Matemáticas Propedéutico para Bachillerato Introducción

Universidad Tec Milenio: Preparatoria
Matemáticas Propedéutico para Bachillerato
Matemáticas Propedéutico para Bachillerato
Actividad 11. Expresiones y operaciones
algebraicas.
Introducción
¿Qué es el lenguaje algebraico? Así como
aprendimos a estructurar letras, sílabas,
palabras, oraciones … para expresarnos,
en las matemáticas también se emplea un
lenguaje, y a diferencia de la Aritmética, aquí emplearemos
no solamente números, sino letras también. Vamos a
aprender la correcta interpretación de éstas expresiones.
El Álgebra es un lenguaje universal, será entendido por
una persona que hable español, inglés, coreano, alemán
etc.
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Matemáticas Propedéutico para Bachillerato
Introducción
Imagina que estás ahorrando para comprar
un celular y tu papá te dice: “Está bien, ¡yo te ayudo!
De lo que tú ahorres yo te doy otro tanto ¿cómo
expresaríamos esta operación? Como todavía no sabes
cuánto vas a lograr ahorrar, a esta cantidad le vamos
asignar una letra que llamaremos “x”, por lo que la operación
que representa lo que vas a tener para comprar tu celular
es:
xx 2x
En esta actividad vamos a ver cómo obtener este tipo de
expresiones. Es un concepto que verás en todos tus cursos
de matemáticas, por eso es tan importante que te apliques y
lo comprendas.
Objetivos
Al terminar la actividad serás capaz de:
• Determinar los componentes de las expresiones
algebraicas.
• Determinar el lenguaje algebraico a partir del lenguaje
ordinario.
• Calcular sumas y restas de expresiones algebraicas.
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Término algebraico
Antes de empezar a traducir el lenguaje ordinario a
lenguaje algebraico, vamos a definir algunos conceptos.
El siguiente es un término algebraico (es una expresión
que consta de uno o varios símbolos no separados entre sí
por el signo de (+) o de menos (-).
5x 2
Este término tiene varios símbolos que a continuación
identificaremos y explicaremos.
Término algebraico
Vamos a identificar los componentes del término algebraico.
Variable
Exponente
Coeficiente
5x
2
Variable: Es una letra (generalmente tomamos las últimas
letras del abecedario) y representa una cantidad
desconocida.
Coeficiente: Es el número antes de la variable.
Exponente: Es el número pequeño colocado arriba y a la
derecha de un número o una variable.
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Término algebraico
Ahora vamos a definir otros conceptos:
5x 2  8x  4
Constante o término
independiente
Constante o término independiente: Es un término que
consta de sólo un número sin ninguna variable que lo
acompañe.
Grado de la expresión: Este puede ser con respecto a una
variable o toda la expresión. En esta actividad sólo
trabajaremos con una sola variable, por lo que el grado de
la expresión es el exponente mayor que exista en toda la
expresión.
Términos algebraico
Ejemplo:
5x 2  8x  4
Cantidad de términos: 3 (a cada término lo separa el signo
de (+) o de (-)).
Coeficiente: 5 (en el 1er. término) y 8 (en el 2° término).
Variable: “x” (en el 1er. y 2° término).
Exponentes: “2” (en el 1er. término) y “1” (en el 2° término,
observa que cuando una variable no tiene exponente se
asume que el valor es 1 pero no se escribe).
Constante: -4 (también se le llama término independiente).
Grado de la expresión: De grado 2 (se lee “segundo grado”).
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Términos semejantes
¿Qué es un término semejante?
Vamos a plantear el siguiente caso, mi mamá fue al súper y
compró 5 manzanas, 8 plátanos, 6 ciruelas y 2 melones,
pero no se acordaba que en la casa ya había fruta y era la
siguiente 2 manzanas, 1 plátano, 1 melón y 1 papaya.
¿Cuánta fruta tenemos ahora en la casa?
Compró
Ya había
Total
Manzana
5
2
7
Plátano
8
1
9
Ciruelas
6
Melones
2
Papaya
6
1
3
1
1
Términos semejantes
Observa que sólo se pueden sumar entre la fruta que es
similar, lo mismo ocurre con los términos, sólo los que son
similares se pueden sumar o restar.
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Clasificación de las expresiones algebraicas
Dependiendo del número de términos es que se pueden
clasificar las expresiones algebraicas.
Si constan de un solo término se les llama monomios.
2 x,
y,
3x
4
Si consta de dos monomios que no son semejantes se les
llama binomios.
x
2 x 2  5 x,
y  2 x,
6
4
Clasificación de las expresiones algebraicas
Si son tres los términos no semejantes que están unidos
por sumas y restas se les llama trinomios.
2 x 2  5 x  4,
y  2x  6z
Cuando se tienen 4 o más monomios no semejantes
sumándose o restándose entre sí se llaman polinomios.
5x3  2 x 2  5x  4
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Suma y resta de términos semejantes
Ahora vamos a ver algunas reglas de las expresiones
algebraicas.
Sumas y Restas:
Se pueden sumar y restar términos semejantes. Los
términos semejantes son aquellos términos que sólo
difieren por su coeficiente.
Ejemplo 1: 3 x  2 x  5 x
El resultado es un monomio.
Por lo que tomo los coeficientes y realizo las operaciones
entre ellos.
Ejemplo 2: 4 x 2  7 x 2  3 x 2
El resultado es un monomio.
Suma y resta de términos semejantes
Ejemplo 3: 2 x 2  4 x  2  5 x  6 x 2  1
Observa que aquí tenemos términos diferentes, algunos
son semejantes entre sí, vamos a ordenarlos.
2 x 2  6 x 2  4 x  5x  2  1
Ahora sólo se pueden sumar
semejantes.
Términos con x2
Términos con x
Términos sin x (constantes)
o restar entre términos
2
2
2
 2 x  6 x  4 x
  4 x  5x  9 x
  2 1 3
Por lo que la operación nos queda:
El resultado es un trinomio.
 4x2  9x  3
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Suma y resta de expresiones algebraicas
Ejemplo 4: 3 x 2
6
 5 x  7  (4 x 2 
2x 1
 )
3 8
Observa que antes de empezar a sumar o restar términos
semejantes primero debo, si es posible, simplificar la
ecuación (primer término) y quitar los paréntesis haciendo
uso de la regla de signos, por lo que la expresión queda:
x2
2x 1
 5x  7  4x2 

