IV. Logaritmos: Se llaman l o g a r i t m o de un n ú m e r o al exponente de l a potencia a que es p r e c i s o e l e v a r otro n ú m e r o base p a r a r e p r o d u c i r el n ú m e r o d a d o . llannado • Es Innpor t a n t í s i m o c o m p r e n d e r e s t a definición p a r a a s í o b s e r var la r e l a c i ó n e x i s t e n t e e n t r e la función l o g a r í t m i c a y la función e x p o n e n c i a l . (1) (Base) exponente (2) L„ N ú m e r o 'base Núnnero (Función Exponencial) Exponento (Función l o g a r í t m i c a ) Ejemplo: = 8 Función exponencial = 3 Función l o g a r í t m i c a (se lee l o g a r i t m o en base 2 de 8 es igual a 3 ^2 \ «, Nota: El ejemplo a n t e r i o r es calculadora. may útil m.^ndo •^'e Ejercicios: 1. H a l l a r el valor de x p a r a la e.xprosión log:> v - 8. Como el p r o b l e m a e s t á en función l o g a r í t m i c a lo pagam o s a la función e x p o n e n c i a l . 3 = base 8 = p o t e n c i a * £icpoi\j£-is/Te' X = n ú m e r o o r e s u l t a d o pedido = 2. 6561 H a l l a r el valor de x p a r a la e x p r e s i ó n R/ log9 = 2 Tenemos: f X = base 2 = exponente 9 = resultado P a s a n á o a la f o r m a e x p o n e n c i a l : x + 3 4 3. Hallar el valor de x p a r a ta e x p r e s i ó n (Nota: Igx = 0.5 Cuando la base no se e x p r e s a se supone base 10) Entonces: 10 = base 0.5 = X exponente = resultado 10 0.5 El r e s u l t a d o a n t e r i o r se puede hacer en c a l c u l a d o r a , varias m a n e r a s . Veamos una: 1. Señalar 2. 3. 4- A p r e t a r tecla xV o y^- que Indica "Elevado a" A p r e t a r el exponente 0.5 Signo = (igual) de 10 x = 3.16 Propiedades de los Logaritmos 1« Ig^^^^y = Ig X + 1{ 2. Ig x / y = b 3. l,¡ Igxb a I Igy b IgJ No se deben confundir las e x p r e s i o n e s s i g u i e n t e s , que son d i ferentes : Igx ^b ^g^y ih^ ^g, x / y b Cuando la base es e , el l o g a r i t m o se denom,ina n a t u r a l o n e p e r i a n o y se denota en la siguiente f o r m a : Igx = e Inx = 2 3 Igx 10 Conno puede o b s e r v a r s e el l o g a r i t m o n a t u r a l es un múltiplo del l o g a r i t m o vulgar (base 10). El l o g a r i t m o n a t u r a l , base de muchos problem,as matennáticos de l a s ciencias n a t u r a l e s , s e r á muy usado en Ouímlca I I . Do qué consta el logarltnno de un n ú m e r o : Consta de una parte e n t e r a l l a m a d a c a r a c t e r í s t i c a que puede s e r positiva, negativa ó c e r o , y una p a r t e d e c i m a l que tiene que s e r positiva, denominada m a n t i s a Af O o» < Como conocer la c a r a c t e r í s t i c a 1. SI el núnnero es e n t e r o o e n t e r o con p a r t e d e c i m a l , la c a r a c t e r í s t i c a c o r r e s p o n d e al núnnero de cifras e n t e r a s menos una. Ejemplos: Número N o . de cifras enteras 1500 1500.75 575 5.75 2. 4 4 3 1 No.cifra.