Hoja 2 - Universidad de Murcia

UNIVERSIDAD
DE MURCIA
Hoja 2
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
CONJUNTOS Y NÚMEROS 2011/2012.
1. En las relaciones que aparecen en los siguientes apartados se pide: a) Determinar
si son relaciones de orden. b) En caso de ser relaciones de orden, determinar si es
orden total, parcial, o un buen orden. c) Determinar si tienen máximos, mı́nimos,
maximales o minimales. d) Determinar si son inductivos. Todas las respuestas han de
ser razonadas.
a) En los conjuntos numéricos N, Z, Q, R, la relación a ≤ b si y sólo si a es menor
o igual que b.
b) En los enteros positivos, N \ {0} = N∗ , la relación de divisibilidad habitual; es
decir, a ≤ b si y sólo si a | b.
c) En Z, la relación de divisibilidad habitual; es decir, a ≤ b si y sólo si a | b.
d ) En R × R con la relación (a, b) ≤ (c, d) si y sólo si a < c y si a = c entonces b ≤ d.
e) En el conjunto potencia de un conjunto A; es decir, P(A), la relación X ≤ Y si
y sólo si X ⊆ Y .
f ) En el conjunto potencia de un conjunto A; es decir, P(A), la relación X ≤ Y si
y sólo si X ⊇ Y .
g) En los enteros positivos N∗ , la relación
(
m y n son pares
m≤n⇔
m y n son impares
h) En los enteros positivos N∗ , la relación


m y n son pares
m ≤ n ⇔ m y n son impares


m es par
y m≤n
y m≤n
y m≤n
y m≤n
y n impar.
2. Sea A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j}, junto con la relación
R = {(x, x) | x ∈ A} ∪ {(c, a), (d, a), (e, b), (g, d), (g, a), (h, f ), (h, g),
(h, c), (h, d), (h, e), (h, b), (h, a), (i, g), (i, d), (i, a)} ∪ {(j, x) | x ∈ A}
En los apartados siguientes se pide:
1
a) Determinar si es relación de orden,
b) En caso de serlo, clasificarla y hacer el diagrama de Hasse.
3. Sea (A, ≤) un conjunto ordenado. Demostrar que A tiene un máximo (respectivamente,
un mı́nimo) si y sólo si se satisfacen las siguientes propiedades:
a) A tiene un único elemento maximal (respectivamente, minimal).
b) Para todo x ∈ A, existe un elemento maximal (respectivamente, minimal) m ∈ A,
tal que x ≤ m (respectivamente, x ≥ m).
En tal caso, probar que el máximo (respectivamente, mı́nimo) y único elemento maximal (respectivamente, minimal) coinciden. Por tanto, de existir un máximo (respectivamente, mı́nimo) de un conjunto ordenado, es único.
4. En cada uno de los siguientes apartados se pide dar un ejemplo de conjunto ordenado
A que satisfaga la condición requerida:
a) A no tiene elmentos maximales.
b) A tiene varios elementos maximales.
c) Existe un elemento x ∈ A para el cual no existe elemento maximal (respectivamente, minimal) m ∈ A, tal que x ≤ m (respectivamente, x ≥ m).
5. Dar un ejemplo de un conjunto ordenado que tenga un solo elemento maximal, pero
que no tenga máximo.
6. Sea (A ≤) un conjunto ordenado y B ⊆ A un subconjunto. Cuando sea necesario,
miramos a B como conjunto ordenado con la relación ≤ restringida. Demostrar que
las siguientes afirmaciones son equivalentes:
a) B tiene un máximo (respectivamente, un mı́nimo).
b) B tiene extremo superior (respectivamente, inferior) en A y dicho extremo superior (respectivamente, inferior) pertenece a B.
Probar que, en tal caso, el máximo (respectivamente, mı́nimo) de B y el extremo
superior (respectivamente, inferior) de B y A, coinciden.
7. Sea de nuevo A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j}, junto con la relación
R = {(x, x) | x ∈ A} ∪ {(c, a), (d, a), (e, b), (g, d), (g, a), (h, f ), (h, g),
(h, c), (h, d), (h, e), (h, b), (h, a), (i, g), (i, d), (i, a)} ∪ {(j, x) | x ∈ A}
y sea Y = {c, d, f, g, h}. En los apartados siguientes se pide:
a) Determinar todas las cotas superiores e inferiores de Y .
b) Determinar si hay máximo, mı́nimo, supremo e ı́nfimo.
8. De las siguientes relaciones se pide determinar si son relaciones de equivalencia (si lo
son, hay que probarlo, si no, indicar cuál de las tres condiciones falla). En caso de que
lo sean, determinar las clases de equivalencia.
2
a) La diagonal; es decir, la igualdad, en cualquier conjunto.
b) En Z, la relación a ∼ b si y sólo si a + b es impar.
c) En N × N, la relación (a, b) ∼ (c, d) si y sólo si a + d = b + c.
d ) En A = {1, 2, 3}, la relación R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.
e) En Z × Z \ {(0, 0)}, la relación (a, b) ∼ (c, d) si y sólo si ad = bc. ¿Qué pasarı́a si
incluyésemos al (0, 0)?
f ) En Z, para m ∈ Z, la relación a ∼m b si y sólo si m | (a − b).
g) En el conjunto de todas las rectas en el plano, L, la relación L1 ∼ L2 si y sólo si
son paralelas.
9. Dar ejemplos de relaciones donde falle sólo una de las condiciones para que sea relación
de equivalencia (de esta manera, establecemos que ninguna condición es superflua).
10. Dado un conjunto A, se dice que una relación ∅ 6= R ⊆ A es circular si verifica que
si (a, b) ∈ R y (b, c) ∈ R entonces (c, a) ∈ R, para cualesquiera a, b, c ∈ R. En los
siguietnes apartados se pide:
a) Probar que toda relación de equivalencia es circular.
b) Probar que si una relación es circular y reflexiva entonces es de equivalencia.
c) Dar un ejemplo de una relación circular que no sea de equivalencia.
11. Consideremos el conjunto N∗ = N \ {0} con la relación de orden de divisibilidad:
a ≤ b si, y sólo si, a divide a b.
A continuación fijamos un elemento m ∈ N∗ y consideramos el subconjunto C = Cm =
{a ∈ N∗ : a divide a m}. Dar una condición necesaria y suficiente para que C sea una
cadena (=subconjunto totalmente ordenado) en N∗ .
12. Sea A = P(X), donde X = {1, 2, 3, 4}, y consideremos en A la relación de orden
⊆. Dado el subconjunto B = {{1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {2, 3}, {3, 4}, {1, 2, 3}}, se pide
dibujar el diagrama de Hasse del mismo y, si los hay, identificar los siguientes elementos
significativos: i) las cotas superiores (resp. inferiores) de B en A; ii) el supremo (resp.
ı́nfimo) de B en A; los elementos maximales (resp. minimales) de B; iv) el máximo
(resp. mı́nimo) de B.
13. Sea f : A −→ B una aplicación arbitraria entre conjuntos no-vacı́os y supongamos
que ≤ es una relación de orden en B. Se define en A la relación Σ dada por:
aΣa0 ⇐⇒ f (a) ≤ f (a0 ).
Demostrar que Σ es una relación de orden en A si, y sólo si, f es una aplicación
inyectiva.
14. En R2 se considera la relación de equivalencia R dada por la regla:
3
(x, y)R(x0 , y 0 )
|x| − |x0 | = |y 0 | − |y|,
⇐⇒
donde |a| denota el valor absoluto de a, para cualquier a ∈ R.
a) Identificar las clases de equivalencia con respecto a R
|x| + |y| da una aplicación bien definida
b) Probar que la asignación [(x, y)]
f : R2 /R −→ R
c) Discutir si la aplicación f es inyectiva, suprayectiva o biyectiva.
15. (*) En el conjunto R2 se considera la relación de equivalencia R dada por:
(a, b)R(c, d)
⇐⇒
max{|a|, |b|} = max{|c|, |d|}
Se pide:
a) Encontrar las clases de equivalencia con respecto a la misma
max{|x|, |y|} nos da una aplicación bien
b) Probar que la asignación [(x, y)]
definida f : R2 /R −→ R
c) Decir si la aplicación f del apartado anterior es inyectiva, suprayectiva o biyectiva, razonando la respuesta
16. Sean A y B conjuntos no-vacı́os y consideremos el conjunto B A cuyos elementos son
las aplicaciones f : A −→ B. Se define en B A la relación R dada por:
∼
=
f Rg si, y sólo si, existe una aplicación biyectiva β : A −→ A tal que g = f ◦ β.
Demostrar:
a) R es una relación de equivalencia en B A
b) Para toda f ∈ B A , se tiene que [f ] ⊆ {g ∈ B A : Im(g) = Im(f )}
Definimos Nn = {1, . . . , n}. Considerar el caso particular en que A = N3 y B = N4 y
calcular todas las clases de equivalencia en B A con respecto a la relación dada. ¿Cuál
es el cardinal del conjunto cociente B A /R?.
4