Pauta - Pontificia Universidad Católica de Chile

Pontificia Universidad Católica de Chile
Escuela de Ingenierı́a
Departamento de Ciencia de la Computación
Solución Tarea 3
IIC2212 - Lógica para ciencia de la computación
Primer Semestre, 2004
1.
Comenzamos reconociendo las criaturas, caracterı́sticas, tesoros y paı́ses que existen.
Criatura
Gnomos
Trasgos
Trolls
Elfos
Duendes
Caracterı́stica
traviesos
malos
odiosos
feos
repulsivos
Tesoro
rubı́es
plata
oro
diamantes
esmeraldas
Paı́s
Escocia
Noruega
Inglaterra
Gales
Irlanda
Luego procedemos a crear las variables que surgen para la modelación del problema:
gnomos
gnomos
gnomos
gnomos
gnomos
gnomos
gnomos
gnomos
gnomos
gnomos
gnomos
gnomos
gnomos
gnomos
gnomos
traviesos:
malos:
odiosos:
feos:
repulsivos:
rubı́es:
plata:
oro:
diamantes:
esmeraldas:
Escocia:
Noruega:
Inglaterra:
Gales:
Irlanda:
“Los
“Los
“Los
“Los
“Los
“Los
“Los
“Los
“Los
“Los
“Los
“Los
“Los
“Los
“Los
gnomos
gnomos
gnomos
gnomos
gnomos
gnomos
gnomos
gnomos
gnomos
gnomos
gnomos
gnomos
gnomos
gnomos
gnomos
son traviesos”
son malos”
son odiosos”
son feos”
son repulsivos”
tienen rubı́es”
tienen plata”
tienen oro”
tienen diamantes”
tienen esmeraldas”
vienen de Escocia”
vienen de Noruega”
vienen de Inglaterra”
vienen de Gales”
vienen de Irlanda”
Generamos en forma análoga, las variables necesarias para las otras criaturas.
Trasgos
Trasgos
Trasgos
Trasgos
Trasgos
traviesos
malos
odiosos
feos
repulsivos
Trasgos
Trasgos
Trasgos
Trasgos
Trasgos
rubı́es
plata
oro
diamantes
esmeraldas
Trasgos
Trasgos
Trasgos
Trasgos
Trasgos
Escocia
Noruega
Inglaterra
Gales
Irlanda
Trolls
Trolls
Trolls
Trolls
Trolls
Elfos
Elfos
Elfos
Elfos
Elfos
traviesos
malos
odiosos
feos
repulsivos
traviesos
malos
odiosos
feos
repulsivos
Duendes
Duendes
Duendes
Duendes
Duendes
Trolls
Trolls
Trolls
Trolls
Trolls
Elfos
Elfos
Elfos
Elfos
Elfos
traviesos
malos
odiosos
feos
repulsivos
rubı́es
plata
oro
diamantes
esmeraldas
rubı́es
plata
oro
diamantes
esmeraldas
Duendes
Duendes
Duendes
Duendes
Duendes
Trolls
Trolls
Trolls
Trolls
Trolls
Escocia
Noruega
Inglaterra
Gales
Irlanda
Elfos
Elfos
Elfos
Elfos
Elfos
Escocia
Noruega
Inglaterra
Gales
Irlanda
rubı́es
plata
oro
diamantes
esmeraldas
Duendes
Duendes
Duendes
Duendes
Duendes
Escocia
Noruega
Inglaterra
Gales
Irlanda
