Daniel Lasaosa Medarde

PROBLEMA 240 (propuesto por Marcel Chiritza, Bucarest, Rumanı́a
a) Demostrar que no existen enteros x, y, z tales que
(x − y)5 + (y − z)5 + (z − x)5 = 200.
b) Demostrar que existen infinitos enteros x, y, z tales que
(x − y)5 + (y − z)5 + (z − x)5 = 210.
Solución por Daniel Lasaosa Medarde, Universidad Pública de Navarra,
Pamplona, España
Utilizamos en la solución la siguiente
Proposición: La ecuación
(x − y)5 + (y − z)5 + (z − x)5 = K,
con K entero, tiene infinitas soluciones enteras si y sólo si existen enteros u, v, w
tales que u + v + w = 0 y u5 + v 5 + w5 = K. No existen enteros u, v, w tales que
u + v + w = 0 y u5 + v 5 + w5 = K, si y sólo si no existe ninguna solución a la
ecuación dada.
Demostración: Si existen enteros u + v + w = 0 con u5 + v 5 + w5 = K, nos basta
tomar x = z − w e y = z + v para cualquier entero z, con lo que x − y = −v − w = u,
generándose ası́ infinitas soluciones enteras de
(x − y)5 + (y − z)5 + (z − x)5 = K.
Recı́procamente, si existe al menos una solución a la anterior ecuación, podemos
tomar u = x − y, v = y − z, w = z − x, con lo que existen tales u, v, w, y por ende
infinitas soluciones a la ecuación. Caso de que no suceda una de estas dos cosas
equivalentes, no puede entonces haber ninguna solución a la ecuación, ni puede
haber tales u, v, w.
a) Por la Proposición, nos basta con demostrar que no existen enteros u, v, w
tales que u + v + w = 0 y u5 + v 5 + w5 = 200. Supongamos que sı́ existieran, con lo
que asumiendo sin pérdida de generalidad que u, v bien tienen el mismo signo bien
al menos uno de ellos es nulo, y al ser w = −(u + v), se tendrı́a
−200 = (u + v)5 − u5 − v 5 = 5uv(u + v)(u2 + uv + v 2 ).
Ahora bien, claramente uv 6= 0 para que esto sea posible, con lo que ninguno de
ellos es nulo y ambos tienen el mismo signo, luego uv, u2 + uv + v 2 son positivos,
u + v ha de ser negativo, y u, v han de ser ambos negativos. Como al mismo tiempo
u2 + v 2 ≥ 2uv es equivalente a (u − v)2 ≥ 0 y por lo tanto claramente cierto, se
tiene que
40 ≥ 3u2 v 2 |u + v|,
de donde al ser |u + v| ≥ 2, tenemos que u2 v 2 ≤ 20
3 < 7, es decir uv ≤ 2, luego u, v,
bien ambos son −1, bien uno es −1 y el otro −2. Sustituyendo, observamos que
ninguno de los dos casos satisface la relación necesaria, con lo que no existen tales
u, v, w, y no existe ninguna solución a la ecuación propuesta.
b) Por procedimiento análogo al anterior, llegamos de forma similar a que u, v
han de cumplir la relación
uv(u + v)(u2 + uv + v 2 ) = −42,
1
y que bien ambos son −1 (que no satisface la relación), bien uno es −1 y el otro
−2 (que sı́ la satisface). Dejando entonces que z tome cualquier valor entero n,
tenemos que existen infinitas soluciones, y que además todas ellas son
(x, y, z) = (n, n + 1, n + 3),
(x, y, z) = (n, n + 2, n + 3),
o una de sus permutaciones cı́clicas, y donde n puede tomar cualquier valor entero,
siendo entonces x − y, y − z, z − x una permutación de −1, −2, 3, y siendo
(−1)5 + (−2)5 + 35 = −1 − 32 + 243 = 210
para todas estas infinitas ternas.