TEMA 4 1. Dada una v.a. bivariante cuya distribución de probabilidad es: P (1, 1) = 1 , 4 P (1, 2) = 1 , 2 P (2, 1) = 1 4 a ) Obtener la distribución de probabilidad marginal de la v.a. X . b ) Obtener la distribución de probabilidad marginal de la v.a. Y . c ) ¾Son X e Y independientes? 2. Sean X e Y dos v.a. cuyas distribuciones de probabilidad son P (X = 1) = 0,4 P (X = 2) = 0,6 P (Y = 3) = 0,7 P (Y = 9) = 0,3 Obtener la distribución conjunta de la v.a. (X, Y ) en el supuesto de que ambas componentes sean independientes. 3. Se dene la distribución de probabilidad de la v.a. (X, Y ) dando a cada uno de los diez puntos siguientes la probabilidad 0.1. Es decir: P (1, 2) = P (2, 2) = P (3, 2) = P (4, 2) = P (2, 4) = P (3, 4) = P (4, 4) = P (3, 6) = P (4, 6) = P (4, 8) = 0,1 Hallar: a ) La función de distribución en los puntos (20 5, 7) y (3, 6). b ) La distribución de probabilidad de la v.a. Y |X = 3. c ) Estudiar la independencia entre X e Y . 4. La función de cuantía conjunta de dos variables viene dada por: P (x, y) = cxy 0 si x = 1, 2, 3, en otro caso y = 1, 2, 3 Hallar: a ) El valor del parámetro c b ) P (X = 2, Y = 3) c ) P (1 ≤ X ≤ 2, Y ≤ 2) d ) F (x, y) 5. La función de cuantía conjunta de una variable aleatoria bidimensional (X, Y ) viene dada por: 2 Y X 1 2 3 1 9 0 2 9 3 0 a 0 a) Calcular el valor de a b) Obtener las funciones de cuantía marginales de las v.a. X e Y 1 c) Calcular la función de cuantía y la función de distribución de probabilidad de la v.a. X|Y = 2 d) P (X = 2|X + Y = 5) e) P (Y > 2|X > 1) f) ¾Son X e Y v.a. independientes? 6. Sean X e Y dos v.a. con la siguiente distribución de probabilidad conjunta: Y = −1 X = −1 X=0 X=1 Y =0 0 2 9 0 1 9 2 9 1 9 2 9 1 9 Y =1 0 a ) Obtén las funciones de cuantía marginales de X e Y . b ) Calcula el valor de P (X + Y ≥ 1|X 2 = 1). c ) Calcula el valor de P (X + Y = 0). 7. La v.a. (X, Y ) tiene función de densidad conjunta dada por: f (x, y) = si 0 ≤ x ≤ 2, en otro caso kx2 y 0 0 ≤ y ≤ 2, y≤x a ) Calcular k . b ) Calcular P (0 < X < 10 5, Y ≤ 1). c ) Obtener las funciones de densidad marginales. d ) Estudiar la independencia entre X e Y . 8. La v.a. (X, Y ) tiene función de densidad conjunta dada por: f (x, y) = kxy 0 si 0 ≤ x ≤ 2, en otro caso 0≤y≤1 a ) Calcular k de modo que f (x, y) sea función de densidad. b ) Obtener las funciones de densidad marginales. c ) Calcular P (1 < X < 2, 0 < Y < 21 ). d ) Estudiar la independencia entre X e Y . e ) Calcular P (X = 10 5). 9. Una empresa se dedica a la venta de dos productos: el primero da unos benecios que, expresados en millones de euros, se distribuyen uniformemente en el intervalo [0, 6]. El segundo da unas pérdidas que se distribuyen uniformemente en el intervalo [0, 2]. Se sabe que los benecios o pérdidas resultantes de la producción de ambos productos son v.a. independientes. Calcular la probabilidad de que el benecio neto de la empresa sea superior a 2 millones de euros. 