Función Exponencial y Logarítmica I Cepech - U

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Mate
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a
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Tutorial
MT-m4
Matemática 2006
Tutorial Nivel Medio
Función exponencial y logarítmica I
Matemática 2006
Tutorial
Función exponencial y logarítmica
Marco Teórico
1. Función exponencial.
1.1 Definición: la función exponencial f con base a, se define como:
f(x) = ax ,
si a > 0, x ∈ IR
1.2 Crecimiento y decrecimiento exponencial:
a) Si a >1, f(x) es creciente en todo IR.
f (x)
x
b) Si 0 < a < 1, f(x) es decreciente en IR.
f (x)
x
2
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Matemática 2006
2. Función logarítmica.
La inversa de una función exponencial de base a se llama función logarítmica de base a y se
representa por loga .
2.1 Definición:
y = loga x ⇔ x = ay
2.2 Crecimiento y decrecimiento logarítmico:
a) Si a >1, f(x) = loga x es creciente para x > 0
f (x)
x
b) Si 0 < a < 1, f(x) = loga x es decreciente para x > 0
f (x)
x
3
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Tutorial
2.3 Logaritmos.
2.3.1 Definición:
c = loga b ⇔ ac = b
c es el logaritmo de b en base a,
b>0, a>0 , a≠ 1
2.3.2 Propiedades:
a) Logaritmo de la base:
loga a = 1
b) Logaritmo de la unidad: loga 1 = 0
c) Logaritmo del producto: loga (b ⋅ c) = loga b + loga c
 b
d) Logaritmo del cuociente: log a   = loga b – loga c
 c
e) Logaritmo de una potencia: loga (bc) = c ⋅ loga b
f) Logaritmo de una raíz: log a n b =
g) Cambio de base: log a b =
1
⋅ log a b
n
log c b
log c a
2.3.3 Notación:
log10 a = log a,
4
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loge a = Ln a , con e = 2,718281828......
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3. Ecuaciones logarítmicas y exponenciales:
3.1 Ecuación exponencial: es aquella en que la incógnita se encuentra en el
exponente.
a) Bases iguales:
Si ax = ay ⇒ x = y
(Se aplica logaritmos a ambos lados de la ecuación)
b) Bases distintas:
ax = by
x
y
log a = log b
(Aplicando propiedad de logaritmos)
x ⋅ log a = y ⋅ log b (Despejando la incógnita, que en este caso será x)
x = y ⋅ log b
log a
3.2 Ecuación logarítmica:
loga x = loga y ∀ a>0, x>0, y>0, a≠1 ⇒ x = y
Ejercicios
1. Al aplicar la definición de logaritmo a la expresión log5 3 = b , resulta:
A) b5 = 3
B) b3 = 5
C) 35 = b
D) 53 = b
E) 5b = 3
2. Si log 2 = 0,3010 y log 3 = 0,4771, entonces log 12 =
A) 0,1761
B) 0,2872
C) 0,7781
D) 1,0791
E) Otro valor
5
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3. Si h(x) = logx 9 - logx 27, entonces, h(3) =
A) - 3
B) - 1
C)
0
D)
1
E)
5
4. Si log 1 = x, entonces, log 16 =
2
A) 5x
B) 4x
C)
x
2
D) - 4x
E) - 5x
5. Si c > 1, log 8 (logc c 8) =
A) 0
B) 1
C) 8
D) c
E) c 8
6. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdaderas?
I) log 1 ⋅ log 40 = log 40
II) log
1
⋅ log 50 < 0
4
III) log 6 ⋅ log 10 = log 6
6
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A)
B)
C)
D)
E)
Sólo I
Sólo II
Sólo I y III
Sólo II y III
I, II y III
 1 
7. Si log 
= 3, entonces, y =
 1 - y 
A) −1001
1000
B) −999
1000
999
C)
1000
D)
1001 2
a + b2
1000
E) Otro valor
x+ 4
3
8. Si log c = log c , entonces, x =
A) - 1
B)
0
C)
1
D) 2
E) Otro valor
9. Si 9P + 9P + 9P = 399 , entonces, p =
A) 11
3
B) 11
C) 49
D) 98
E) 99
7
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10. Si 52x = 125 , ¿cuántas veces x es igual a 12?
