TRIGONOMETRÍA grado sexagesimal, que es la

Trigonometría
TRIGONOMETRÍA
La palabra trigonometría proviene del griego: trigonos (triángulo) y metria (medida). En sus
orígenes esta rama de la matemática se utilizó para resolver problemas de agrimensura y
astronomía, pero con el desarrollo de la ciencia se ha convertido en un instrumento indispensable en
la física, la ingeniería, la medicina y todo otro proceso en el que se encuentren comportamientos
que se repiten cíclicamente. Sirve para estudiar fenómenos vibratorios, como por ejemplo la luz, el
sonido, la electricidad., etc.
Sistemas de Medición de Ángulos
Para medir ángulos pueden adoptarse distintas unidades. Uno de los sistemas más usados es el:
Sistema sexagesimal, cuya unidad de medida angular es el grado sexagesimal, que es la
noventa-ava parte del ángulo recto y se simboliza 1º. La sesenta-ava parte de un grado es un
minuto (1’) y la sesenta-ava parte de un minuto es un segundo (1”).
1'
1º
ángulo recto o
=1
= 1'
= 1"
60
60
90
Un ángulo llano mide 180º y un giro completo, 360º.
Sistema circular o radial, cuya unidad de medida es el radián. La proporcionalidad que existe
entre la longitud s de los arcos de dos circunferencias concéntricas cualesquiera determinados
por un ángulo central α y los radios r correspondientes, permite tomar como medida del ángulo
arco s
el cociente
= . Un ángulo central de 1 radián es aquél que determina un arco que tiene
radio r
una longitud igual al radio.
s
s = r, por lo tanto = 1 .
r
α
Un radián es la medida del ángulo con vértice en el
centro de la circunferencia y cuyos lados
determinan sobre ella un arco s de longitud igual al
radio r.
Ejemplo: Si β determina un arco de 6 cm en una circunferencia de 2 cm de radio, entonces la
s 6 cm
= 3 . En el sistema circular, β mide 3 radianes, o decimos
medida en radianes de β es: =
r 2 cm
que mide 3, sin indicar la unidad de medida.
2.π.r
La medida en radianes de un ángulo de un giro es
= 2 π . La de un ángulo llano, que es la
r
π
mitad de un giro, 2π : 2 = π La de un ángulo recto, entonces, .
2
Para relacionar un sistema de medición con otro, observamos la siguiente tabla:
Trigonometría
Ángulo
Sistema sexagesimal
Sistema circular
1 giro
360º
2π
llano
180º
π
recto
90º
π/2
¿A cuántos grados sexagesimales equivale un radián?
Haciendo uso de las proporciones y teniendo en cuenta la medida del ángulo llano, por ejemplo:
π
180º
1 ⋅ 180º
≅ 57º 17' 45"
1
π
Nota: π es aproximadamente igual a 3,14. Un ángulo de π radianes equivale a un
ángulo de 180º. Pero π ≠ 180.
Actividad Nº 1:
a) Expresar en radianes las medidas de los ángulos, si es posible, utilizando fracciones de π:
30º
45º
60º
120º
b) Expresar en grados sexagesimales los siguientes ángulos medidos en radianes:
2
1/2
π/2
2π
Razones trigonométricas de un ángulo agudo
B
Recordemos las definiciones de las razones trigonométricas.
sen α =
cateto opuesto
hipotenusa
cos α =
cateto adyacente
hipotenusa
C
α
A
cateto opuesto
cateto adyacente
Estas razones dependen sólo del ángulo α y no de las medidas de los lados del triángulo
construido.
tg α =
Las definiciones de las razones trigonométricas de ángulos agudos pueden extenderse para
cualquier ángulo. Para eso, consideramos el ángulo α en el plano cartesiano, haciendo coincidir su
vértice con el origen de un sistema cartesiano ortogonal, y su lado inicial con el semieje positivo de
las x.
cateto opuesto ordenada de P y0
y0
P
sen α =
=
=
r
hipotenusa
OP
r
α
x0
Trigonometría
P
cos α =
y0
r
α
tg α =
cateto adyacente abscisa de P x 0
=
=
hipotenusa
OP
r
cateto opuesto
y
= 0
cateto adyacente x 0
si x 0 ≠ 0
x0
También definimos las razones trigonométricas recíprocas de las anteriores, llamadas
cosecante, secante y cotangente:
cos ec α =
hip
r
=
cat. op. y0
sec α =
hip.
