UNIDAD I. FUNCIONES Y RELACIONES 1.2. Funciones inyectivas

Cálculo diferencial e integral
UNIDAD I. FUNCIONES Y RELACIONES
1.2. Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas
Las funciones pueden clasificarse como inyectivas, suprayectivas y
biyectivas; para entenderlo debemos recordar las definiciones de
domino, imagen, codomino, variable dependiente y variable
independiente, lo haremos con el siguiente ejemplo:
Sea el conjunto A ={1, 2, 3}
Le aplicamos la función: f(x) = x + 1
Se obtienen los primeros tres elementos del conjunto B = {2, 3, 4, 5}
Es decir:
A
f(x) = x +1
B
1
2
3
2
3
4
5
Al conjunto A se llama dominio de la función.
Al conjunto B se llama codominio de la función.
A los elementos de B obtenidos a partir de f(x) A se les llama imagen
o rango (en este ejemplo el codomino y la imagen NO tienen los
mismos elementos).
y = f (x): variable dependiente.
x: variable independiente.
NOTA: La función del ejemplo anterior también lo podemos indicar en
definiendo los conjuntos A y B; y posteriormente definir la función; es
decir:
A = {1, 2, 3}
B = {2, 3, 4, 5}
f = {(1,2), (2,3), (3,4)}
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
Inyectiva. Una función es inyectiva si a cada elemento del rango o
imagen se le asocia con uno y solo un elemento del domino.
Ejemplo 1: Sea A={1,2,3} B={1,2,3}; f: A→B: f={(1,2), (2,1), (3,3)}
Es decir, gráficamente queda:
Nótese que cada elemento del
conjunto B recibe solamente una línea.
ENTONCES ES INYECTIVA.
Ejemplo 2. Sea A={1,2,3} B={1,2,3}; f: A→B: f={(1,2), (2,1), (3,2)}
(solo se cambio el número indicado en
rojo) Gráficamente queda:
Hay un elemento de B (el número 2) que
recibe dos flechas o líneas, por lo tanto
NO ES INYECTIVA.
Ejemplo 3. Para la siguiente función: f(x) = y = x-1
A cada elemento del domino se
le relaciona en la función con
UN elemento de la imagen, por
lo tanto ES INYECTIVA.
NOTA: El domino y la imagen
son todos los reales:
D=ℝ
I=ℝ
1
Cálculo diferencial e integral
Ejemplo 4. Si la función fuera f(x) = x2. Estaríamos graficando una
parábola, como la que se muestra a continuación:
Funciones suprayectivas. Cuando el rango y el codomino son iguales
la función es suprayectiva.
Hay elementos en el domino que
se le asigna el mismo valor de la
imagen; por ejemplo la pareja de
valores P1(2,4) tiene el mismo
valor de la imagen 4; que el
punto P2(-2,4). Por lo tanto la
función NO ES INYECTIVA.
Ejemplo 5: Sean los conjuntos:
A = {1,2,3} y
B = {2,4}
y la función
f = {(1,2), (2,2), (3,4)}
Gráficamente queda:
NOTA: Ahora el domino y la
imagen son diferentes:
D=ℝ
I = [0, +∞)
Al conjunto B = {2,4} se le llama
codominio.
El rango de la función también es I = {2,4}
Como el codominio y el rango son iguales la función es
SUPRAYECTIVA
Ejemplo 6. Sean los mismos
conjuntos anteriores PERO con la
función:
f = {(1,2), (2,2), (3,2)} Gráficamente
queda de la siguiente forma:
El codomino B = {2, 4}
El rango o imagen es: I = {2}
Como el codominio y el rango NO son iguales la función es NO ES
SUPRAYECTIVA
En términos de funciones debe ocuparse todo el eje Y, es decir, la
imagen deben ser todos los reales.
Hacer la pregunta a los estudiantes ¿Qué ocurre con la función y = 1/x?
¿será suprayectiva?
Respuesta oculta: NO LO ES…
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
2
Cálculo diferencial e integral
Funciones Biyectivas. Para que una función sea biyectiva se requiere
que sean al mismo tiempo inyectiva y suprayectiva.
Práctica en clase 1.2.
I.- Para los incisos d), e) y f), indicar si las funciones son inyectivas,
suprayectivas, o biyectivas:
Ejemplo 7. La función f(x)=y = x-1 es al mismo tiempo, inyectiva y
suprayectiva; por lo tanto es biyectiva.
AYUDA EN LÍNEA: Descarga el software GRAPH (si no
lo has hecho) y experimenta las gráficas que has practicado
http://www.padowan.dk/graph/Download.php
Un libro del tema que recomiendo se encuentra en google
books, este es el link directo:
Marco A Flores Meyer (2007); Temas selectos de
matemáticas, Nivel superior y medio superior. Editorial
Progreso. Delegación Cuahutemoc Mexico DF.
II.- Indicar con una X si la función es inyectiva, suprayectiva o
biyectiva, se muestran dos ejemplos:
La función
Inyectiva
Suprayectiva Biyectiva
Ejemplo 1: y= x-1
X
X
X
Ejemplo 2: y = 1/x
X
y = -2x + 1
y= x3 - 2
y= x
Elabore una PRÁCTICA DE EJERCICIOS siguiendo las rubricas
correspondientes: http://marcelrzm.comxa.com/Rubricas/Rubricas.htm
Puede entregar impreso el trabajo o enviar el documento final por
correo
electrónico
a
las
siguientes
direcciones:
marcelrzm@hotmail.com;
marcelrzm@yahoo.com.mx
y
marcelrz2002@yahoo.com.mx
http://books.google.com.mx/books?id=vCMIOfrbYrAC&pg=PA83&dq=Funciones+inyectivas,+suprayectivas+y+biyectivas&ei=AiCHSvDONqbKyQTEhO2fDg#v=onepage&q=&f=false
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
3