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CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 2. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones
Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal
7. Resolver las siguientes ecuaciones irracionales:
a) 4x - 5 x = 0
b)
x-2=x-8
c)
3
2x - 1 = x
Solución
a) Se despeja la única raíz que aparece en la ecuación, quedando
4x = 5 x
se elevan al cuadrado ambos miembros y se realizan operaciones, obteniéndose una ecuación
polinómica
(4x)2 =
( 5 x)
2
⇔
16x2 = 25x
⇔
16x2 – 25x = 0
Para resolver esta ecuación polinómica se saca factor común x quedando, x(16x – 25) = 0, de
25
.
donde se obtiene x = 0 y x =
16
En este caso, se ha de comprobar si las soluciones de la ecuación polinómica lo son también de la
ecuación inicial ya que al haber elevado al cuadrado, la ecuación obtenida puede no ser equivalente:
•
sustituyendo x = 0 en la ecuación 4x - 5 x = 0 queda 0 = 0 y, por tanto, se tiene que x = 0
es solución de la ecuación inicial
•
sustituyendo x =
x=
25
en la ecuación 4x - 5 x = 0 queda 0 = 0 y, por tanto, se tiene que
16
25
es solución de la ecuación inicial
16
En conclusión, las soluciones de la ecuación 4x - 5 x = 0 son x = 0 y x =
25
.
16
b) Se elevan al cuadrado ambos miembros y se realizan operaciones obteniéndose una ecuación
polinómica
(
x - 2) = (x - 8)2
2
⇔
Las soluciones de esta ecuación son x =
x - 2 = x2 – 16x + 64
17 ±
⇔
x2 – 17x + 66 = 0
6
17± 25
17 ± 5
(-17)2 - 4.1.66
=
=
=
2
2
2
11
En este caso se ha de comprobar si las soluciones de la ecuación polinómica lo son también de la
ecuación inicial ya que al ser el índice de la raíz par, la ecuación obtenida puede no ser equivalente:
•
sustituyendo x = 6 en la ecuación x - 2 = x - 8 queda 2 = -2 y, por tanto, se tiene que
x = 6 no es solución de la ecuación inicial
•
sustituyendo x = 11 en la ecuación x - 2 = x - 8 queda 3 = 3 y, por tanto, se tiene que
x = 11 es solución de la ecuación inicial
En conclusión, x = 11 es la única solución de la ecuación
x - 2 = x - 8.
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CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 2. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones
Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal
c) Se elevan al cubo ambos miembros obteniéndose una ecuación polinómica
(
3
)=x
3
2x-1
3
⇔
2x - 1 = x3 ⇔
x3 - 2x + 1 = 0
Para resolver esta ecuación polinómica se aplica la regla de Ruffini para realizar la división del
polinomio del primer término por x-1:
1
1
1
0
-2
1
1
1
-1
1
-1
0
Así, la ecuación se puede escribir de la forma (x - 1) (x2 + x - 1) = 0 y sus soluciones son:
x–1=0⇔x=1
x2 + x - 1 = 0 ⇔ x =
-1 ±
-1 ± 1 + 4
-1 ± 5
12 - 4.1.(-1)
=
=
2
2
2
Como el índice de la raíz de la ecuación inicial es impar, la ecuación polinómica obtenida es
-1 + 5
-1 - 5
yx=
.
equivalente, por tanto, las soluciones de la ecuación son x = 1, x =
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