Repaso de Trigonometría

REPASO DE TRIGONOMETRÍA
Repaso de Trigonometría
Razones trigonométricas en un triángulo:
Las funciones trigonométricas se originaron históricamente como relaciones entre las longitudes de
los lados de un triángulo rectángulo. Denotemos por α el ángulo AOB, a continuación definimos las
funciones trigonométricas seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante del ángulo α:
AB A' B'
=
OB OB'
AB A' B'
tg α =
=
OA OA'
OB OB'
cosecα =
=
AB A' B'
sen α =
OA OA'
=
OB OB'
OA OA'
cotgα =
=
AB A' B'
OB OB'
secα =
=
OA OA'
cos α =
Razones trigonométricas de algunos ángulos:
α
(radianes)
0
π /6
π /4
π /3
π /2
α
sen α
0
(grados)
0
30º
cos α
1
1/ 2
45º
3/2
2/2
3/2
60º
90º
tg α
0
3 /3
2/2
1/ 2
1
0
No existe
1
3
Identidades entre las razones trigonométricas:
1) Identidades recíprocas:
cosecα =
1
sen α
sec α =
1
cos α
cotgα =
1
tg α
2) Identidades tangente y cotangente:
tg α =
sen α
cos α
cotgα =
cos α
sen α
3) Identidades de Pitágoras:
sen 2 α + cos 2 α = 1;
DIIN/MA/PV
1 + tg 2 α = sec 2 α ;
1 + cotg 2α = cosec 2α
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Funciones trigonométricas:
Para definir las razones trigonométricas hemos trabajado sobre triángulos rectángulos, por lo tanto
sobre ángulos agudos (menores de 90º). No obstante, las definiciones anteriores se pueden generalizar
a cualquier ángulo α como sigue:
Elegimos un punto arbitrario P = (x, y) en el plano de
modo que la semirecta OP forme un ángulo α con el eje
de las x, así α queda en posición estandar. Denotemos
por r =
sen α =
x 2 + y 2 la distancia de O a P entonces
y
r
cos α =
x
r
tg α =
y
x
De este modo tenemos definidas las funciones seno, coseno y tangente de cualquier valor real y
usando las identidades trigonométricas recíprocas podemos definir secante, cosecante y cotangente.
Definición de las funciones trigonométricas sobre el círculo unidad:
El punto arbitrario P =(x, y) del plano que hemos utilizado para definir seno, coseno y tangente de
α se puede elegir de modo unívoco si nos restringimos a la circunferencia de radio 1 con centro el
origen O. Además, para cualquier punto de la circunferencia unidad r =
x 2 + y 2 = 1 ; con lo cual,
cuando P pertenece a la circunferencia unidad tenemos
sen α = y
cos α = x
tg α =
y
x
Signo de las funciones trigonométricas:
Observación:
DIIN/MA/PV
sen α = sen(α + 2π ) = sen(α + 4π ) = L = sen(α + 2kπ )
cos α = cos(α + 2π ) = cos(α + 4π ) = L = cos(α + 2kπ )
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Reducción al primer cuadrante:
sen(π − α ) = sen α
cos(π − α ) = − cos α
π
sen( − α ) = cos α
2
π
cos( − α ) = sen α
2
sen(π + α ) = − sen α
sen(2π − α ) = − sen α
cos(π + α ) = − cos α
cos(2π − α ) = cos α
π
3π
sen( + α ) = cos α
sen( − α ) = − cos α
2
2
π
3π
cos( + α ) = − sen α
cos( − α ) = − sen α
2
2
sen(−α ) = − sen α
cos(−α ) = cos α
3π
sen( + α ) = − cos α
2
3π
cos( + α ) = sen α
2
Fórmulas de los ángulos suma, resta, doble y mitad:
sen(α + β ) = sen α cos β + sen β cos α
cos(α + β ) = cos α cos β − sen α sen β
tg α + tg β
tg(α + β ) =
1 − tg α tg β
sen(2α ) = 2 sen α cos α
cos(2α ) = cos 2 α − sen 2 α
tg(2α ) =
2 tg α
1 − tg 2 α
sen(α − β ) = sen α cos β − sen β cos α
cos(α − β ) = cos α cos β + sen α sen β
tg α − tg β
tg(α − β ) =
1 + tg α tg β
α
1 − cos α
=
2
2
α
1 + cos α
cos =
2
2
α
1 − cos α
tg =
2
1 + cos α
sen
Fórmulas del seno y el coseno en función de la tangente del ángulo mitad: Sea t = tg
2t
sen α =
1+ t2
α
2
1− t2
cos α =
1+ t2
Transformación de sumas en productos:
α+β
α−β
cos
2
2
α+β
α −β
cos α + cos β = 2 cos
cos
2
2
sen α + sen β = 2 sen
DIIN/MA/PV
α −β
α+β
cos
2
2
α −β
α+β
cos α − cos β = −2 sen
sen
2
2
sen α − sen β = 2 sen
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REPASO DE TRIGONOMETRÍA
Algunas aplicaciones de la trigonometría
•
Resolución de triángulos: Teoremas del seno y el coseno
Hasta el momento sabemos relacionar mediante las
razones trigonométricas ángulos y lados de un triángulo
rectángulo. Los siguientes teoremas nos proporcionan
relaciones para cualquier triángulo.
Considérese un triángulo de vértices A, B, C y lados
de longitud a, b, c. Denotemos también por A, B y C los
ángulos que corresponden a los vértices A, B y C
respectivamente
Teorema del seno:
a
b
c
=
=
sen A sen B sen C
En todo triángulo las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc ⋅ cos A
2
2
2
Teorema del coseno: b = a + c − 2ac ⋅ cos B
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab ⋅ cos C
Estos teoremas nos servirán para resolver triángulos ( es decir, calcular sus tres ángulos y las
longitudes de sus tres lados). Para ello debemos conocer los valores de tres de estos datos.
Usaremos el teorema del seno cuando conozcamos:
a) dos lados y un ángulo opuesto a ellos
b) dos ángulos y cualquier lado.
Usaremos el teorema del coseno cuando conozcamos: a) dos lados y el ángulo entre ellos
b) tres lados
•
Números complejos: C = {z = x + iy : x, y ∈ R}
Forma trigonométrica de un número complejo z = x + iy :
z = r (cos α + i sen α ) donde r = x 2 + y 2 y tgα =
y
, α ∈ [0,2π )
x
A r se le llama módulo de z y a α argumento de z.
DIIN/MA/PV
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Multiplicación y división en forma trigonométrica:
Sean z1 = r1 (cos α 1 + i sen α 1 ) y z 2 = r2 (cos α 2 + i sen α 2 ), entonces
z1 z 2 = r1 r2 (cos(α 1 + α 2 ) + i sen(α 1 + α 2 ))
z1 r1
= (cos(α 1 − α 2 ) + i sen(α 1 − α 2 )), z 2 ≠ 0
z 2 r2
Potencias de un número complejo:
[r (cosα + i sen α )]n = r n (cos(nα ) + i sen(nα ))
Raíces n-ésimas de un número complejo:
Sea z = r (cos α + i sen α ) un número complejo no nulo, entonces para cualquier entero positivo n, z
n
tiene exactamente n raíces n-ésimas w0 , w1 , K.wn −1 (es decir, wk = z , k = 0,1, K , n − 1 ) y wk se
obtiene como sigue:
α + 2kπ
α + 2kπ
æ
+ i sen
wk = n r ç cos
n
n
è
DIIN/MA/PV
ö
÷, para k = 0,1, K , n − 1
ø
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