Trinomio de la forma

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Trinomio de la forma
Ejemplo
Los trinomios de la forma
,
provienen de la multiplicación de dos
binomios, como se observa en los ejemplos
que siguen:
▶ Factorizar
Solución
Paso 1. Multiplicamos el polinomio por el
coeficiente de , que es 3 de la siguiente
forma
→
Paso 2. Podemos escribir el polinomio de una
manera más conveniente usando:
y
Paso 3. Como no queremos factorizar el
polinomio multiplicado por tres, sino el
original, esta última expresión podemos
dividirla, de forma indicada, entre 3, de la
siguiente manera:
Examinando los productos anteriores, se
deduce que:



El primer término del trinomio es igual
al producto de los primeros términos
de cada factor.
El segundo término es igual a la suma
algebraica de los productos del primer
término de cada binomio por el
segundo término del otro.
El tercer término es igual al producto
de los segundos términos de los
binomios.
Paso 4. Factorizamos el numerador de la
fracción anterior con el método para el
trinomio de la forma
: hallamos
dos números que multiplicados den -6 y
sumados den -5. Estos números son -6 y 1.
Estos trinomios se diferencian de los trinomios
estudiados en el caso anterior, en que el
primer término tiene un coeficiente distinto de
1.
Paso 5. Tomamos el factor común 3 del primer
paréntesis y lo simplificamos con el 3 del
denominador, obteniendo:
Para factorizar esta clase de trinomios,
hacemos transformaciones a los mismos para
reducirlos a expresiones de la forma
; y se factoriza como en la sección
anterior.
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1
Matemáticas grado 8°
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trinomio y cuyo producto sea igual al
tercer término del trinomio.
8. El mayor de los números hallados en
uno de los pasos anteriores será el
segundo término del primer paréntesis,
el menor de los números será el
segundo
término
del
segundo
paréntesis.
9. Si el tercer término es un número muy
grande se descompone en sus factores
primos para facilitar la búsqueda de los
números requeridos en los pasos 6 y 7.
10. Se factorizan los paréntesis que tengan
factor común y se simplifica.
Respuesta
Saberes Matemáticos
A partir de este ejemplo podemos
esquematizar la factorización por medio de los
siguientes pasos:
1. Se multiplica y divide el trinomio por el
coeficiente del primer término, y se
escribe el trinomio de la forma
Nota: Siempre
denominador.
2. Se abren dos paréntesis, en cada uno
de los cuales se escribiré un binomio.
3. Se saca la raíz cuadrada del primer
término del trinomio, esta raíz será el
primer término de cada uno de los
paréntesis.
4. El signo que separe al binomio del
primer paréntesis será el segundo signo
del trinomio.
5. Se aplica la "ley de los signos" al
producto de los signos del segundo y
tercer términos del trinomio; éste será
el signo que separe el binomio del
segundo paréntesis.
6. Si los signos son iguales, se buscan dos
números cuya suma sea igual al
coeficiente del segundo término del
trinomio y cuyo producto sea igual al
tercer término del trinomio.
7. Si los signos son diferentes, se buscan
dos números cuya diferencia sea igual
al coeficiente del segundo término del
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es
posible
eliminar
el
Ejemplo
▶ Factorizar
Solución
Paso 1. Multiplicamos y dividimos el polinomio
entre 4, que es el coeficiente de ;
Paso 2. Factorizamos respecto a , buscando
dos números que sumados den 1 y
multiplicados den
. Dichos números son
y
. Después de factorizar tomamos el
factor común de los paréntesis y simplificamos:
2
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Respuesta
Hay un método directo para factorizar
trinomios de la forma ax²+bx-c, y es hallando
las soluciones de la ecuación ax²+bx-c=0 por
medio de la fórmula cuadrática, cuya
deducción se logra completando el cuadrado.
Hay un caso especial para el trinomio ax²+bx+c,
y consiste en la amplificación del exponente
por un entero n, de tal manera que el trinomio
queda ax²ⁿ+bxⁿ+c. Como en el caso anterior, a
este binomio se le llama bicuadrático.
√
Ejemplo
▶ Factorizar
Ejemplo
Solución
▶ Factorizar
Paso 1. Multiplicamos y dividimos por 6
Solución
Paso 1. Identificamos
,
, y
, valores que reemplazamos en la
fórmula cuadrática:
√
Paso 2. Factorizamos el numerador de la
fracción buscando dos números que sumados
den 5 y multiplicados den -36. Dichos números
son 9 y -4:
√
√
Paso 2. Simplificamos
Paso 3. Como podemos observar, a ninguno de
los dos binomios se le puede extraer un 6
como factor común, pero del primer binomio
sale 3 factor común, y del segundo sale 2,
valores que multiplicados dan 6:
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√
√
Paso 3. El símbolo ± indica que obtenemos dos
resultados, los cuales corresponden a los dos
números que van en los paréntesis
3
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Respuesta
Para que la solución
multiplicamos por
y obtenemos:
Paso 4. Se arma la solución con los valores
hallados en el paso anterior teniendo en
cuenta que estos son valores para los cuales el
valor numérico del trinomio es cero:
(
)(
(
sea correcta,
a los paréntesis
)(
)
)
Practico
1. Factoriza los siguientes trinomios:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
2. Deduce la fórmula cuadrática completando el cuadrado en
pasos:
, para ello sigue estos
√
a.
b.
c.
d.
e.
Planteo la ecuación
Multiplica cada término por
Suma a ambos lados de la ecuación la cantidad
Pasa
al segundo miembro.
Encontrarás en el primer miembro una expresión de trinomio cuadrado perfecto, la cual debes
factorizar.
f. Extrae la raíz cuadrada a los dos miembros. Ten en cuenta que las raíces cuadradas tienen
doble signo
.
g. Pasa la que está positiva en el primer miembro, a negativa en el segundo y por último
despeja .
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