Control de posición de un robot de un grado de libertad Position

Revista Digital de la Universidad Autónoma de Zacatecas
Nueva época. Publicación cuatrimestral. Enero-Abril 2007, volumen 3, número 1.
ISSN 1870-8196
Control de posición de un robot de un grado de libertad
Position control of robot one degree of freedom
Aurelio Beltrán Telles
Miguel Eduardo González Elías
Rafael Villela Varela
Claudia Reyes Rivas
Unidad Académica de Ingeniería Eléctrica
Universidad Autónoma de Zacatecas
e–mail: atellesz@yahoo.com.mx
Resumen
En este trabajo se presentan los resultados obtenidos en la aplicación del
control de posición de un robot de un grado de libertad, el cual tiene
como elemento actuador un servomotor de corriente directa. Para
poder emplear el algoritmo de control fue necesario obtener el modelo
matemático del sistema, por lo que se implementó una plataforma de
experimentación basada en la herramienta de cómputo VisSim5.0 ECD y
el Procesador Digital de Señales DSP TMS320LF2407 de Texas Instruments
con lo que se obtiene el modelo y se implementa el sistema de control.
La respuesta deseada fue una curva en que la posición se alcanza de
manera suave y sin sobrepaso. Para determinar los valores de los
parámetros del controlador proporcional derivativo, se compararon los
términos de la ecuación característica del sistema de control en lazo
cerrado con un modelo matemático que proporciona la respuesta. Se
hizo una simulación con la finalidad de observar el comportamiento del
algoritmo de control, se aplicó al robot y se realizaron pruebas con
diferentes tiempos para alcanzar la posición que se perseguía.
http://www.uaz.edu.mx/revistainvestigacion
1
Revista Digital de la Universidad Autónoma de Zacatecas
Nueva época. Publicación cuatrimestral. Enero-Abril 2007, volumen 3, número 1.
ISSN 1870-8196
Los resultados fueron buenos, ya que el brazo se probó para lograr dicha
posición con tiempos de asentamiento distintos. El valor obtenido se
manifiesta a través de una señal periódica cuadrada que proporciona
dos valores de posición; que obliga al robot a modificar en forma
periódica su posición final.
Palabras clave: modelo matemático, simulación, controlador.
Abstract
In this work the results obtained in the application to position control for a
robot one degree of freedom are presented, which has as element
actuador a direct current servo-motor. To be able to apply the control
algorithm it’s necessary to obtain the mathematical model system, for
that it’s necessary to implement a platform of experimentation based in
the tool of compute VisSim5.0 ECD and the Digital Signal Processor DSP
TMS320LF2407 of Texas Instruments with that which the model is obtained
and the control system is implemented.
The answer that we looking for is a curve in which the position is reached
in a soft way and without surpass. To determine the securities of the
derivative
proportional
controller's
parameters
the
terms
of
the
characteristic equation of the control system they were compared in
closed knot with a mathematical model that gives the wanted answer. A
simulation was made to observe the behavior of the control algorithm.
And finally it was applied the robot and they were carried out tests for
different times in reaching the wanted position.
http://www.uaz.edu.mx/revistainvestigacion
2
Revista Digital de la Universidad Autónoma de Zacatecas
Nueva época. Publicación cuatrimestral. Enero-Abril 2007, volumen 3, número 1.
ISSN 1870-8196
The obtained results are good, since the arm was proven to reach the
position wanted with different times of establishment. The wanted value is
given in form of a square periodic signal that provides two position values;
that which forces the robot to modify in periodic form the end position.
Keywords: mathematical model, simulation, controller.
Introducción
Para el estudio de los algoritmos de control es necesario contar con una
plataforma de experimentación que permita implementarlos y evaluar los
resultados. En esta plataforma se utilizan: la tarjeta de procesamiento
digital de señales de Texas Instruments, TMS320LF2407, que sirve como
interfase entre el sistema y el software en el cual se programan los
controladores. Para que la tarjeta PDS pueda manejar la información que
envía el sistema o utilizar las señales que manda la tarjeta, es necesaria
una etapa de adecuación de señales, ya que el sistema trabaja con alta
potencia mientras que la tarjeta con baja potencia.
La computadora permite al usuario programar el controlador y evaluar
los resultados. En la programación del controlador se utiliza el software
VisSim (Simulación Visual) [2]. El sistema es un robot de un grado de
libertad con que llevaron a cabo los experimentos y está conformado
por un actuador que es el servomotor BE161CJ y un volante de inercia
colocado en su eje como se muestra en la Figura 1.
http://www.uaz.edu.mx/revistainvestigacion
3
Revista Digital de la Universidad Autónoma de Zacatecas
Nueva época. Publicación cuatrimestral. Enero-Abril 2007, volumen 3, número 1.