r
=
cat. ady. x 0
cot g α =
cat. ady. x 0
=
cat. op. y0
Las fórmulas anteriores son válidas cuando no se anulen los denominadores. También se verifican
las siguientes relaciones:
tg α =
sen α
cos α
cos ec α =
1
sen α
sec α =
1
cos α
cot g α =
1
tg α
Por ejemplo, queremos determinar los valores de las relaciones trigonométricas de un ángulo α
cuyo lado terminal pasa por el punto P = (−3 , 4)
y
x0 = −3, y0 = 4
2
P
4
2
r = (−3) + 4 = 5
sen α =
−3
5
−5
sec α =
3
4
5
cos ec α =
−4
3
−3
cot g α =
4
cos α =
5
4
Para un ángulo cualquiera, puede aplicarse el teorema de
Pitágoras:
(cat. op.)2 + (cat. ady.)2 = (hipotenusa)2
Dividimos ambos miembros por (hipotenusa)2:
(cat. op.)
(hip.)
2
2
+
(cat. ady.)
2
(hip.)
2
2
r
tg α =
=
(hip.)
2
(hip.)
2
α
x
-3
y0
P
α
x0
2
 cat. op.   cat. ady. 
 = 1
 + 

 hip.   hip. 
Resulta, entonces:
(sen α)2 + (cos α)2 = 1
donde por comodidad escribimos sen 2 α + cos 2 α = 1 y que llamamos identidad pitagórica.
Trigonometría
Esta identidad, por ejemplo, nos permite calcular las funciones trigonométricas de un ángulo α
3
sabiendo que es agudo y que sen α = .
5
sen 2 α + cos 2 α = 1
Entonces, si
cos 2 α = 1 − sen 2 α
⇒
2
3
y como α < π/2 cos α = cos α ⇒ cos α = 1 −   =
5
3
sen α 5 3
1
tg α =
= =
=
cos ec α =
cos α 4 4
sen α
5
1
4
=
cot g α =
tg α 3
cos α = 1 − sen 2α
⇒
16 4
=
25 5
5
3
sec α =
1
5
=
cos α 4
Actividad Nº 2:
Sabiendo que cos α =
2
, hallar las restantes relaciones trigonométricas de α.
3
Con frecuencia se utilizan expresiones que vinculan a cada una de las relaciones trigonométricas
con las demás para poder utilizar, en cada caso, la expresión más conveniente.
Por ejemplo, podríamos expresar la tangente de α en función del coseno:
tg α =
sen α
± 1 − cos 2 α
y utilizando la identidad pitagórica : tg α =
.
cos α
cos α
Análogamente, podemos expresar el coseno de α en función de la tangente de α:
tg α =
sen α
cos α
tg 2α + 1 =
⇒
1
cos 2 α
tg 2α =
⇒
sen 2α
cos 2 α
tg 2α =
⇒
cos 2 α =
1
tg 2α + 1
1 − cos 2 α
cos 2 α
⇒
⇒ tg 2α =
cos α =
1
cos 2 α
−1
1
1 + tg 2α
Más adelante veremos cómo seleccionar el signo del resultado.
Actividad Nº 3:
a) Expresar la secante se α en función de la cosecante de α.
b) Expresar la tangente de α como función del seno de α.
La circunferencia trigonométrica – Ángulos orientados
Cuando trabajamos en radianes, las medidas de los ángulos son números reales. Si definimos
ángulos orientados esta medida puede tomar valores negativos. Al trabajar con un ángulo en un
sistema de coordenadas cartesianas, éste está generado por la rotación de una semirrecta o rayo que
parte del semieje positivo de las x.
Trigonometría
Si el lado gira en sentido contrario a las agujas del reloj, se dice que el ángulo es
positivo. Y es negativo cuando está generado en sentido horario.
Puede, además, realizar más de un giro completo.
Para referirnos a su ubicación, consideramos el plano cartesiano divido en cuatro sectores,
llamados cuadrantes y una circunferencia con centro en el origen y radio 1 que llamaremos
circunferencia trigonométrica.