A) 8
B) 6
C) 4
D)
3
2
E) Ninguna de las anteriores
11. Si f(x) = x y + 1 y f(2) = 17, entonces, y =
A) 17
B) 9
C) 8
D) 4
E)
2
12. Si una colonia de bacterias se cuadruplica cada 1 hora e inicialmente hay 3.000 de
ellas, el número de bacterias que hay al término de 5 horas es:
A) 3.0005
B) 3.000 ⋅ 45
C) 3.000 ⋅ 4
D) 45
E) 4 ⋅ 5
13. Si una población de algas se duplica cada 10 minutos y se sabe que inicialmente hay 5.000 de
ellas, ¿cuántas habrá al término de 3 horas?
A) 5.000 ⋅ 23
B) 5.000 ⋅ 29
C) 5.000 ⋅ 218
D) 5.000 ⋅ 230
E) 5.000 ⋅ 2180
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14.Una población de bacterias crece triplicándose cada 1 minuto. ¿Cuántas habrá después
de 4 minutos, si había inicialmente 2 bacterias?
A) 4
B) 48
C) 81
D) 162
E) Otro valor
15. Se puede determinar el número de bacterias presentes en un cultivo después de 8
horas si:
1)Se duplican cada 6 horas.
2)El cultivo está en óptimas condiciones.
A) 1) por sí sola.
B) 2) por sí sola.
C) Ambas juntas, 1) y 2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
Respuestas
Preg.
Respuesta
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
E
D
B
D
B
D
C
A
C
A
D
B
C
D
E
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Solucionario
Solucionario:
1. La alternativa correcta es la letra E)
log 5 3 = b
(Aplicando definición de logaritmo)
5 =3
b
2. La alternativa correcta es la letra D)
log 2 = 0,3010 y log 3 = 0,4771
log 12 =
(Descomponiendo 12)
log (3 ⋅ 4) =
(Aplicando propiedad de logaritmos)
log 3 + log 4 =
(Descomponiendo 4)
2
log 3 + log 2 =
(Aplicando propiedad de logaritmos)
log 3 + 2 ⋅ log 2 =
(Reemplazando)
0,4771 + 2 ⋅ 0,3010
(Multiplicando)
0,4771 + 0,602 =
(Sumando)
1,0791
3. La alternativa correcta es la letra B)
h(x) = log x 9 - log x 27
(Evaluando la función en 3)
h(3) = log 3 9 - log 3 27
(Aplicando definición de logaritmos)
log 3 9 = a ⇒ 3 = 9
a
a=2
∴ log 3 9 = 2
log 3 27 = b ⇒ 3b = 27
b=3
∴ log 3 27 = 3
h(3) = 2 – 3
h(3) = - 1
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(Reemplazando en la función)
(Restando)
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4. La alternativa correcta es la letra D)
log
1
=x
2
(Aplicando propiedad de potencias)
log 2-1 = x
(Aplicando propiedad de logaritmos)
- log 2 = x
(Multiplicando por – 1)
log 2 = - x
log 16 =
(Expresando 16 como potencia de 2)
log 2 =
(Aplicando propiedad de logaritmos)
4 ⋅ log 2 =
(Reemplazando log 2)
4⋅ -x
(Multiplicando)
4
- 4x
∴ log 16 = - 4x
5. La alternativa correcta es la letra B)
Si c > 1, log 8 ( log c c 8 )
=
(Aplicando propiedad de logaritmos)
log 8 ( 8 ⋅ log c c ) =
(Aplicando propiedad de logaritmos)
log 8 (8 ⋅ 1)
=
(Multiplicando)
log 8 8
=
(Aplicando propiedad de logaritmos)
1
∴ log 8 ( log c c 8 ) = 1
6. La alternativa correcta es la letra D)
I) log 1 ⋅ log 40 = log 40
(Aplicando propiedad de logaritmos)
0 ⋅ log 40 = log 40
0 ≠ log 40
Por lo tanto, I no es verdadera.
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Solucionario
II) log 1 ⋅ log 50 < 0
4
(Aplicando propiedad de logaritmos)
(log 1 – log 4) ⋅ log 50 < 0
(Aplicando propiedad de logaritmos)
(0 – log 4) ⋅ log 50 < 0
(Restando)
- log 4 ⋅ log 50
<0
Por lo tanto, II es verdadera.