Ahora debemos modelar el hecho de que cada uno de las cinco razas, solo tiene una caracterı́stica, un solo tesoro y un solo paı́s:
((gnomos traviesos∧¬gnomos malos∧¬gnomos odiosos∧¬gnomos f eos∧¬gnomos repulsivos)∨
(¬gnomos traviesos∧gnomos malos∧¬gnomos odiosos∧¬gnomos f eos∧¬gnomos repulsivos)∨
(¬gnomos traviesos∧¬gnomos malos∧gnomos odiosos∧¬gnomos f eos∧¬gnomos repulsivos)∨
(¬gnomos traviesos∧¬gnomos malos∧¬gnomos odiosos∧gnomos f eos∧¬gnomos repulsivos)∨
(¬gnomos traviesos∧¬gnomos malos∧¬gnomos odiosos∧¬gnomos f eos∧gnomos repulsivos))
((gnomos rubies∧¬gnomos plata∧¬gnomos oro∧¬gnomos diamantes∧¬gnomos esmeraldas)∨
(¬gnomos rubies∧gnomos plata∧¬gnomos oro∧¬gnomos diamantes∧¬gnomos esmeraldas)∨
(¬gnomos rubies∧¬gnomos plata∧gnomos oro∧¬gnomos diamantes∧¬gnomos esmeraldas)∨
(¬gnomos rubies∧¬gnomos plata∧¬gnomos oro∧gnomos diamantes∧¬gnomos esmeraldas)∨
(¬gnomos rubies∧¬gnomos plata∧¬gnomos oro∧¬gnomos diamantes∧gnomos esmeraldas))
((gnomos Escocia∧¬gnomos N oruega∧¬gnomos Inglaterra∧¬gnomos Gales∧¬gnomos Irlanda)∨
(¬gnomos Escocia∧gnomos N oruega∧¬gnomos Inglaterra∧¬gnomos Gales∧¬gnomos Irlanda)∨
(¬gnomos Escocia∧¬gnomos N oruega∧gnomos Inglaterra∧¬gnomos Gales∧¬gnomos Irlanda)∨
(¬gnomos Escocia∧¬gnomos N oruega∧¬gnomos Inglaterra∧gnomos Gales∧¬gnomos Irlanda)∨
(¬gnomos Escocia∧¬gnomos N oruega∧¬gnomos Inglaterra∧¬gnomos Gales∧gnomos Irlanda))
((trasgos traviesos∧¬trasgos malos∧¬trasgos odiosos∧¬trasgos f eos∧¬trasgos repulsivos)∨
(¬trasgos traviesos∧trasgos malos∧¬trasgos odiosos∧¬trasgos f eos∧¬trasgos repulsivos)∨
(¬trasgos traviesos∧¬trasgos malos∧trasgos odiosos∧¬trasgos f eos∧¬trasgos repulsivos)∨
(¬trasgos traviesos∧¬trasgos malos∧¬trasgos odiosos∧trasgos f eos∧¬trasgos repulsivos)∨
(¬trasgos traviesos∧¬trasgos malos∧¬trasgos odiosos∧¬trasgos f eos∧trasgos repulsivos))
((trasgos rubies∧¬trasgos plata∧¬trasgos oro∧¬trasgos diamantes∧¬trasgos esmeraldas)∨
2
(¬trasgos
(¬trasgos
(¬trasgos
(¬trasgos
rubies∧trasgos plata∧¬trasgos oro∧¬trasgos diamantes∧¬trasgos
rubies∧¬trasgos plata∧trasgos oro∧¬trasgos diamantes∧¬trasgos
rubies∧¬trasgos plata∧¬trasgos oro∧trasgos diamantes∧¬trasgos
rubies∧¬trasgos plata∧¬trasgos oro∧¬trasgos diamantes∧trasgos
esmeraldas)∨
esmeraldas)∨
esmeraldas)∨
esmeraldas))
