Ampliación de Matemáticas Primera prueba de evaluación 1. Comprueba que y = C1 x + C2 x ln x es una familia de soluciones de la ecuación x2 y 00 − xy 0 + y = 0. Solución Se tiene y 0 = C1 + C2 (1 + ln x) e y 00 = C2 x Por tanto, x2 y 00 − xy 0 + y = C2 x − C1 x − C2 x(1 + ln x) + C1 x + C2 x ln x = 0 2. Comprueba que y = C1 +C2 cos x+C3 sen x es una familia de soluciones de la ecuación y 000 +y 0 = 0. Solución Derivando, y 0 = −C2 sen x + C3 cos x, y 00 = −C2 cos x − C3 sin x e y 000 = C2 sen x − C3 cos x Luego y 000 + y 0 = C2 sen x − C3 cos x − C2 sen x + C3 cos x = 0 3. Calcula el miembro de la familia y = C1 + C2 cos x + C3 sen x que sea solución del problema de valor inicial: ½ 000 y + y0 = 0 y(π) = 0, y 0 (π) = 2, y 00 (π) = −1 Solución Se tiene (véase el problema 2) y(π) = y 0 (π) = y 00 (π) = C1 − C2 −C3 C2 Luego debe ser C1 − C2 −C3 C2 = 0 = 2 = −1 de forma que C1 = C2 = −1 y C3 = −2. 4. La figura muestra las gráficas de tres miembros de una familia de soluciones de la ecuación diferencial y 00 = f (x, y, y 0 ): 4 3 2 1 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 Determina la correspondencia de cada curva solución con las condiciones adecuadas. (Razona las respuestas). a) y(0) = 0, y 0 (0) = 0. b) y(0) = 0, y(1) = 0. c) y(0) = 0, y 0 (0) = 2. Solución a) La curva de color negro. Como se aprecia, la curva es tangente al eje X en x = 0. Por lo tanto, y 0 (0) = 0. b) La curva de color verde. Corta al eje X en x = 1. Por lo tanto, y(1) = 0. c) La curva de color rojo. La derivada en x = 0 es positiva. Más precisamente y 0 (0) = 2. 5. Inicialmente había 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Después de 6 horas la masa disminuyó en un 3 %. Si la rapidez de desintegración es, en un instante cualquiera, proporcional a la cantidad de sustancia en dicho instante, plantea el modelo que determine la cantidad de sustancia existente en cualquier instante. Solución Llamemos x(t) a la cantidad de sustancia en un instante t (medido en horas) Entonces dx = kx dt con x(0) = 100 y x(6) = 97. 6. Comprueba que −2x2 y + y 2 = 1 es solución implícita de la ecuación 2xy dx + (x2 − y) dy = 0. Solución Derivando implíctamente, se tiene −4xy − 2x2 y 0 + 2yy 0 = 0 o también, multiplicando por -1 y reordenando 2xy + (x2 − y)y 0 = 0 que podemos escribir en la forma 2xydx + (x2 − y)dy = 0