2
3 8
Otra observación IMPORTANTE Los coeficientes
fraccionarios pueden ser escritos de dos formas, por
ejemplo el primer término y el quinto término.
x2 1 2
 x
2 2
2x 2
 x
3 3
Suma y resta de expresiones algebraicas
Por lo que mi expresión queda de la siguiente forma:
1 2
2
1
x  5x  7  4x2  x 
2
3
8
Ahora si estamos listos para sumar o restar términos
1 2
1 4 1 8
7
semejantes:
x  4x2   

Términos con x2
2
Términos con x
 5x 
Términos independientes
2
1
2
2
2
5 2  15  2
13

x  
3
1 3
3
3
1 7 1 56  1 57
7   

8 1 8
8
8
Por lo que nuestra expresión queda:

7 2 13
57
x  x
2
3
8
8
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Términos semejantes
Determina el perímetro del siguiente triángulo cuyos lados
están representados por las siguientes rectas:
B
4
2
x
3
3

5
x  16
2
A

x 11

5 5
Recta AB 
4
2
x
3
3
Recta BC 

5
x  16
2
Recta AC 

x 11

5 5
C
Términos semejantes
Al pedirme el perímetro, quiere decir que es la suma de sus
lados, por lo que sumo los términos semejantes de las 3
rectas.
Coeficientes con término “x”
4 5 1 40  75  6
41
  