((trasgos Escocia∧¬trasgos N oruega∧¬trasgos Inglaterra∧¬trasgos Gales∧¬trasgos Irlanda)∨
(¬trasgos Escocia∧trasgos N oruega∧¬trasgos Inglaterra∧¬trasgos Gales∧¬trasgos Irlanda)∨
(¬trasgos Escocia∧¬trasgos N oruega∧trasgos Inglaterra∧¬trasgos Gales∧¬trasgos Irlanda)∨
(¬trasgos Escocia∧¬trasgos N oruega∧¬trasgos Inglaterra∧trasgos Gales∧¬trasgos Irlanda)∨
(¬trasgos Escocia∧¬trasgos N oruega∧¬trasgos Inglaterra∧¬trasgos Gales∧trasgos Irlanda))
((trolls traviesos ∧ ¬trolls malos ∧ ¬trolls odiosos ∧ ¬trolls f eos ∧ ¬trolls repulsivos) ∨
(¬trolls traviesos ∧ trolls malos ∧ ¬trolls odiosos ∧ ¬trolls f eos ∧ ¬trolls repulsivos) ∨
(¬trolls traviesos ∧ ¬trolls malos ∧ trolls odiosos ∧ ¬trolls f eos ∧ ¬trolls repulsivos) ∨
(¬trolls traviesos ∧ ¬trolls malos ∧ ¬trolls odiosos ∧ trolls f eos ∧ ¬trolls repulsivos) ∨
(¬trolls traviesos ∧ ¬trolls malos ∧ ¬trolls odiosos ∧ ¬trolls f eos ∧ trolls repulsivos))
((trolls rubies ∧ ¬trolls plata ∧ ¬trolls oro ∧ ¬trolls diamantes ∧ ¬trolls esmeraldas) ∨
(¬trolls rubies∧trolls plata∧¬trolls oro∧¬trolls diamantes∧¬trolls esmeraldas)∨(¬trolls rubies∧
¬trolls plata∧trolls oro∧¬trolls diamantes∧¬trolls esmeraldas)∨(¬trolls rubies∧¬trolls plata∧
¬trolls oro∧trolls diamantes∧¬trolls esmeraldas)∨(¬trolls rubies∧¬trolls plata∧¬trolls oro∧
¬trolls diamantes ∧ trolls esmeraldas))
((trolls Escocia ∧ ¬trolls N oruega ∧ ¬trolls Inglaterra ∧ ¬trolls Gales ∧ ¬trolls Irlanda) ∨
(¬trolls Escocia ∧ trolls N oruega ∧ ¬trolls Inglaterra ∧ ¬trolls Gales ∧ ¬trolls Irlanda) ∨
(¬trolls Escocia ∧ ¬trolls N oruega ∧ trolls Inglaterra ∧ ¬trolls Gales ∧ ¬trolls Irlanda) ∨
(¬trolls Escocia ∧ ¬trolls N oruega ∧ ¬trolls Inglaterra ∧ trolls Gales ∧ ¬trolls Irlanda) ∨
(¬trolls Escocia ∧ ¬trolls N oruega ∧ ¬trolls Inglaterra ∧ ¬trolls Gales ∧ trolls Irlanda))
((elf os traviesos ∧ ¬elf os malos ∧ ¬elf os odiosos ∧ ¬elf os f eos ∧ ¬elf os repulsivos) ∨
(¬elf os traviesos∧elf os malos∧¬elf os odiosos∧¬elf os f eos∧¬elf os repulsivos)∨(¬elf os traviesos∧
¬elf os malos∧elf os odiosos∧¬elf os f eos∧¬elf os repulsivos)∨(¬elf os traviesos∧¬elf os malos∧
¬elf os odiosos∧elf os f eos∧¬elf os repulsivos)∨(¬elf os traviesos∧¬elf os malos∧¬elf os odiosos∧
¬elf os f eos ∧ elf os repulsivos))
((elf os rubies∧¬elf os plata∧¬elf os oro∧¬elf os diamantes∧¬elf os esmeraldas)∨(¬elf os rubies∧
