Definición de nuevas variables

Definición de nuevas variables
A veces se nos piden resolver ecuaciones o sistemas de ecuaciones relativamente complejos, que no
parecen resolubles de forma sencilla a primera vista. Algunas de estas ecuaciones se pueden resolver de
forma más sencilla si definimos variables o incógnitas nuevas a partir de las que ya tenemos. Al final,
una variable o una incógnita no es más que un símbolo que hemos definido para representar algo que, o
bien va a tomar valores distintos (variable), o tiene un valor fijo, pero que no conocemos (incógnita). No
tenemos entonces ninguna restricción a la hora de definir nuevas variables o incógnitas.
La definición de nuevas variables o incógnitas de forma que el problema se simplifique al máximo no es
algo que se pueda “estudiar” de forma sencilla, porque hay muchísimas técnicas y casos particulares, y
ponernos a mirar y a aprender cada una de ellas de memoria nos costaría muchísimo tiempo. Para utilizar
correctamente esta técnica, nos puede bastar sin embargo con dos cosas: la primera, tener siempre en
cuenta que podemos utilizarla, es decir, en cada caso que veamos una expresión algebraica, ecuación o
sistema “complicado”, ver si podemos simplificarlo definiendo nuevas variables o incógnitas; la segunda
es la práctica: cuantos más casos hayamos visto y probado a resolver nosotros mismos con esta técnica,
de más formas se me ocurrirá, ante un problema nuevo, cómo definir variables o incógnitas que lo
simplifiquen.
Veamos entonces esta técnica ilustrada con un par de ejemplos, y a partir de ellos, intenta tú mismo
aplicarla cuando te parezca que puede ser útil. Verás que las primeras veces te cuesta, y que te encuentras
con muchos problemas en los que no parece ayudarte. ¡No te desanimes! Con el tiempo y la práctica,
desarrollarás la intuición para ver los cambios de variable útiles “a golpe de vista”, y a distinguir los casos
en los que no merezca la pena utilizar esta técnica. Y vamos con los ejemplos:
Encontrar todas las soluciones reales (x,y) del sistema de ecuaciones
x 2 − xy + y 2 = 7 ⎫
⎬
x 2 y + xy 2 = −2 ⎭
A primera vista el sistema no parece sencillo, es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, ¡pero
las ecuaciones no son lineales! No parece que podamos utilizar técnicas usuales conocidas. Ahora bien,
si nos fijamos en la segunda ecuación, vemos que la puedo escribir como xy(x+y)=−2. A lo mejor puedo
expresar también la primera ecuación sólo con el producto y la suma de x e y... ¡Sí! Puedo decir que
x2−xy+y2=(x+y)2−3xy. Llamo entonces s a la suma de x e y, y p a su producto, y tengo el nuevo sistema
s 2 − 3 p = 7⎫
⎬
ps = −2 ⎭
Si multiplico todos los términos de la primera ecuación por s (que no puede ser igual a 0 ya que su
producto con p no es cero), obtengo una ecuación de tercer grado s3−7s+6=0. Hemos reducido entonces
el problema, de un sistema de dos ecuaciones no lineales con dos incógnitas, a una sola ecuación. ¡Parece
que hemos simplificado el problema! Además, esta ecuación de tercer grado tiene una raíz fácil de
encontrar, s=1, con lo que dividimos el polinomio de tercer grado por s−1 y obtenemos que las otras dos
raíces han de cumplir s2+s−6=0, que ahora sí podemos resolver de la forma habitual, hallando las otras
dos raíces s=2 y s=−3. A cada uno de estos tres casos le corresponde respectivamente p=−2, p=−1 y
p=2/3. Para cada una de estos tres pares de valores de s y p, puedo entonces por Cardano-Vieta escribir
una ecuación de segundo grado x2−sx+p=0, cuyas dos raíces serán x e y. Por ejemplo, en el primer caso,
la ecuación sería
x2 − x − 2 = 0 ,
x=
1± 1+ 8
= 2,−1 .
2
¿Cuál sería x y cuál sería y? Bueno, como en las dos ecuaciones iniciales, al intercambiar x por y las
ecuaciones permanecen iguales, cualquiera de los dos podría ser x, y el otro sería y. Hemos obtenido ya
de aquí dos soluciones:
x = 2, y = −1 ,
x = −1, y = 2 .
Si procedemos de la misma forma en los otros dos casos, llegamos a
x=
x2 − 2 x − 1 = 0 ,
2± 4+4
=1± 2 ,
2
y
x 2 + 3x +
−3± 9−
2
= 0,
3
x=
2
8
3 = − 9 ± 57 .
6
Esta última raíz parece bastante complicada, ¡seguro que no la hubiéramos encontrado “probando”! Sin
embargo, mediante el cambio de variable la hemos hallado sin más que resolver dos ecuaciones de
segundo grado con una sola incógnita cada una.
Halla las soluciones reales de la ecuación:
⎛ 6 − x ⎞⎛ 6 − x
⎞
+ x⎟ = 8 .
x⎜
⎟⎜
⎝ x + 1 ⎠⎝ x + 1
⎠
Nuevamente nos encontramos con una ecuación, esta vez en una sóla variable, pero relativamente
complicada. Si operamos, obtenemos que es equivalente a una ecuación de cuarto grado en x, y nos
puede pasar que, por mucho que probemos, ¡no encontremos ni siquiera una sóla raíz! Nos es entonces
difícil simplificar el polinomio de cuarto grado para intentar resolver el problema por ese camino. Sin
embargo, vemos que hay un factor que se repite dos veces, y que si lo consiguiera eliminar, la ecuación se
simplificaría mucho: es el factor (6−x)/(x+1). Si a este factor le llamo y, entonces la ecuación original se
reduce a
xy (x + y ) = 8 .
¡Esto ya empieza a tener mejor pinta! Bueno, ya tengo una única ecuación, más sencilla, pero con dos
variables... ¿Dónde está la segunda ecuación que me falta? ¡En la propia definición de y!
y=
6− x
⇔ xy + x + y = 6 .
x +1
Ahora esto ya tiene pinta de poder resolverse mucho más fácilmente que la ecuación original, pero si no
quiero hacer más cálculos de los necesarios, puedo definir s=x+y, p=xy, y entonces obtengo que s+p=6,
sp=8, es decir, por Cardano-Vieta, la suma s de x e y, y su producto p, son las dos raíces de la ecuación
s 2 − 6s + 8 = 0 ,
de donde s=4 y p=2, o s=2 y p=4. Igual que en el problema anterior, por simetría entre x e y (es decir, ya
que puedo intercambiar x e y sin que ninguna de las ecuaciones en las que intervienen varíe), puedo
asegurar que x será una de las raíces de x2−4x+2=0, o de x2−2x+4=0. La segunda ecuación tiene
discriminante negativo, luego no puede tener raíces reales, luego x ha de satisfacer necesariamente la
primera, es decir,
x=
4 ± 16 − 8
= 2± 2 .
2
Estos dos son los únicos valores de x que satisfacen la ecuación original. ¡Normal que no fuera sencilla la
simplificación de la ecuación de cuarto grado! A partir de estos dos ejemplos, prueba este método tú
mismo cada vez que te parezca que puede ser útil.