BASE8 ecuaciones2

CATÁLOGO MATEMÁTICO
POR JUAN GUILLERMO BUILES GÓMEZ
BASE 8: ECUACIONES DE PRIMER Y DE SEGUNDO GRADO
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
ECUACIONES DE PRIMER GRADO O LINEALES CON UNA SOLA
INCÓGNITA:
Teoría
tomada
de
http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuaciones_primer_grado.html
Ecuaciones de primer grado o lineales
Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido,
llamado incógnita o variable, y que se cumple para determinado valor numérico de
dicha incógnita.
Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades
algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se
escribe).
Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer
grado se deben seguir los siguientes pasos:
1. Se reducen los términos semejantes, cuando es posible.
2. Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo),
los que contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que
carezcan de ella en el derecho.
3. Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible.
4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el
coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica.
Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita
Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el criterio
del operador inverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en el
siguiente ejemplo:
Resolver la ecuación 2x – 3 = 53
Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=),
entonces para llevar el –3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso
aditivo (el inverso aditivo de –3 es +3, porque la operación inversa de la resta es la
suma).
Entonces hacemos:
2x – 3 + 3 = 53 + 3
En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos:
2x = 53 + 3
2x = 56
Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x,
entonces lo pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo,
aplicamos el inverso multiplicativo de 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación:
2x • ½ = 56 • ½
Simplificamos y tendremos ahora:
x = 56 / 2
x = 28
Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 28.
Ejemplo:
Resolución de la ecuación
2x - 3 = 2
1º paso: Se suma a los dos miembros 3.
2x -3 + 3 = 2 + 3
2x = 5
2º paso. Se divide los dos miembros por 2.
2x /2 = 5/2
SOLUCIÓN: x = 5 / 2
Resolvamos otros ejemplos:
Llevamos los términos semejantes a un lado de la
igualdad y los términos independientes al otro
lado de la igualdad (hemos aplicado operaciones
inversas donde era necesario).
Resolvemos
las
anteriormente.
operaciones
indicadas
Aplicamos operaciones inversas, y simplificamos.
(pasamos todos los términos con “x” a la izquierda, cambiado el
signo 8x pasa como – 8x)
(redujimos los términos semejantes en el primer miembro: 5x –
8x = – 3x)
(dividimos ambos términos por – 3 para despejar la “x”)
(– 15 dividido – 3 es igual a 5. Número negativo dividido por un
número negativo, el resultado es positivo)
(pasamos a la derecha los términos conocidos, en este caso
sólo +1 que pasa como – 1)
(reducción de términos semejantes: 2 – 1 = 1)
(dividimos ambos términos por 4 para que, al simplificar 4/4
quede la x sola).Esto es lo mismo que tener 4x = 1 y
simplemente pasar a la derecha como divisor el 4 que en la
izquierda está multiplicando.
(léase, menos un tercio). La fracción es negativa pues se
divide un positivo, el 1, con un negativo, el – 3.
Resolución de ecuaciones con agrupaciones de signos
Para resolver este tipo de ecuaciones primero debemos suprimir los signos de
agrupación considerando la ley de signos, y en caso de existir varias
agrupaciones, desarrollamos de adentro hacia afuera las operaciones.
Veamos el siguiente ejemplo:
Primero quitamos los paréntesis.
Reducimos términos semejantes.
Ahora quitamos los corchetes.
Transponemos los términos, empleando
el criterio de operaciones inversas.
Nuevamente
semejantes
reducimos
términos
Despejamos x pasando a dividir a – 2,
luego simplificamos.
Advertencia
Para suprimir los signos de agrupación debemos tener en cuenta que:
a) Si tenemos un signo + antes de un signo de agrupación no afecta en nada a lo
que esté dentro de este signo. Por ejemplo: +(3x – 5) = 3x – 5
b) Si por el contrario, tenemos un signo – antes del signo de agrupación, este
signo afectará a todo lo que esté dentro del signo. Todos los términos dentro del
signo de agrupación cambiarán de signo. Por ejemplo: –(3x – 5) = – 3x + 5
Resolución de ecuaciones con productos incluidos
Para resolver este tipo de ecuaciones, primero se efectúan los productos incluidos
y luego se sigue el procedimiento general (aplicando el criterio de las operaciones
inversas).