elf os plata∧¬elf os oro∧¬elf os diamantes∧¬elf os esmeraldas)∨(¬elf os rubies∧¬elf os plata∧
elf os oro∧¬elf os diamantes∧¬elf os esmeraldas)∨(¬elf os rubies∧¬elf os plata∧¬elf os oro∧
elf os diamantes∧¬elf os esmeraldas)∨(¬elf os rubies∧¬elf os plata∧¬elf os oro∧¬elf os diamantes∧
elf os esmeraldas))
((elf os Escocia ∧ ¬elf os N oruega ∧ ¬elf os Inglaterra ∧ ¬elf os Gales ∧ ¬elf os Irlanda) ∨
(¬elf os Escocia ∧ elf os N oruega ∧ ¬elf os Inglaterra ∧ ¬elf os Gales ∧ ¬elf os Irlanda) ∨
(¬elf os Escocia ∧ ¬elf os N oruega ∧ elf os Inglaterra ∧ ¬elf os Gales ∧ ¬elf os Irlanda) ∨
(¬elf os Escocia ∧ ¬elf os N oruega ∧ ¬elf os Inglaterra ∧ elf os Gales ∧ ¬elf os Irlanda) ∨
(¬elf os Escocia ∧ ¬elf os N oruega ∧ ¬elf os Inglaterra ∧ ¬elf os Gales ∧ elf os Irlanda))
3
((duendes traviesos∧¬duendes malos∧¬duendes odiosos∧¬duendes f eos∧¬duendes repulsivos)∨
(¬duendes traviesos∧duendes malos∧¬duendes odiosos∧¬duendes f eos∧¬duendes repulsivos)∨
(¬duendes traviesos∧¬duendes malos∧duendes odiosos∧¬duendes f eos∧¬duendes repulsivos)∨
(¬duendes traviesos∧¬duendes malos∧¬duendes odiosos∧duendes f eos∧¬duendes repulsivos)∨
(¬duendes traviesos∧¬duendes malos∧¬duendes odiosos∧¬duendes f eos∧duendes repulsivos))
((duendes rubies∧¬duendes plata∧¬duendes oro∧¬duendes diamantes∧¬duendes esmeraldas)∨
(¬duendes rubies∧duendes plata∧¬duendes oro∧¬duendes diamantes∧¬duendes esmeraldas)∨
(¬duendes rubies∧¬duendes plata∧duendes oro∧¬duendes diamantes∧¬duendes esmeraldas)∨
(¬duendes rubies∧¬duendes plata∧¬duendes oro∧duendes diamantes∧¬duendes esmeraldas)∨
(¬duendes rubies∧¬duendes plata∧¬duendes oro∧¬duendes diamantes∧duendes esmeraldas))
((duendes Escocia∧¬duendes N oruega∧¬duendes Inglaterra∧¬duendes Gales∧¬duendes Irlanda)∨
(¬duendes Escocia∧duendes N oruega∧¬duendes Inglaterra∧¬duendes Gales∧¬duendes Irlanda)∨
(¬duendes Escocia∧¬duendes N oruega∧duendes Inglaterra∧¬duendes Gales∧¬duendes Irlanda)∨
(¬duendes Escocia∧¬duendes N oruega∧¬duendes Inglaterra∧duendes Gales∧¬duendes Irlanda)∨
(¬duendes Escocia∧¬duendes N oruega∧¬duendes Inglaterra∧¬duendes Gales∧duendes Irlanda))
De la misma forma, debemos añadir, que cada caracterı́stica, tesoro es poseı́do por una sola
criatura y también que en un paı́s solo vive una sola de ellas.