<í - 1 Característlca 3 5 -> SI el n ú m e r o es menor que uno , la c a r á c t e r •'stica es n*^gativa y se calcula conno el n ú m e r o de c e r o s Incluyendo el a n t e r i o r a la coma o punto decinnal. Ejemplos: Núnnero . Núnnero de c e r o s Característica 0.5 1 í 0.05 2 2 0.005 3 3 0.0052 3 3 0.00502 3 3 El signo nnenos se coloca e n c i m a del n ú m e r o p a r a Indica.r que solannente él es n e g a t i v o . Como conocer la m a n t i s a . Es la p a r t e decimal que l o c a l i z a mos en la tabla con la ayuda del n ú m e r o ; s i e m p r e es positiva Ejemplo: Número Mantisa ( + ) 2000 200 20 2 0.2 0.02 . . . . , . 30103 30103 30103 30103 30103 30103 1000 100 10 1 . . . . 00000 00000 00000 00000 Nota j_: O b s e r v e que la m a n t i s a es la misnna p a r a un n ú m e r o y sus tnúltiplos o submúltiplos de 10. La única diferencia e s t á en la c a r a c t e r í s t i c a , . No. 2 , No existe l o g a r i t m o s p a r a núnneros n e g a t i v o s . Otros ejemplos: L 2000 = 3,30103 Lg 200 = 2„30103 Lg 20 = 1,30103 L 2 = 0.30103 Lg 0.2 = 1.30103 = - 1 , 0 + 0.30103 = - 0 . 6 9 8 9 7 L„ 0.2 = L„ 2 X 10-1 = L„2 + L „ 1 0 - l = 0.30103 -1 L„10 6 6 6 6 6 = 0,30103 -1 = - 0 . 6 9 8 9 7 Lg 0.002 = 3.30103 = - 3 . 0 + 0.30103 = 2.6987 Lg 0,002 = Lg2 X 10-3 = Lg2 + LglO-3 = 0.30103 -3Lgl0 = 2,69897 Lg (-0.02) r: No e x i s t e . Dado el l o g a r i t m o c a l c u l a r el^ núnnero a_que c o r r e s p o n d e . T,a operación se denomina a n t i l o g a r i t m o ; lo h a c e m o s de dos fornnas: 1, C 3n ayuda de la definición de l o g a r i t m o , haciendo uso de las ecuaciones (1) y (2) y con la ayuda de la c a l c u l a d o r a . 2. Mediante el uso de tablas de l o g a r i t m o s . Ejennplos : 1. lg x = 3 . *. X = 103 = 1000 La base 10 g e n e r a l m e n t e se o m i t e . 2. Igx = -3 = 3. Ig X = -1.70 3.00 . . • . . X = 10-^ = 0.001 X = 10-^-'^" P a s o s a seguir en la c a l c u l a d o r a p a r a e s t e últinno ejennplo: a. b. c. d. Señalar 10 T e c l a x^ o y^ (observando si es n e c e s a r i o h a c e r uso de inverso) Señalar 1.70. Tecla [ + /-} ; no I ~ I Signo Igual. X = 2 . 0 X 10^ R/ SI de lo q u e se dispone es de una tabla t e n d r í a m o s : Igx = -1.70 Como - 1 . 7 0 es un núnnero e n t e r a m e n t e negativo debemos t r a n s f o r m a r l o en un n ú m e r o de m a n t i s a positiva, s u m á n dole + 1 a la p a r t e decinnal y restándole 1 a la p a r t e entera: Igx = - 1 . 0 - 0.70 = ( - 1 . 0 - 1 . 0 ) + (1.0 - 0.70) = (-2) + (+0.30) = 2 . 3 0 ; (0.30 es la nnantisa) N 2000 log (nnantisa . 30 Antilog (log x) = Antilog 2.30 X = Antilog 2.30 x se busca con 0.30 en ia tabla y es el núnnero (N) de la tabla con una cifra e n t e r a , multiplicando por una p o tencia de 10 cuyo exponente s e a Igual a la c a r a c t e r í s t i c a con su r e s p e c t i v o s i g n o . Esto e s : X = 2.0 X 10 -2 4. Cal-ule x si loa.x -• ' 13.95 Aquí no hay p'-oblema de t i g n o s , ya que la p a r t e decimal o m a n t i s a es n o s i t i v a . N I loe 9000 . 