ISSN 1870-8196
Figura 1. Plataforma de experimentación.
Uno de los problemas que se presentan para obtener buenos resultados
es la fricción estática máxima [3][4][5], manifiesta en los cuerpos que
tienen deslizamiento. Con el afán de lograr un resultado óptimo de los
algoritmos de control utilizados fue necesario emplear un compensador
de fricción: el compensador Smooth Robust Nonlineal Feedback (SRNF)
[5]; por el hecho de que es un algoritmo fácil de implementar y que para
obtener los valores de sus parámetros se usa el método propuesto por
Llamas y Nelly [6].
Desarrollo matemático y propuesta de controlador
Una vez realizada la plataforma de experimentación se procede a
obtener los parámetros del modelo matemático del sistema.
Q( s)
d
=
Qd ( s ) s ( s + b )
(1)
El modelo matemático es de segundo orden, por lo tanto se emplea un
controlador PD, ya que el integrador lo incluye el modelo. En el control
PD, la parte derivativa es el error de velocidad por la ganancia, es decir
http://www.uaz.edu.mx/revistainvestigacion
4
Revista Digital de la Universidad Autónoma de Zacatecas
Nueva época. Publicación cuatrimestral. Enero-Abril 2007, volumen 3, número 1.
ISSN 1870-8196
•
•
K v ( qd (t ) − q (t )) ,
pero debido a que se desea alcanzar una posición
•
constante, entonces q d (t ) = 0 , por lo tanto, la parte derivativa queda:
⎡ • ⎤
K v ⎢ − q (t ) ⎥
⎣
⎦
(2)
El control de posición PD se implementó como se muestra en la Figura 2,
donde K p es la ganancia del controlador proporcional, y Kv es la
ganancia del controlador derivativo.
Figura 2. Diagrama de bloques del sistema de control
en lazo cerrado aplicado.
Para el cálculo de las ganancias del controlador se procedió a reducir el
diagrama de bloques de la estructura en lazo cerrado que se muestra en
la Figura 2, y se encontró la siguiente función de transferencia:
dK p
Q( s)
= 2
Qd ( s ) s + ( dK v + b) s + dK p )
(3)
En la ecuación (3) se observa que el polinomio del denominador
(polinomio característico) es de segundo orden, donde sus coeficientes
son las ganancias del controlador y los parámetros del servomotor. Para
adquirir el comportamiento deseado, se opta por obtener las ganancias
del
controlador
a
partir
de
una
ecuación
que
defina
dicho
comportamiento, y se compara con los coeficientes del polinomio
característico del sistema de control en lazo cerrado.
http://www.uaz.edu.mx/revistainvestigacion
5
Revista Digital de la Universidad Autónoma de Zacatecas
Nueva época. Publicación cuatrimestral. Enero-Abril 2007, volumen 3, número 1.
ISSN 1870-8196
El cálculo de los parámetros de la función con el comportamiento
requerido se determina de la forma siguiente [7]: para que la respuesta
alcance el 98% del valor que se busca en un tiempo de asentamiento ts
se tiene que:
ωn =
4
ts
(4)
La ecuación (4) permite calcular el coeficiente del polo dominante, es
decir el que define el comportamiento esperado. Así por ejemplo, para
tener una respuesta del sistema en un tiempo de asentamiento en
ts = 10 seg , el polo dominante es:
ωn =
4
1
= 0.4
10 seg
seg
Puesto que el sistema es de segundo orden, se pone el otro polo 10 veces
más alejado que el polo dominante asegurando, de esta manera, que
no influya en la respuesta del sistema.
( s + ωn )( s + 10ωn ) = s 2 + 11ωn s + 10ω 2 n
(5)
Al sustituir los valores de los polos para el comportamiento que se desea
se obtiene:
( s + 0.4 ) ( s + 4)
Por lo que la función que define a aquél es:
s 2 + 4.4 s + 1.6
(6)
Al comparar lo anterior con el denominador de la ecuación (3) del
sistema de control en lazo cerrado
11ωn = dK v + b
(7)
Se obtiene la ganancia del controlador derivativo:
Kv =
4.4 − b 4 − 0.0577
=
= 0.03188
d
136.2
http://www.uaz.edu.mx/revistainvestigacion
6
Revista Digital de la Universidad Autónoma de Zacatecas
Nueva época. Publicación cuatrimestral. Enero-Abril 2007, volumen 3, número 1.
ISSN 1870-8196
y la ganancia proporcional:
Kp =
1.6
1.6
=
= 0.011747
d 136.2
Resultados
En el trabajo experimental se probaron diferentes tiempos para conseguir
la respuesta de posición que se desea en el robot de un grado de
libertad; los valores de ésta los proporciona la onda cuadrada que se
muestra en la Figura 3.
Figura 3. Onda cuadrada que da el valor deseado de posición.