II cuadrante
I cuadrante
P1
P0
β
γ
α
P2
P3
III cuadrante
IV cuadrante
En la figura, como r = 1 tenemos que:
y
y
sen α = 0 = 0 = y0 ⇒ el
1
r
segmento de ordenadas está
relacionado con el sen α
x
x
cos α = 0 = 0 = x 0 ⇒ el
1
r
segmento de abscisas está relacionado
con el cos α
Para hallar el segmento asociado al sen β, se construye en el segundo cuadrante el triángulo
rectángulo con las componentes de P1 y el segmento de ordenadas corresponde a seno de β.
Análogamente sucede con los ángulos del tercer y cuarto cuadrante, donde el segmento de ordenada
se asocia con el seno del ángulo y el segmento de abscisa, con el coseno del ángulo.
Las medidas de un ángulo γ del tercer cuadrante están comprendidas entre π < γ <3π/2
ó
+
3π < γ < 7π/2 ó π + 2πk < γ < 3π/2 + 2πk donde k∈Z ∪{0}, esto si el ángulo es positivo.
Las medidas de γ del tercer cuadrante, si es un ángulo negativo, están comprendidas entre
−π/2 < γ < −π ó −5π/2 < γ < −3π ó −π/2 + 2πk < γ −π + 2πk donde k ∈Z− ∪ {0}.
Los signos de los valores de las relaciones trigonométricas de los distintos cuadrantes dependen de
los signos de las coordenadas del punto sobre el lado terminal del ángulo.
Esta información se resume en la siguiente tabla, que podrá completar:
Actividad Nº 4:
a)
I
II
sen α
+
b) Si
tg α
+
cosec α
sec α
−
−
III
IV
cos α
+
−
9
π < β < 5π , ¿qué se puede asegurar respecto del signo de senβ, cosβ y tgβ?
2
cotg α
Trigonometría
Razones trigonométricas de ángulos notables
Para los ángulos de 0, π/2, π y 3π/2, teniendo en cuenta las coordenadas del punto P asociado a
cada ángulo en la circunferencia trigonométrica, podemos deducir y completar:
Actividad Nº 5:
α
P
sen α
π/2
(0; 1)
1
cos α
0
tg α
no existe
0
π
1
3π/2
−1
O
1
−1
Para los ángulos de π/6, π/4 y π/3 radianes pueden calcularse las razones trigonométricas usando
recursos geométricos. Damos aquí una tabla que contiene los valores de los ángulos notables
pertenecientes al primer cuadrante.
π
6
1
2
π
4
π
3
π
2
2
2
1
1
3
2
2
2
3
2
1
2
0
3
3
1
3
no existe
α
0
sen α
0
cos α
tg α
0
Actividad Nº 6:
Construye y observa la circunferencia trigonométrica y completa en los casos en que existan:
 π
sen −  =
 2
cos(4π) =
tg (−5π) =
cos ec 0 =
sec π =
Reducción al primer cuadrante
Se nos puede presentar el siguiente problema: Hallar el valor de α sabiendo que se encuentra en el
primer cuadrante y que sen α = 0,26331.
Trigonometría
Para resolverlo es suficiente con marcar en la calculadora científica el número 0,26331 y oprimir
las teclas INV (inversa) o SHIFT, y SIN (seno). Si el modo en el que está la calculadora es en
grados sexagesimales, ésta devolverá 15º 16’. Si el modo es en radianes, responderá 0,26645.
Si en cambio queremos determinar el valor de la medida de un ángulo sabiendo que se halla en el
segundo cuadrante, es menor que un giro y sen α = 0,26331, y procedemos de la misma forma que
en la situación anterior, la respuesta será la misma: 15º 16’, que no es correcta porque este ángulo
no pertenece al segundo cuadrante.
La respuesta correcta es 164º 44’. Pero ¿cómo llegar a dicha respuesta?
Observamos en la circunferencia trigonométrica un
ángulo ubicado en el segundo cuadrante (β) de modo
que si P0 = (x0, y0) entonces P1= (−x0, y0). Llamamos
α al ángulo del primer cuadrante del que conocemos
sus relaciones trigonométricas.
Los triángulos OM0P0 y OM1P1 son simétricos
respecto del eje y.
Por lo tanto, sen β = y0 = sen α
cos β = −x0 = −cos α
sen β
sen α
tgβ =
=
= − tg α
cos β − cos α
cosec β =
sec β =
P1
P0
α
M1
O
1
M0
1
1
=
= cos ec α
sen β sen α
1
1
=
= − sec α
cos β − cos α
cot g β =
1
1
=
= − cot g α
tg β − tg α
¿Cómo es β respecto de α?