10. Una empresa comercializa dos productos. Los benecios mensuales obtenidos por la venta de ambos productos (X, Y ) en millones de euros, sigue una distribución cuya función de densidad conjunta es: f (x, y) = x+y 0 si 0 ≤ x ≤ 1, en otro caso 0≤y≤1 a ) Calcular la función de densidad marginal de los benecios de cada uno de los productos. ¾ Son independientes? 2 b ) Calcular la probabilidad de que el benecio total de la empresa durante un mes no supere el millón de euros. 11. Sea (X, Y ) una v.a. cuya función de densidad conjunta viene dada por f (x, y) = cxy, si 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 0, en otro caso a ) Halla el valor de la constante c para que f (x, y) sea una función de b) c) d) e) densidad completamente especicada. Halla la función de densidad marginal de la v.a. X . Calcula E(X).(Este apartado corresponde al Tema 5). Calcula razonadamente la probabilidad P (X + Y ≤ 1). Razona gráca o algebráicamente el valor de la probabilidad condicionada P (X + Y ≤ 1|X = 0,5). 12. La v.a. (X, Y ) representa los benecios anuales, medidos en millones de euros, de dos empresas A y B de accesorios de automóviles. Su función de densidad conjunta viene dada por: f (x, y) = kex+y , donde k = 2 (e−1)2 0<y<x<1 ≈ 0,68. a) ¾Cuál es la probabilidad de que los benecios anuales de la empresa B superen el medio millón de euros? b) ¾Cuál es la probabilidad de que los benecios anuales de B sean menores que medio millón de euros, si los de la empresa A han sido exactamente tres cuartas partes de un millón de euros? NOTA: para evitar errores de cálculo, traba jar con la letra k y sustituir su valor después de hacer todas las operaciones. Soluciones a los problemas. Tema 4 1. a ) P (X = 1) = 43 , P (X = 2) = 14 . b ) P (Y = 1) = 12 , P (Y = 2) = 12 . c ) No son independientes. P (2, 2) = 0 6= P (X = 2)P (Y = 2) = 18 . 2. P (1, 3) = 0,28, P (1, 9) = 0,12, P (2, 3) = 0,42 y P (2, 9) = 0,18 3. a ) F (20 5, 7) = 0,3. F (3, 6) = 0,6. b ) P (Y = 2|X = 3) = 13 , P (Y = 4|X = 3) = 13 , P (Y = 6|X = 3) = 31 . c ) No son independientes. Por ejemplo: P (1, 4) = 0 6= P (X = 1)P (Y = 4) = 0,03. 4. a) c = 1 36 . b ) P (2, 3) = 16 . c ) P (1 ≤ X ≤ 2, Y ≤ 2) = 14 . 3 d) F (x, y) = 5. x<1 ó y<1 1 ≤ x < 2, 1 ≤ y < 2 2 ≤ x < 3, 1 ≤ y < 2 3 ≤ x, 1 ≤ y < 2 1 ≤ x < 2, 2 ≤ y < 3 2 ≤ x < 3, 2 ≤ y < 3 3 ≤ x, 2 ≤ y < 3 1 ≤ x < 2, 3 ≤ y 2 ≤ x < 3, 3 ≤ y 3 ≤ x, 3 ≤ y 0 1 36 3 36 6 36 3 36 9 36 18 36 6 36 18 36 1 a) a = 96 ≈ 0,67 b) S(X) = {1, 2, 3}; PX (1) = 19 , PX (2) = 96 , PX (3) = S(Y ) = {2, 3}; PY (2) = 13 , PY (3) = 23 2 9 1 c) Z = X|Y = 2; S(Z) = {1, 3}; PZ (1) = PPY(1,2) (2) = 3 , PZ (3) = 0 si z < 1 1 si 1 ≤ z < 3 F (z) = P (Z ≤ z) = 3 1 si z ≥ 3 d) P (X = 2|X + Y = 5) = = P (3,2) PY (2) = 2 3 P (X = 2, Y = 3) P (X = 2, X + Y = 5) = P (X + Y = 5) P (X = 2, Y = 3) + P (X = 3, Y = 2) 6/9 6 3 = = = 0,75 8/9 8 4 e) P (Y > 2|X > 1) P (Y > 2, X > 1) P (Y = 3, X = 2) + P (Y = 3, X = 3) = P (X > 1) 1 − P (X = 1) 6/9 3 = = 0,75 8/9 4 = = f) X , Y independientes ⇔ PX (x)PY (y) = P (x, y) ∀x ∈ S(X) ∀y ∈ S(Y ) PX (2)PY (2) = 6. 