Los movimientos de desplazamiento del eslabón del robot a la posición
adecuada son lentos, y como el efecto de la fricción a baja velocidad es
significativo, esto se refleja en la respuesta encontrada. Los resultados
que se muestran en la Figura 4, se obtuvieron para un tiempo de
asentamiento de 10 segundos, donde se puede ver el comportamiento
http://www.uaz.edu.mx/revistainvestigacion
7
Revista Digital de la Universidad Autónoma de Zacatecas
Nueva época. Publicación cuatrimestral. Enero-Abril 2007, volumen 3, número 1.
ISSN 1870-8196
de desplazamiento de 0° a 1000° y después en sentido contrario de 1000°
a 0°.
En dicha respuesta se puede observar que el robot tiene la ubicación
esperada; para ello, fue necesario utilizar el compensador de fricción de
SRNF (Realimentación no Lineal Robusta y Suave) para lograr las
respuestas adecuadas.
Figura 4. Posición obtenida para un tiempo de asentamiento ts=10 seg.
Finalmente en la Figura 5, se muestra el voltaje que suministra el
controlador para obtener la respuesta de posición deseada. Estos
consisten en pequeños impulsos de voltaje variables en el tiempo.
Además se observa un comportamiento simétrico para voltajes positivos y
negativos o movimiento en el sentido de las manecillas del reloj y en
sentido contrario.
http://www.uaz.edu.mx/revistainvestigacion
8
Revista Digital de la Universidad Autónoma de Zacatecas
Nueva época. Publicación cuatrimestral. Enero-Abril 2007, volumen 3, número 1.
ISSN 1870-8196
Figura 5. Voltaje proporcionado por el controlador PD para lograr la respuesta
de posición sobreamortiguada en ts=10 seg.
Conclusiones
Los resultados son satisfactorios porque muestran que el robot responde a
las señales del sistema de control de manera adecuada; a causa de ello
el robot alcanza el valor de ubicación deseada en el tiempo
programado. Además el uso del algoritmo de compensación mejora
notablemente el comportamiento del sistema, por lo que se plantea
seguir trabajando en mejorar la plataforma de experimentación, además
de añadir otro tipo de sistemas a controlar.
Como los desplazamientos del robot son muy lentos, entonces el
servomotor que sirve de actuador, es decir, el que produce los
movimientos de desplazamiento, recibe del controlador pequeños
impulsos de voltaje. Dado lo anterior se considera que el circuito
convertidor de señales digitales a análogas debe tener una muy buena
resolución, por lo que se pretende modificarlo pues en la actualidad
http://www.uaz.edu.mx/revistainvestigacion
9
Revista Digital de la Universidad Autónoma de Zacatecas
Nueva época. Publicación cuatrimestral. Enero-Abril 2007, volumen 3, número 1.
ISSN 1870-8196
tiene un convertidor digital análogo de 8 bits y se reemplazará por uno
de 12 bits; esto permitirá al sistema trabajar con niveles de voltaje mucho
más pequeños.
Dentro de los trabajos a futuro se encuentra el desarrollo de un prototipo
de robot antropomórfico de tres grados de libertad, que permita la
implementación de algoritmos de control de posición más complejos.
http://www.uaz.edu.mx/revistainvestigacion
10
Revista Digital de la Universidad Autónoma de Zacatecas
Nueva época. Publicación cuatrimestral. Enero-Abril 2007, volumen 3, número 1.
ISSN 1870-8196
Bibliografía
[1] Spectrum Digital, Inc. ezdsp LF2407, Technical Reference, December
2000.
[2] Visual Solutions Incorporated, VisSim Embedded Controls Developer,
Ver. 5.0, First Edition, 2003.
[3] Pierre E. Dupont: «Avoiding Sticki-Slip Through PD Control» IEEE
TRANSACTIONS ON AUTOMATIC CONTROL, Vol.39, pp. 1094-1097,
(1994).
[4] Brian Armstrong-Hélouvry «Sitck Slip and Control in Low-Speed Motion»
IEEE TRANSACTIONS ON AUTOMATIC CONTROL, Vol.38, pp. 1483-1496,
(1993).
[5] Cai, L., and Song G. (1993) «A Smooth robust nonlinear controller for
robot manipulators with joint stick-Slip friction». Proc. IEEE International
Conference on Robotics and automation, Atlanta, GE, Vol. 3, pp.
449-454.
[6] Kelly R., y Llamas J., (1999). «Determination of viscous and Coulomb
friction by using velocity responses to torque ramp inputs», Proc. of
the 1999 International Conference on Robotics and Automation,
Detroit, MI, May, pp. 1740-1745.
[7] K. Ogata, Ingeniería de Control Moderna, Tercera Edición, Prentice
Hall, (1998).
http://www.uaz.edu.mx/revistainvestigacion
11