α y β son ángulos suplementarios, es decir α + β = π ⇒ β = π − α. Las relaciones anteriores
pueden generalizarse para cualquier par de ángulos suplementarios. Completen a continuación:
sen (π − α) = sen α
cos (π − α) = ..............
tg (π − α) =....................
cosec (π − α) = .............
sec (π − α) = ...............
cotg (π − α) = ................
Sea ahora un ángulo γ ubicado en el tercer cuadrante, de modo que P0 = (x0 , y0) y P2= (−x0, −y0).
Los triángulos OM0P0 y OM2P2 , donde quedan
definidas las relaciones trigonométricas de α y γ
respectivamente, son simétricos respecto del origen de
coordenadas.
Entonces sen γ = −y0 = − sen α
cos γ = −x0 = − cos α
P0
M2
P2
O
α
M0
1
Trigonometría
tg γ =
cos ec γ =
sen γ − sen α
=
= tg α
cos γ − cos α
1
1
=
= − cos ec α
sen γ − sen α
cot g γ =
sec γ =
1
1
=
= cot g α
tg γ tg α
1
1
=
= − sec α
cos γ − cos α
Los ángulos α y γ difieren en π, o sea γ − α = π de donde γ = π + α Entonces podemos
generalizar las relaciones entre sus razones trigonométricas:
sen (π + α) = −sen α
cos (π + α) = ..................
tg (π + α) = ....................
cosec (π + α) = ...............
sec (π + α) = ..................
cotg (π + α) = .................
Actividad Nº 7:
Calcular, usando la tabla de ángulo notables:
5 
5 
2 
a) sen π 
b) cos π 
c) tg  π 
6 
4 
3 
7 
d) cos ec  π 
6 
Sea δ un ángulo ubicado en el cuarto cuadrante, de modo que P0 = (x0, y0) y P3 = (x0, −y0). Pero
también podemos considerar un ángulo ϕ < 0 (generado en sentido horario) cuyo lado terminal OP3
también está en el cuarto cuadrante.
Los triángulos OM0P0 y OM0P3 , donde quedan
definidas las relaciones trigonométricas de α y δ (y
ϕ) respectivamente, son simétricos respecto del eje
de abscisas
Entonces sen δ = sen ϕ = −y0 = − sen α
cos δ = cos ϕ = x0 = cos α
tg δ = tg ϕ =
sen δ − sen α
=
= − tg α
cos δ
cos α
cos ec δ = cos ec ϕ =
sec δ = sec ϕ =
1
1
=
= ..................
.............. ..................
1
1
=
= ..................
.............. ..................
cot g δ = cot g ϕ =
1
1
=
= ..................
.............. ..................
P0
α
O
M0
P3
1
Trigonometría
Se dice que α y ϕ son ángulos opuestos. Entonces ϕ = −α y pueden generalizarse las relaciones
entre sus razones trigonométricas:
sen (−α) = −sen α
cos (−α) = ..................
tg (−α) = ........................
cosec (−α) = ..................
sec (−α) = ...................
cotg (−α) = .....................
Actividad Nº 8:
π
π
hallar los ángulos simétricos en los demás cuadrantes.
y ε=
5
4
b) Aplicando las propiedades entre ángulos simétricos y la tabla de valores de ángulos notables,
hallar los valores exactos de:
− π
5 
4 
cos  π  =
sec  π  =
tg 
=
 4 
6 
3 
a) Para los ángulos λ =
7 
sen  π  =
6 
 3 
cot g  − π  =
 4 
2 
cos ec  π  =
3 
c) Simplificar cada expresión:
sen (π − α) + sen (−α ) =
cos(π + α)
tg (−α)
−
=
cos(π − α ) tg (π + α)
sen 2 (−α) + cos 2 (π − α ) =
sen (π − α ) · sec (π + α) · cot g (−α) =
Ángulos Complementarios
En el triángulo rectángulo, los ángulos agudos α y β
π
son complementarios, es decir α + β =
, donde
2
a cat. ady. de β
π
β=
= cos β
− α. Además sen α = =
h
hip.