3 2 5
30
30
Términos independientes
2 16 11 10  240  33 283
  

3 1 5
15
15
Por lo que el perímetro es un binomio:
P
41
283
x
30
15
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Lenguaje ordinario a lenguaje algebraico
Ahora vamos a conocer algunas palabras claves que se
emplean para traducir ambos lenguajes. La palabra clave
me indica qué operación es la que debemos emplear.
Suma
Resta
Multiplicación
División
La suma de
La diferencia
Producto
Cociente
Más
Menos que
Multiplicado
por
Dividido entre
Más que
Menor que
De
Relación
Aumentado en Restado a
Por
Mitad
Sumando a
El doble
Tercera parte
Disminuido a
De lenguaje ordinario a lenguaje algebraico
Vamos a ver como pasar de un lenguaje a otro:
Recuerda que la incógnita (el dato que necesitamos
encontrar) lo representamos con las últimas letras del
abecedario, en este caso vamos a usar la letra “x” o “y”.
Lenguaje ordinario
Lenguaje algebraico
Un número
x
El doble de un número
x  x  2x
x y
La diferencia entre 2 números
La cuarta parte de un número
x
*El triple de la suma de 2 números
3( x  y )
x( x  y )
*El producto entre un número y la
diferencia de ese número y otro
4
*Observa el uso de los paréntesis.
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De lenguaje ordinario a lenguaje algebraico
Continuando con los ejemplos:
Lenguaje ordinario
Dos números
suma sea 17
consecutivos
Lenguaje algebraico
cuya
La diferencia entre un número y la
cuarta parte de otro.
Un número menor* que cinco
x  ( x  1)  17
x
5 x
y
4
Cinco unidades menos* que un
número
x5
Cuatro unidades menor que el doble
del número
2x  4
*Observa cómo las palabras cambian el significado de la expresión.
Expresiones ordinarias a expresiones
algebraicas
Muy bien, ya identificamos que el lenguaje algebraico
emplea signos que me ayudarán a plantear un problema
real en un modelo matemático.
Imagina que un amigo tuyo quiere ver qué tan bueno eres
analizando acertijos y te plantea el siguiente:
La suma de edades de mi hermano y yo es de 30 años y el
triple de la edad de mi hermano es el doble de mi edad.
¿Cuántos años tengo y cuántos años tiene mi hermano?
Tal vez tu primera intención es querer hacerlo a tanteo a
prueba y error, ya que es un problema sencillo, pero si
empleas un modelo matemático llegarás a una solución
correcta, y para eso nos va a ayudar el álgebra.
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Expresiones ordinarias a expresiones
algebraicas
En esta actividad sólo estudiaremos el planteamiento de
estas expresiones algebraicas.
Por lo que vamos a estudiar la expresión ordinaria:
a) La suma de edades de mi hermano y yo es de 30 años.
Comenzamos por asignar nombre a los datos que nos dan;
Mi edad

“x”
La edad de mi hermano 
“y”
x + y = 30
Expresiones ordinarias a expresiones
algebraicas
b) El triple de la edad de mi hermano es el doble de mi
edad:
3y = 2x
¿Quieres saber cómo se resuelve? Pon todo en términos
de una sola variable. Inténtalo, ¿cuál es el resultado?
Mi hermano tiene 18 y yo tengo 12.
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Bibliografía
Gustafsonm, David. Álgebra Intermedia. México:
International Thomson Editores, 2004. (ISBN 968-7529-075).
Créditos
Diseño de contenido:
Ing. Raquel Ramírez Peláez
Coordinador de área:
Lic. José de Jesús Romero Álvarez, MC y MED
Edición de contenido:
Lic. Miriam Gómez Moore, MED
Edición de texto:
Lic. Alejandra Zaragoza Scherman
Diseño Gráfico:
Miguel Angel Reynosa Castro, MANM
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