଶ = 2ܽ − ඥሺ ݔ− ܿሻଶ + ݕଶ Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación para eliminar las raíces tenemos ଶ ቀඥሺ ݔ+ ܿሻଶ + ݕଶ ቁ = ቀ2ܽ − ඥሺ ݔ− ܿሻଶ + ݕଶ ቁ ଶ Cancelando la raíz con el cuadrado del lado izquierdo y elevando el binomio al cuadrado del lado derecho tenemos que ሺ ݔ+ ܿሻଶ + ݕଶ = 4ܽଶ − 2ሺ2ܽሻඥሺ ݔ− ܿሻଶ + ݕଶ + ቀඥሺ ݔ− ܿሻଶ + ݕଶ ቁ ଶ ݔଶ + 2ܿ ݔ+ ܿ ଶ + ݕଶ = 4ܽଶ − 4ܽඥሺ ݔ− ܿሻଶ + ݕଶ + ሺ ݔ− ܿሻଶ + ݕଶ ݔଶ + 2ܿ ݔ+ ܿ ଶ + ݕଶ = 4ܽଶ − 4ܽඥሺ ݔ− ܿሻଶ + ݕଶ + ݔଶ − 2ܿ ݔ+ ܿ ଶ + ݕଶ Simplificando la ecuación anterior tenemos que 2ܿ = ݔ4ܽଶ − 4ܽඥሺ ݔ− ܿሻଶ + ݕଶ − 2ܿݔ 0 = 4ܽଶ − 4ܽඥሺ ݔ− ܿሻଶ + ݕଶ − 4ܿݔ Dividiendo toda la ecuación anterior entre 4 y despejando el término de la raíz tenemos que ܽଶ − ܽඥሺ ݔ− ܿሻଶ + ݕଶ − ܿ = ݔ0 ܽଶ − ܿܽ = ݔඥሺ ݔ− ܿሻଶ + ݕଶ Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación para eliminar la raíz del lado derecho tenemos ሺܽଶ − ܿݔሻଶ = ቀܽඥሺ ݔ− ܿሻଶ + ݕଶ ቁ ଶ ܽସ − 2ܽଶ ܿ ݔ+ ܿ ଶ ݔଶ = ܽଶ ሾሺ ݔ− ܿሻଶ + ݕଶ ሿ Simplificando el lado derecho y eliminando términos semejantes del lado izquierdo tenemos ܽସ − 2ܽଶ ܿ ݔ+ ܿ ଶ ݔଶ = ܽଶ ሺ ݔଶ − 2ܿ ݔ+ ܿ ଶ + ݕଶ ሻ ܽସ − 2ܽଶ ܿ ݔ+ ܿ ଶ ݔଶ = ܽଶ ݔଶ − 2ܽଶ ܿ ݔ+ ܽଶ ܿ ଶ + ܽଶ ݕଶ Eliminando el término -2a2cx tenemos que ܽସ + ܿ ଶ ݔଶ = ܽଶ ݔଶ + ܽଶ ܿ ଶ + ܽଶ ݕଶ Despejar los términos que tengan x y y del lado derecho y los que no del lado izquierdo ܽସ −ܽଶ ܿ ଶ = ܽଶ ݔଶ − ܿ ଶ ݔଶ + ܽଶ ݕଶ Sacando factor común del lado derecho y del lado izquierdo tenemos que ܽଶ ሺܽଶ − ܿ ଶ ሻ = ݔଶ ሺܽଶ − ܿ ଶ ሻ + ܽଶ ݕଶ Dividiendo ambos miembros de la ecuación entre a2(a2-c2) ܽଶ ሺܽଶ − ܿ ଶ ሻ ݔଶ ሺܽଶ − ܿ ଶ ሻ ܽଶ ݕଶ = + ܽଶ ሺܽଶ − ܿ ଶ ሻ ܽଶ ሺܽଶ − ܿ ଶ ሻ ܽଶ ሺܽଶ − ܿ ଶ ሻ Simplificando tenemos que 1= ݔଶ ݕଶ + ܽଶ ሺܽଶ − ܿ ଶ ሻ De la relación entre a, b y c calculado anteriormente sustituir el valor de b2=a2-c2 para obtener finamente la ecuación de la elipse en su forma estándar con eje focal a lo largo del eje x. 1= ݔଶ ݕଶ + ܽଶ ܾ ଶ ݔଶ ݕଶ + =1 ܽଶ ܾ ଶ