2
b cat. op. de β
= sen β
y cos α = =
hip.
h
β
h
a
α
b
Trigonometría
En consecuencia:
sen (
π
− α) = cos α
2
π
sen ( − α)
π
cos α
2
tg ( − α) =
=
= cot g α
π
2
sen α
cos ( − α)
2
π
cos ec ( − α ) =
2
1
1
=
= sec α
π
cos α
sen ( − α)
2
cos(
π
cot g ( − α) =
2
π
− α) = sen α
2
1
1
=
= tg α
π
cot g α
tg ( − α)
2
π
y análogamente sec ( − α) = cosec α
2
Actividad Nº 9:
π
π
a) Si sen α = 1/3 y α se halla en el primer cuadrante, ¿cuánto vale sen ( − α) ? ¿Y cotg ( − α) ?
2
2
π
b) Sabiendo que α pertenece al tercer cuadrante y que cos α = −2/3, calcular tg ( − α) y
2
π
sen ( − α) .
2
c) Expresar los siguientes ángulos en radianes y calcular sus razones trigonométricas (utilizando
simetrías y la tabla de ángulos notables):
α = 120º
α = 225º
α = 330º
α = 495º
α = −765º
Algunas Identidades Trigonométricas
Las siguientes identidades son de utilidad para distintos procedimientos, como cálculos de límites
e integrales. No es necesario memorizarlas porque suelen estar incluidas en tablas de derivadas ,
integrales, etc. Simplemente enumeramos sólo algunas de ellas.
Para α y β cualesquiera:
sen (α ± β ) = sen α cos β ± cos α sen β
cos (α + β ) = cos α cos β − sen α sen β
cos (α − β ) = cos α cos β + sen α sen β
tg (α + β) =
Para cualquier α:
tg α + tg β
1 − tg α tg β
sen (2α) = 2 sen α cos α
cos (2α) = cos2α − sen2α
tg (2α) =
2tg α
1 − tg 2α
Trigonometría
α
sen  =
2
1 − cos α
2
α
cos   =
2
1 + cos α
2
sen α
α
tg   =
 2  1 + cos α
cos 2 α =
1 + cos (2α)
2
sen 2α =
1 − cos (2α)
2
Actividad Nº 10:
Verificar las siguientes identidades (se aconseja trabajar en cada miembro de la igualdad
sustituyendo las expresiones por otras identidades conocidas hasta llegar a una igualdad evidente).
Ejemplo:
sen α sec α + 1 =
sen α + cos α
cos α
⇒
cos α
a) sec α − tg α =
1 + sen α
sen α
sen α
1
+1 =
+1
cos α
cos α
2
b) sen α = 1 −
sen α sen α
=
cos α cos α
⇒
cot g 2α
cos ec2α
c) (cosec α + cotg α − 1) · (cosec α − cotg α +1) = 2 cotg α
d) sen2α + 2 cos2α +cos2α cotg2α = cosec2α
Resolución de Triángulos rectángulos
Resolver trigonométricamente un triángulo rectángulo consiste en, dados algunos elementos del
triángulo, obtener los restantes.
Ejemplo 1: Resolver el triángulo rectángulo dados la hipotenusa a = 20 cm y B̂ = 28º 35'
C
ˆ ,by
Entonces los datos son: a y B̂ y las incógnitas C
c.
Como C y B son complementarios, resulta C = 90º - B
C = 61º 25’
a
b
A
c
B
Trigonometría
b
⇒ b = a senB̂ = 20cm · 0,4784 = 9,568 cm
a
c
Además, cos B̂ = ⇒ c = a cos B̂ = 20 cm · 0,8781 = 17,562 cm
a
Como sen B =
Actividad Nº 11:
a) Para un triángulo rectángulo similar al del ejemplo, hallar c, B y C sabiendo que a = 15 cm. y
b = 9 cm.
b) Un alambre carril recto de 320 m. une dos estaciones A y B y tiene una pendiente de 0,532.
Calcular la diferencia de altura sobre el nivel del mar entre A y B.
Rta: 150,23 m.
c) Calcular la longitud que debe tener una escalera para que apoyada en una pared alcance una
altura de 2,85 m al formar con el plano de la base un ángulo de 58º 1’.
Rta: 3,36 m.
d) Un globo sujetado por un cable de 180 m. es inclinado por el viento formando el cable un
ángulo de 60º con la horizontal. Calcular la distancia del globo al suelo.