((gnomos traviesos∧¬trolls traviesos∧¬elf os traviesos∧¬duendes traviesos∧¬trasgos traviesos)∨
(¬gnomos traviesos∧trolls traviesos¬elf os traviesos∧¬duendes traviesos∧¬trasgos traviesos)∨
(¬gnomos traviesos∧¬trolls traviesos∧elf os traviesos∧¬duendes traviesos∧¬trasgos traviesos)∨
(¬gnomos traviesos∧¬trolls traviesos∧¬elf os traviesos∧duendes traviesos∧¬trasgos traviesos)∨
(¬gnomos traviesos∧¬trolls traviesos∧¬elf os traviesos∧¬duendes traviesos∧trasgos traviesos))
Haciendo esto con las otras 4 caracterı́sticas, después con los tesoros y después con los paı́ses,
procedemos a modelar las afirmaciones del enunciado:
“Los Gnomos son traviesos, los rubı́es vienen de Escocia”− Interpretamos: criatura rubies
↔ criatura Escocia por cada criatura, de “los rubı́es vienen de Escocia”
gnomos traviesos∧((gnomos rubies ↔ gnomos Escocia)∧(trolls rubies ↔ trolls Escocia)∧
(trasgos rubies ↔ trasgos Escocia) ∧ (elf os rubies ↔ elf os Escocia) ∧ (duendes rubies ↔
duendes Escocia))
“Los Trasgos tienen plata, los Elfos vienen de Noruega”
trasgos plata ∧ elf os N oruega
“Escocia tiene Trolls, los duendes tienen oro”
trolls Escocia ∧ duendes oro
“Los Elfos son malévolos, Escocia tiene criaturas odiosas”− Interpretamos: criatura odiosas
↔ criatura Escocia por cada criatura, de “Escocia tiene criaturas odiosas”
elf os malos ∧ ((gnomos odiosos ↔ gnomos Escocia) ∧ (trolls odiosos ↔ trolls Escocia) ∧
(trasgos odiosos ↔ trasgos Escocia)∧(elf os odiosos ↔ elf os Escocia)∧(duendes odiosos ↔
4
duendes Escocia))
“Los Duendes son repulsivos, los Trasgos vienen de Inglaterra”
duendes repulsivos ∧ trasgos Inglaterra
“Los Duendes no son feos, Gales no tiene criaturas traviesas”− Interpretamos: criatura traviesas
→ ¬ criatura Gales por cada criatura, de “Gales no tiene criaturas traviesas”
¬duendes f eos∧((gnomos traviesos → ¬gnomos Gales)∧(trolls traviesos → ¬trolls Gales)∧
(trasgos traviesos → ¬trasgos Gales)∧(elf os traviesos → ¬elf os Gales)∧(duendes traviesos →
¬duendes Gales))
“Irlanda no tiene diamantes, los seres odiosos no tienen esmeraldas”− Interpretamos: criatura diamantes → ¬ criatura Irlanda y criatura odiosos → ¬ criatura esmeraldas por cada
criatura de la oración
((gnomos diamantes → ¬gnomos Irlanda) ∧ (trolls diamantes → ¬trolls Irlanda)
∧(trasgos diamantes → ¬trasgos Irlanda) ∧ (elf os diamantes → ¬elf os Irlanda)
∧(duendes diamantes → ¬duendes Irlanda))∧((gnomos odiosos → ¬gnomos esmeraldas)∧
(trolls odiosos → ¬trolls esmeraldas)∧(trasgos odiosos → ¬trasgos esmeraldas)∧(elf os odiosos →
¬elf os esmeraldas) ∧ (duendes odiosos → ¬duendes esmeraldas))
Finalmente podemos averiguar la caracterı́stica, tesoro y paı́s de cada criatura, aplicando
resolución de la siguiente manera: suponemos que una de las caracterı́sticas (o tesoro o paı́s)
no la tiene ninguna de las criaturas, por lo que la oración “los Gnomos no son traviesos y
los Elfos no son traviesos y los Duendes no son traviesos y los Trasgos no son traviesos y
los Trolls no son traviesos” no es una consecuencia lógica de nuestra base de conocimiento.
Sin embargo, otter intentará buscar resolución con ella y de lo cual obtendrá cláusulas como
gnomos Irlanda, la cual es consecuencia lógica de la base de conocimiento, y por lo tanto, el
paı́s indicado de los gnomos.
Probamos entonces la siguiente afirmación, en nuestra lista SOS, para la caracterı́stica “travieso”:
(gnomos traviesos∨elf os traviesos∨duendes traviesos∨trasgos traviesos∨trolls traviesos)
Luego, otter nos devuelve las siguientes cláusulas durante el intento de resolución (eventualmente, no encontrará cláusula vacı́a):
[enrique@cook bin]$ grep "wt=1" salida.out | grep -v "-"
given clause #17: (wt=1) 509 [binary,491.2,320.1] gnomos_Irlanda.
given clause #32: (wt=1) 557 [binary,542.2,334.1] gnomos_esmeraldas.
given clause #90: (wt=1) 773 [binary,749.2,332.1] trolls_rubies.
given clause #109: (wt=1) 812 [binary,803.2,331.1] elfos_diamantes.
given clause #122: (wt=1) 875 [binary,862.2,347.1] duendes_Gales.