95 Pasos a. b. Con 0.95 se lee el núnnero de la tabla con una cifra e n t e r a , es d e c i r , 9 . 0 . Se multiplica este n ú m e r o por una potencia de 10 con un expcnente ipual a la c a r a c t e r í s t i c a : 9.'"^ X lo'^-'^ Entonces: Antilog (Igx) - Antilog 13.95 x ^ n. o V- 10^3 El E j e r c i c i o r e s u e l t o por c a l c u l a d o r a Igx = 13.95 . • . serí.aj X = lo''^-'^'^ = C.9I X lo'-^ = 9.0 X 10^- Pasos; a. Señalar 10 ' . Tecla x^ o yX c. Señalar 13.95 d. Signo Igual o, en o t r a s c a l c u l a d o r a s , a. b. 13.95 Tecla 10'^ (se hace uso de i n v e r s o según la calculador a) Con lo cual l l e g a r í a m o s a la respuest.n. dada inicialmente . F o r m a r á p i d a de t r a n s f o r m a r logaritnnos negativos en l o g a r i t mos de m a n t i s a p o s i t i v a . Consiste en aumentar en una unidad la p a r t e e n t e r a eonser vando el signo inenos; la nueva m a n t i s a (parte decimal) s e r á í Lo Lo Lo Lo que que que que falta falta falta falta para para para para 10, si es h a s t a 100, si es h a s t a 1000, si es h a s t a 10.000, si es h a s t a décimas centésimas nnlléslma.=! dieznnilésimas Ejemplo 1 . 1.7 2.75 - = 2.3 = 3.25 13.756 =14.244 - 200,7323 =201.2677 Ejemplo 2 . Hallar x p a r a la e x p r e s i ó n Lg X = ~ 13.70 Transfornnando el logarltnno . • „ anterior, queda: Lg X = P 4 . í t — Antilog (Lg x) = Antilog 14.30 -l'^ . ' . x = 2 . 0 x 10 X se busca en la tabla con la m a n t i s a . 30. Al n ú m e r o hallado se le coloca una cifra e n t e r a y se nnultlpllca por una potencia de 10 cuyo exponente s e a Igual a la c a r a c t e r í s t i c a , p a r a l l e g a r a la r e s p u e s t a pedida; utilizando la c a l c u l a d o r a es mucho m á s r á p i d o . Los pasos s e r í a n : 1. P a s a m o s de la función l o g a r í t i n l c a a la función cial X = 10-13.70 2. Apretamos 3. Tecla "*• 'O 13.70 | +/,[ ; no T J l (se hace uso de I n v e r s o en c a s o n e c e s a r i o ) Ejemplo 3, Hallar y p a r a la e x p r e s i ó n : Ln y = - 2 , 5 exponen- 10 Lo que equivale a d e c i r : L%y = - 2 . 6 Método p a r a r e s o l v e r este 1, problenna con c a l c u l a d o r a : C o n v e r t i m o s la función l o g a r í t m i c a a la función exponencial. y = e-2«^' 2, Apretamos 3, Tecla 4, Tecla e^ 2,6 [+71 se hace uso de Inverso en c a s o n e c e s a r i o ) , • , y = 0.074 E j e r c i c i o s con logaritinos Efectué las o p e r a c i o n e s I n d i c a d a s . 1, Log x = -2 2, Lg 2»10-'^ = 3. Lg y = 5 y = ? 4„ Lg X + Log 2 = Log 4 X = .•' 5. Log X - Log 2 = Log 4 X = ? 6. Logx Log2 X = ? 7. y =-Log 2 X 10-3 y = ? 8, 5 = - Log k k = ? 9. Logx = -3.35 V = •? 10„ Logk = IL LoggX = 3 = Lnx X = 9 12. Lny = - 3 . 5 ^ 5 X = ? 4.65 > = .'