Examen de ubicacións 6 R 1. xexp(x)dx Usando integración por partes, se elige; x=u exp(x)dx = dv dx = du exp(x) = v Sustituyendo, se tiene; Z Z xexp(x)dx = xexp(x) − exp(x)dx (1) Integrando la ecuación anterior, nos queda nalmente; Z xexp(x)dx = xexp(x) − exp(x) + C Donde C es la constante de integración. 1 (2) R 2. sin(x)cos(x)dx Haciendo la sustitución u = sin(x), entonces du = cos(x)dx, sustituyendo esto en la integral original queda; Z Z sin(x)cos(x)dx = cos(x)u du cos(x) (3) Eliminando términos iguales e integrando, nalmente queda; Z sin(x)cos(x)dx = u2 +C 2 (4) Regresando a las variables originales la intefral es; Z sin(x)cos(x)dx = donde C es la constante de integración. 2 sin2 (θ) +C 2 (5) R R R π R 2π 3. 0 0 0 r2 sin(θ)drdθdφ Integrando primero rescpecto a r, se tiene; V = R3 3 Z π 2π Z (6) sin(θ)dθdφ 0 0 Integrando respecto a theta ; V = R3 (−cos(π) + cos(0)) 3 V = 2R3 3 Z Z 2π dφ (7) 0 2π dφ (8) 0 Finalmente integrando respecto a φ, se obtiene; V = 4πR3 3 3 (9) 4. Sea F una función F (r, θ, φ). Usando la regla de la cadena, escriba explicitamente el valor dF. Para una función multivariable, la derivada esta dada por; dF = ∂F ∂r dr + θ,φ ∂F ∂θ 4 dθ + r,φ ∂F ∂φ dφ r,θ (10) 5. Enuncie el teorema fundamental del cálculo. Sea f una función integrable en[a, x] para cada x de [a, b]. Sea c tal que a ≤ b ≤ c y denamos una nueva función A; Z A(x) = ∞ f (x)dx si a ≤ x ≤ b (11) 0 existe una derivada A0 (x) en cada punto x del intervalo abeirto (a, b) en el que f es continua, y para tal x tenemos; A0 (x) = f (x) 5 (12)