5
given clause #145: (wt=1) 958 [binary,944.2,346.1] trasgos_feos.
given clause #163: (wt=1) 1004 [binary,1000.2,346.1] trolls_odiosos.
Con esto obtenemos que los Gnomos son de Irlanda, tienen esmeraldas, los Trolls tienen rubı́es
y son odiosos, los Duendes son de Gales, los Elfos tienen diamantes y los Trasgos son feos.
Para encontrar el resto de las caracterı́sticas, paı́ses y tesoros, usando la información recolectada, se puede deducir en forma natural y comprobar mediante resolución. Por ejemplo,
ya que sabemos que los Elfos tienen diamantes, los Gnomos esmeraldas, los Trolls tienen
rubı́es y además del enunciado se tiene el hecho que los Duendes tienen oro, podemos ver si
trasgos plata es consecuencia lógica y si es posible encontrar cláusula vacı́a. Aplicando ésta
y otras técnicas, se obtiene:
−Los Gnomos son traviesos, vienen de Irlanda y tienen esmeraldas
−Los Elfos son malévolos, vienen de Noruega y tienen diamantes
−Los Duendes son repulsivos, vienen de Gales y tienen oro
−Los Trasgos son feos, vienen de Inglaterra y tienen plata
−Los Trolls son odiosos, vienen de Escocia y tienen rubı́es
2.
a) S = h {<, impar, par },{+,*},{0,1}i
E = h N , {<N , imparN , parN },{ +N ,∗N },{0N ,1N }i
N : Conjunto de todos los numeros naturales
∀xy(x<y ∧ par(x) ∧ par(y))→ ∃z impar(z)
b)
S = h { tienepluma, totalemplumado },{},{}i
E = h P , { tieneplumaP , totalemplumadoP },{},{}i
P : Conjunto de todos los pingüinos
∀x(tienepluma(x) ∧ ¬totalemplumado(x))
c)
S = h {biternario },{hijos,nietos},{}i
E = h A, {biternarioA },{ hijosA ,nietosA },{}i
A : Conjunto de todos los abuelitos
∀x ((hijos(x)=2 ∧ nietos(x)=3) ↔ biternario(x))
d)
S = h{ARAÑA, MAMIFERO, TRADUCTOR},{},{}i
E = hA ,{ARAÑAA , MAMIFEROA , TRADUCTORA } ,{},{}i
A : Conjunto de todos los seres vivos
∃x(ARAÑA(x)∧MAMIFERO(x)∧∀y(MAMIFERO(y)→ ¬TRADUCTOR(y))
→ ∃z(ARAÑA(z)∧¬TRADUCTOR(z))
e)
S = h{ROBA, LADRON, 100AÑOS},{},{}i
E = hA ,{ROBAA , LADRONA , 100AÑOSA } ,{},{}i
A : Conjunto de todos los humanos
∀xy(LADRON(x)∧LADRON(y)∧ROBA(x,y)→100AÑOS(x))
6
f)
S = h{EXTRATERRESTRE},{},{ROMULO, REMO}i
E = hA ,{EXTRATERRESTREA } ,{},{ROMULOA , REMOA }i
A : Conjunto de todos los Romanos
∀x(EXTRATERRESTRE(x)→ x=ROMULO ∨ x=REMO)
g) S = h{DERROTA, CAMPEON},{},{}i
E = hA ,{DERROTAA , CAMPEONA } ,{},{}i
A : Conjunto de todos los humanos
∀x(CAMPEON(x)→ ∀y(DERROTA(x,y)∨x=y))
3.
