Asignaturas del doctorado en Matemáticas (2005- 2006) OPCIÓN ÁLGEBRA Geometría algebraica F 3 Op Variedades afines y proyectivas. Topología de Zariski. El teorema de los zeros de Hilbert. Morfismos regulares y aplicaciones racionales. Fajos y localización. Variedades no singulares. Curvas no singulares y cuerpos de funciones. Teorema de Riemann-Roch. Teoría de la dimensión y teoría de intersección. Se recomienda haber hecho el curso de Álgebra conmutativa. Joaquim Roé Vellvé Álgebra Conmutativa F 4,5 Op Se estudiaran anillos noetherianos conmutativos y descomposición primaria, extensiones enteras. Teoremas de ascenso y descenso, completaciones, teoría de la dimensión, anillos de Cohen-Macaulay. En el caso especial de álgebras finitamente generadas sobre un cuerpo, se demostrará el Lema de Normalización de Noether y el Teorema de Zeros de Hilbert. Dolors Herbera Espinal Teoría de Grupos F 3,00 Op Se estudia la teoría combinatoria de grupos a través de la teoría de Bass-Serre de grupos actuando sobre árboles. La aplicación principal será una demostración del teorema de Stallings. (El teorema de Stallings y Swan dice que los grupos de dimensión cohomológica como mucho 1 son precisamente los grupos libres. Stallings hizo el caso de los grupos finitamente generados). Warren Dicks McLay OPCIÓN ANÁLISIS MATEMÁTICA Análisis Complexa Avanzada F 3,00 Op 1. Representación conforme: Espacios de funciones meromorfas, teorema de Riemann, fórmulas de Schwarz-Cristoffel, teoremas del área, Koebe, distorsión. 2. Funciones clásicas: Funciones Gamma y zeta. 3. Teoremas de Picard: Teoremas de Bloch, de Landau, de Schottky y de Picard. 4. Aproximación racional: Teorema de Runge, de Mittag-Leffler. Teoremas de Hartogs-Rosenthal y Mergelyan. Joan Josep Carmona Domènech Análisis Harmónica Avanzada F 4,5 Op - Distribuciones templadas y transformada de Fourier. - Teoremas de recubrimiento y funciones maximals. - Transformada de Hilbert. - Operadores de Calderón-Zygmund. - El espacio BMO y la desigualdad de John-Nirenberg. Xavier Tolsa Domènech Análisis Real Avanzada F 3,00 Op 1. Diferenciación de funciones reales. 2. Integración abstracta y espacios de Lebesgue. 3. Teoremas de Lebesgue y de Radon-Nikodym. 4. Teorema de representación de Riesz Joan Orobitg Huguet OPCIÓN ESTADÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA Procesos de Lévy y finanzas F 3 Op 1. Modelos continuos en finanzas. El modelo de Black-Scholes. 2. Imperfecciones del modelo de Black-Scholes. 3. Procesos de Lévy y leyes infinitamente divisibles. 4. Modelos de Lévy paramétricos en finanzas. 5. Simulaciones y aplicaciones. Josep Sole Clivilles Josep Vives Santa-Eulalia Joan del Castillo Franquet Matingales e integrales estocásticas F 3 Op 1. Procesos estocásticos a tiempo continuo. 2. Martingalas. 3. Integrales estocásticas. 4. Semimartingalas. 5. Cálculo de Itô. Frederic Utzet Civit Probabilidad y procesos estocásticos F 4,5 Op 1. Teoría de la medida: medidas e integración. 2. Teoría de la probabilidad: espacios de probabilidad, esperanza matemática, independencia, teoremas límite, probabilidad condicionada y esperanza condicionada. 3. Procesos estocásticos: martingalas, introducción a los procesos de Markov y a los procesos de Lévy. Aureli Alabert Romero OPCIÓN GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA Cobordismo F 3 Op 1. Cobordismo de variedades. 2. La construcción de Thom-Pontrjagin. 3. Cohomología del espectro de Thom. 4. La sucesión espectral de Adams. 5. Cálculo del anillo de cobordismo. 6. Géneros. El teorema de la signatura. Jaume Aguade Bover Teoría de homotopía F 4 Op En este curso se discutirán los conceptos y técnicas clásicas de la teoría de homotopía como los grupos de homotopía de un espacio, fibraciones y pull-backs, cofibraciones y push-outs, el homomorfismo de Hurewicz, los teoremas clásicos (de Whitehead, de Freudenthal y de Blackers-Massey), los k-invariantes de un espacio topológico y las torres de Postnikov. Jerome Scherer Introducción a la Geometría Integral F 3 Op Fórmulas clásicas de geometría integral plana: medida de rectas y fórmula de Cauchy-Crofton, medida cinemática y fórmula Blaschke. Traslado de los conceptos anteriores a ciertos espacios homogéneos. Trabajo del concepto de avaluación. Introducción del teorema de Hadwiger, que dice cuales son las valuaciones generadoras de las valuaciones continuas sobre policonvexas en el espacio euclidiano. Eduardo Gallego Gómez OPCIÓN MATEMÁTICA APLICADA Las funciones didácticas de la modelización y las calculadoras simbólicas F 3 Op El modelo epistemológico dominante en los actuales sistemas de enseñamiento presupone que la aritmética precede a la álgebra y esta al cálculo y al análisis. Estudiaremos como la modelización matemática, considerada como técnica didáctica y auxiliada con el uso sistemático de las Calculadoras Simbólicas, permite superar este reduccionismo y diseñar un proceso de estudio no lineal. Josep Gascon Perez Introducción a la Dinámica Discreta F 4,5 Op Dinámica combinatoria en el intervalo. Nombres de rotación y Dinámica combinatoria en el círculo. Funciones unimodales del intervalo: Teoría de "kneading" y bifurcaciones. Dinámica en dimensión superior: la herradura de Smale, los automorfismos de los tor y la bifurcación de Hopf. Introducción a la dinámica complexa analítica: familia cuadrática, el conjunto de Julia y su geometría. Espacios de Sobolev, EDPs y cálculo variacional F 3 Op El curso analizará en detalle las propiedades básicas de los espacios de Sobolev y aplicará los conceptos mencionados a estudiar las soluciones variacionales de los problemas de contorno para la ecuación de Poisson y los problemas de Cauchy para la ecuación del calor y las ondas. Jose Antonio Carrillo de la Plata Teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales F 3 Op 1)Puntos singulares, hiperbólicos, semi-hiperbólicos, nilpotentes y linealmente zero. 2) Índice de un punto singular. Teorema de Poincaré-Hopf. 3) El problema de centre-focus. 4) Compactificación de Poincaré. 5) Ciclos límites. 6) Integrabilidad. Jaume Llibre Salo