61 93 = 2 9 6= 0 = P (2, 2) a ) La distribución marginal de la v.a. X , es: P (X = −1) = P (X = 0) = P (X = 1) = 13 Y la de la v.a. Y , es: P (Y = −1) = P (Y = 0) = P (Y = 1) = 13 Es decir ambas variables tienen la misma distribución. b) P (X + Y ≥ 1|X 2 = 1) = P [(X + Y ≥ 1) ∩ (X 2 = 1)] P (X 2 = 1) donde P [(X + Y ≥ 1) ∩ (X 2 = 1)] = P [(X + Y ≥ 1) ∩ (X = 1)] + + P [(X + Y ≥ 1) ∩ (X = −1)] = 2 = P (1, 0) + P (1, 1) + 0 = 9 4 P (X 2 = 1) = P (X = 1) + P (X = −1) = 2 3 Luego, P (X + Y ≥ 1|X 2 = 1) = 2 9 2 3 = 1 3 c) = P (X = −Y ) = P (−1, 1) + P (0, 0) + P (1, −1) = 1 1 1 3 1 + + = = = 9 9 9 9 3 P (X + Y = 0) 7. a) k = 5 16 . b) Z 0 P (0 < X < 1 5, Y ≤ 1) 1 Z 1 Z 10 5 = 0 Z y x = 0 = c ) f (x) = 0 5 2 x ydxdy = 16 Z 10 5 Z 1 5 2 5 2 x ydydx + x ydydx = 16 16 1 0 0,15496 3 si 0 ≤ x ≤ 2. f (y) = 65 y(1 − y8 ), si 0 ≤ y ≤ 2. d ) No son independientes. Por ejemplo en el punto (0.5, 1), la función de densidad conjunta es nula, f (0,5, 1) = 0, mientras que el producto de marginales es distinto de cero. fX (0,5) = 0,00976, fY (1) = 0,7291. 8. 5 4 32 x , a ) k = 1. b ) f (x) = x2 , si 0 ≤ x ≤ 2. f (y) = 2y , si 0 ≤ y ≤ 1. c ) P (1 < X < 2, 0 < X < 12 ) = 3 16 . d ) Son independientes, puesto que en cualquier punto del plano,(x, y), se verica f (x, y) = fX (x)fY (y). e ) P (X = 1,5) = 0. 9. Z = X − Y . P (Z > 2) = 0,5. 10. a ) fX (x) = x + 21 , si 0 ≤ x ≤ 1. fY (y) = y + 21 , si 0 ≤ y ≤ 1. No son independientes, puesto que f (x, y) = x + y 6= (x + 21 )(y + 21 ). b ) P (X + Y ≤ 1) = 13 . 11. a ) Sabemos que la función de densidad debe integrar la unidad en el recinto en el que está denida. Esto es: 1 x2 = cxydxdy = cy dy = 2 y 0 y 0 2 1 4 1 Z 1 y2 y y c cy(0,5 − )dy = 0,5c = − 0,5c = 2 2 0 4 0 8 0 Z 1 1 Z 1 Z de donde, c = 8. 5 1 b) ( R x 0 f (x) = 8xydy = 8x y2 2 x = 4x3 , 0 0, si 0 ≤ x ≤ 1 en otro caso c) 1 Z 1 Z x · 4x dx = 4 xf (x)dx = E(X) = 3 0 0 x5 5 1 = 0 4 5 d) Z P (X + Y ≤ 1) 0,5 Z 1−y 0,5 Z 0 y 0 0,5 8y 8xydxdy = = x2 2 1−y dy = y (1 − y)2 y2 = 8y − dy = 2 2 0 3 0,5 2 0,5 Z 0,5 Z 0,5 y y −8 = ydy − 8 y 2 dy = 4 = 4 2 3 0 0 0 0 = 0,5 − 0,333 = 0,1666 Z e ) En el triángulo en el que está denida la v.a (X, Y ), pintamos la recta X = 0,5. Si estamos sobre dicho segmento de recta, estamos siempre en el semiplano X + Y ≤ 1, luego la probabilidad condicionada es la del suceso seguro, que es 1. Algebráicamente P (X + Y ≤ 1|X = 0,5) = P (Y ≤ 0,5|X = 0,5) y para calcular esta probabilidad condicionada, tenemos que obtener la función de densidad de la distribución condicionada de Y |X = 0,5, que es: f (y|x = 0,5) = f (0,5, y) 8 · 0,5 · y = = 8y fX (0,5) 4 · 0,53 si 0 ≤ y ≤ 0,5, y cero en otro caso. Entonces: Z 0,5 P (Y ≤ 0,5|X = 0,5) = 8ydy = 8 0 12. y2 2 0,5 =1 0 a) Z fY (y) = Z 1 f (x, y)dx = < kex+y dx = key [ex ]1y y = key (e − ey ) = k(ey+1 − e2y ), Z P (Y > 0,5) = 1 − P (Y ≤ 0,5) = 1 − 0≤y≤1 0,5 k(ey+1 − e2y )dy 0 = 0,5 e2y 1 − k ey+1 − = 1 − k(e1,5 − 0,5e − e + 0,5) ≈ 0,388 2 0 6 b) Z fX (x) = = fY |X=x0 (x) Z f (x, y)dy = < x x kex+y dy = kex [ey ]x0 0 ke (ex − 1) = k(e2x − ex ), = = f (x0 , y) kex0 +y = fX (x0 ) k(e2x0 − ex0 ) x0 y e e ey = , ex0 (ex0 − 1) ex0 − 1 Z P (Y < 0,5|X = 0,75) 0≤x≤1 0 < y ≤ x0 0,5 = Z fY |X=0,75 (y)dy = −∞ 0 0,5 = 0,5 ey dy −1 e0,75 1 e −1 0,5 [ey ]0 = 0,75 ≈ 0,5547 −1 e0,75 − 1 e 7