SÍNTESIS DE NÚMERO EJEMPLO Se pide obtener un mecanismo

SÍNTESIS DE NÚMERO
EJEMPLO
Se pide obtener un mecanismo planar de un grado de libertad con 6 eslabones. Determinar las posibles
cadenas cinemáticas teniendo en cuenta sólo pares de revolución.
En primer lugar, se determina el número de pares cinemáticos que pueden tenerse para los eslabones y
grados de libertad requeridos. De la expresión de Gruebler se obtiene que para 6 eslabones y 1 gdl se
requieren 7 pares cinemáticos, siendo k el número de eslabones de la cadena cinemática y pV el número
de pares de clase V,
W=3(k-1)-2pV=1 → pV=(3k-4)/2 =7
(1)
Ahora bien, estos 6 eslabones pueden organizarse formando diversas configuraciones. Es posible tener
eslabones binarios, terciarios, etc. Una forma de determinar qué tipos configuraciones son posibles es a
través de la expresión,
k-(W+3)=T+2Q+3P+…
(2)
En esta expresión T, Q y P hacen referencia al número de eslabones ternarios, cuaternarios y pentagonales
respectivamente. De esta manera la expresión resultante será,
T+2Q+3P+…=2
(3)
Las posibles combinaciones se presentan en la tabla 1.
Tabla 1. Combinaciones para 6 eslabones y 1 gdl
Ternario
Cuaternario
2
0
0
1
Pentagonal
0
0
Binario
4
5
Dentro de la primera posibilidad B=4, T=2, podemos tener teóricamente las combinaciones dadas en la
figura 1,
a)
c)
b)
d)
Figura 1. Cadenas básicas (isómeros) para T=2 y B=4
La configuración a) en la que los dos eslabones ternarios están unidos directamente se conoce como
mecanismo de Watt. Con esta cadena cinemática, es posible obtener varios mecanismos según la
asignación del eslabón fijo. La cadena representada en b), en la que los eslabones ternarios están unidos a
través de un eslabón binario, se conoce como la cadena de Stephenson. Por su parte, las cadenas c) y d)
no cumplen la condición de distribución de grados de libertad, por lo que no son considerados isómeros.
Realizando la inversión cinemática para el mecanismo de Watt se tienen los mecanismos presentados en
la figura 2.
Figura 2. Inversión cinemática de la cadena cinemática de Watt
De la figura anterior se puede ver que los mecanismos donde los bastidores son los eslabones 1 o 2 o 4 o
5 corresponden a la misma topología y los mecanismos con bastidores 3 o 6 también lo son entre sí. Por
eso, de esta cadena cinemática se tienen únicamente dos tipos de mecanismos asociados para pares de
revolución. Es de aclarar que si bien son topológicamente los mismos, no son dimensionalmente iguales,
por lo que es posible que sus puntos tracen diferentes trayectorias según las dimensiones fijadas.
Para el caso de la cadena de Stephenson, la figura 3 presenta las posibles inversiones cinemáticas, de
donde se concluye que cuando los bastidores son 1 o 2, 3 o 5 y 4 o 6 se tiene la misma estructura
topológica. Por tanto, esta cadena presenta 3 tipos de mecanismo asociados.
Figura 3. Inversión cinemática de la cadena de Stephenson
El otro conjunto cinemático corresponde a la topología Q=1 y B=5 presentada en la figura 4. Este tipo de
isómero no cumple el criterio de distribución de grados de libertad.
Figura 4. Cadena cinemática para Q=1 y B=5. Cadena no útil.