En cada caso E representará una estructura sobre un conjunto B compatible con el conjunto
de sı́mbolos de cada fórmula y β una función de asignación.
a) Sea ϕ=∀x∃y(P(x)→P(y))
I = h E , β i una interpretación cualquiera.
Supongamos que ϕ no es válida.
xy
xy
I 2 ϕ ⇐⇒ I a b P(x) para algún a ∈ B y I a b 2 P(y) para todo b ∈ B.
Claramente esto es una contradicción. Luego, se concluye que ϕ es válida.
b)
Sea ϕ=∀xP(x)→ ∀yQ(y), ψ=∀x(P(x)→Q(x)) y χ=ϕ → ψ
Sea B={1, 2}, P B = {1}, QB = {2}
xy
Entonces, I a b ϕ para cuaquier a,b ∈ B,porque el antecedente se hace falso, pero
xy
I 1 2 2 ψ.
Luego, se concluye que χ no es válida.
c)
Sea ϕ=∀ x (P(x)→Q(y)), ψ=∀xP(x)→ ∀yQ(y)) y χ=ϕ → ψ
I = h E , β i una interpretación cualquiera.
Supongamos que χ no es válida.
I 2 χ ⇐⇒ I ϕ y I 2 ψ
x
I ϕ ⇐⇒ I a ϕ para todo a ∈ B
x
x
⇐⇒ I a 2P(x) o I a Q(x) para todo a ∈ B
⇐⇒ a ∈
/ P o a ∈ Q, para todo a ∈ B. (*)
xy
I 2 ψ ⇐⇒ I a b 2 ψ para algunos a,b ∈ B
xy
xy
⇐⇒ I a b P(x) y I a b 2Q(y) para algún b y todo a ∈ B
⇐⇒ a ∈ P y b ∈
/ Q para todo a y algún b ∈ B. (**)
De (*) y (**) llegamos a una contradicción(si a=b). Luego, se concluye que χ es válida.
d)
Sea B={1, 2} y PB ={(1, 2), (2, 1)}
x
Claramente I 1 2P(x,x). Luego la fórmula no es válida.
e)
Sea B={1, 2} y PB ={(1, 2)}
xy z
xy z
I 1 2 2 P(x,y) y I 1 2 2 2P(z,x) para todo z ∈ B.
Luego, la fórmula no es válida.
f)
Sea ϕ=∀x x=A, ψ=∀x P(x)∨¬P(A)) y χ=ϕ → ψ
I = h E , β i una interpretación cualquiera.
Supongamos que χ no es válida.
I 2 χ ⇐⇒ I ϕ y I 2 ψ
7
x
I ∀x x=A ⇐⇒ I a x=A para todo a ∈ B
⇐⇒ a=A para todo a ∈ B.
I 2ψ
x
x
⇐⇒ I a 2P(x) y I a 2 ¬P(A) para algún a ∈ B.
Pero vimos que a=A para todo a ∈ B, entonces llegamos a una contradicción. Luego, la
fórmula es válida.
g)
Sea E = hN, {≥N },{cuadradod eN },{}i
xy
I a b P(x,f(x)) para todo a,b ∈ B.
xy
Pero I 2 1 2P(x,y). Luego, la fórmula no es válida.
h) Sea ϕ=∃y∀Q(x,y), ψ=∀x∃yQ(x,y) y χ=ϕ → ψ
I = h E , β i una interpretación cualquiera.
Supongamos que χ no es válida.
I 2 χ ⇐⇒ I ϕ y I 2 ψ
xy
I ϕ ⇐⇒ I a b Q(x,y) para todo a y algún b ∈ B
⇐⇒ (a,b) ∈ Q para todo a y algún n ∈ B. (*)
xy
I 2 ψ ⇐⇒ I a b 2Q(x,y) para todo b y algún a ∈ B
⇐⇒ (a,b) ∈
/ Q para todo b y algún a ∈ B. (**)
De (*) y (**) llegamos a una contradicción. Luego, la fórmula es válida.
8