Observemos un ejemplo:
Resolvemos el producto indicado, y
adicionalmente eliminamos los paréntesis.
Llevamos los términos semejantes a un lado
de la igualdad, y los términos independientes
al otro lado (empleamos operaciones
inversas.)
Reducimos términos semejantes en ambos
lados de la igualdad.
Despejamos x pasando 3 a dividir.
AHORA
VAMOS
A
RESOLVER
ROMPECABEZAS MULTIFUNCIONAL
ECUACIONES
UTILIZANDO
EL
a) Resolver la ecuación 3X +4 = 2X +6
1°) Representemos con las fichas la expresión o ecuación dada
=
2°) Aplicando el principio de la balanza en equilibrio:” En una balanza en
equilibrio, se pueden agregar o quitar la misma cantidad a ambos lados y el
equilibrio se conserva” (Ley uniforme). Vamos a quitar cuatro unos (1) a
ambos lados…
=
3°) Ahora eliminamos dos X a ambos lados…
=
4°) Haciendo la lectura directa, tenemos que X=2
4 X -2= X – 8
b) Resolver la ecuación:
1°) Representemos con las fichas la expresión o ecuación dada
=
2°) Aplicando el principio de la balanza en equilibrio:” En una balanza en
equilibrio, se pueden agregar o quitar la misma cantidad a ambos lados y el
equilibrio se conserva” (Ley uniforme). Vamos a quitar dos unos (-1) a
ambos lados…
=
3°) Ahora eliminamos una X a ambos lados…
=
4°) Como quedaron tres (3) X; debemos formar tres grupos iguales con los
unos, quedando entonces que cada X equivale a -2.
X = -2
Planteamiento y Resolución de problemas mediante ecuaciones
Para resolver un problema, debemos plantearlo en forma matemática y luego
realizar las operaciones correspondientes para hallar el valor de la incógnita (el
dato que deseamos conocer).
Veamos un problema característico:
Pedro es 3 años menor que Álvaro, pero es 7 años mayor que María. Si la suma
de las edades de los tres es 38, ¿qué edad tiene cada uno?
Digamos que las edades de los tres son:
x
y
z
edad
edad
de
de
Pedro
Álvaro
edad de María
Sabemos que la edad de Álvaro es igual a la edad de Pedro más 3 años (Pedro es
tres años menor que Álvaro):
y=x+3
También sabemos que la edad de María es igual a la edad de Pedro menos 7
años (Pedro es 7 años mayor que María):
z=x–7
Ahora tenemos que:
edad de Pedro:
x
edad de Álvaro:
x +3
edad de María:
x–7
La suma de las tres edades es 38:
x + x +3 + x – 7 = 38
Resolviendo está última ecuación tendremos:
x = 14 (esta es la edad de Pedro)
Finalmente:
edad de Pedro:
x
= 14 años
edad de Álvaro:
x + 3 = 17 años
edad de María:
x–7
= 7 años
Fuente Internet:
Publicación oficial del Demre en www.demre.cl
Es propiedad: www.profesorenlinea.cl. Registro Nº 188.540
1. Se corta una tabla de 3 metros de largo en dos partes, de modo que una de
ellas es 50 cm más larga que la otra. ¿Cuáles son las longitudes de cada parte?
A) 250 cm y 50 cm
B) 150 cm y 150 cm
C) 175 cm y 125 cm
D) 200 cm y 100 cm
E) Ninguna de las medidas anteriores.
Comentario
En esta pregunta el alumno debe comprender el enunciado y a partir de los datos
entregados en él debe plantear y resolver una ecuación de primer grado con una
incógnita.
Del enunciado se tiene que la tabla que mide 3 metros, que equivalen a 300 cm,
se divide en dos partes, si la parte más corta es x, la otra es 300 – x.
Además, se sabe que una de ellas es 50 cm más larga que la otra, entonces se
puede concluir que x + 50 = 300 – x, se suma el inverso aditivo de -x y el inverso
aditivo de 50, a ambos lados de la igualdad, obteniéndose 2x = 250, multiplicando
por
el recíproco de 2 a ambos lados de la igualdad, se llega a
Así, las medidas de cada parte de la tabla son 125 cm y 175 cm, valores que se
encuentran en la opción C) .
ACTIVIDAD
Analiza y resuelve mínimo tres ejercicios de cada numeral, indicando todo el
proceso a seguir en su resolución: