Auxiliar 2 - U

Auxiliar 2: Matemáticas Discretas para la
Computación
Profesor: Pablo Barceló
Auxiliares: Javiera Urrutia - Mauro Escobar
4 de abril de 2012
P1. Una relación R en A es un cuasi-orden si es refleja y transitiva.
(a) Demuestre que si R es un cuasi-orden en A, entonces R ∩ R−1 es una relación de
equivalencia en A.
(b) Sea R un cuasi-orden y sea S una relación en las clases de equivalencia de R ∩ R−1
tal que (C, D) ∈ S si y sólo si existen elementos c ∈ C y d ∈ D tales que (c, d) ∈ R.
Demuestre que S es un orden parcial.
P2. Pruebe que la relación de división, notada |, es un orden parcial y que la relación de
igualdad módulo p, notada =p , es de equivalencia.
P3. Sea ahora R una relación en A. Verificar las siguientes propiedades:
(a) R en A es transitiva si y sólo si Rn ⊆ R, para cualquier n ≥ 1.
(b) R es simétrica si y sólo si R = R−1 .
(c) Si R es simétrica, entonces Rn es simétrica para todo n ≥ 1.
S
(d) Si R tiene n elementos, entonces R∗ = i≤n Ri
P4. Propuesto: Sea R una relación transitiva sobre un conjunto A. Demuestre que R es un
orden parcial si y sólo si R ∩ R−1 = {(x, x) | x ∈ A}.
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