III) log 6 ⋅ log 10 = log 6
log 6 ⋅ 1 = log 6
(Aplicando propiedad de logaritmos)
(Multiplicando)
log 6 = log 6
Por lo tanto, III es verdadera.
Entonces, II y III son verdaderas.
7. La alternativa correcta es la letra C)
log  1  = 3
 1 - y 
log 1 – log ( 1 - y) = 3
log 1 – 3 = log (1 - y)
0 – 3 = log (1 - y)
(Aplicando propiedad de logaritmos)
(Despejando log (y-1) )
(Aplicando propiedad de logaritmos)
(Restando)
- 3 = log (1 - y)
(Aplicando definición de logaritmos)
10 = 1 – y
(Despejando y)
-3
1
1000
999
y=
1000
y=1-
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(Restando)
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8. La alternativa correcta es la letra A)
log c x+4 = log c 3
(x + 4) ⋅ log c = 3 ⋅ log c
x+4=3
(Aplicando propiedad de logaritmos)
(Simplificando por log c)
(Despejando x)
x=-1
9. La alternativa correcta es la letra C)
9P + 9P + 9P = 399
3⋅9 =3
P
99
3⋅ ( 3 ) = 3
2 P
99
(Sumando)
(Expresando 9 en potencia de 3)
(Aplicando propiedad de potencias)
3⋅ 3 = 3
99
(Aplicando propiedad de potencias)
3
99
(Aplicando ecuación exponencial de igual base)
2P
2P+1
=3
2p + 1 = 99
(Despejando 2p)
2p = 99 – 1
(Restando)
2p = 98
(Despejando p)
p=
98
2
(Simplificando)
p = 49
10. La alternativa correcta es la letra A)
52x = 125
(Expresando 125 como potencia de 5)
5 =5
(Aplicando ecuación exponencial de igual base)
2x = 3
3
x=
2
(Despejando x)
2x
3
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Solucionario
Debemos determinar cuántas veces x es igual a 12, es decir,
y ⋅ x = 12
y ⋅ 3 = 12
2
y = 12 ⋅ 2
3
y=8
(Reemplazando x)
(Despejando y)
(Simplificando y multiplicando)
∴ 8 veces 3 es igual a 12
2
11. La alternativa correcta es la letra D)
f(x) = xy + 1 , f(2) = 17
y
f(2) = 2 + 1
y
17 = 2 + 1
(Evaluando la función en 2)
(Reemplazando f(2))
y
(Despejando 2 )
y
(Restando)
y
(Expresando 16 como potencia de 2)
y
(Aplicando ecuación exponencial de igual base)
17 – 1 = 2
16 = 2
24 = 2
y=4
12. La alternativa correcta es la letra B)
Si la cantidad inicial de bacterias es 3.000 y se cuadruplican cada 1 hora, entonces,
al término de 5 horas habrá:
3.000 ⋅ 45 bacterias.
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13. La alternativa correcta es la letra C)
Las algas se duplican cada 10 minutos, por lo tanto, las 3 horas hay que transformarlas a
minutos.
3 horas = 60 ⋅ 3 = 180 minutos
Como se duplican cada 10 minutos en 180 minutos será
180
= 18 minutos
10
Por lo tanto, habrá 5.000 ⋅ 218 algas.
14. La alternativa correcta es la letra D)
Si hay 2 bacterias inicialmente y se triplican cada 1 minuto, entonces en 4 minutos
habrá:
2 ⋅ 34=
(Desarrollando la potencia)
2 ⋅ 81 =
(Multiplicando)
162
∴ Después de 4 minutos habrá 162 bacterias.
15. La alternativa correcta es la letra E)
De 1) Para determinar la cantidad de bacterias después de 8 horas si se duplican cada 6
horas, se necesita saber la cantidad inicial de bacterias.
Por lo tanto, no se puede determinar.
De 2) No se sabe qué ocurre con las bacterias ni cuántas hay inicialmente.
Por lo tanto, no se puede determinar.
De 1) y 2) no se puede determinar.
Por lo tanto, se requiere información adicional.
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