Universidad Tec Milenio: Preparatoria Matemáticas Propedéutico para Bachillerato Matemáticas Propedéutico para Bachillerato Actividad 14. Ley de exponentes (división). Introducción Ya aprendiste la multiplicación de expresiones algebraicas, es importante que ahora aprendamos la operación inversa de esta operación, ¿cuál es? La división. Al igual que en la Aritmética el concepto de división es el mismo sólo que ahora empleamos números y letras. Imagina que ahora te dan un modelo matemático que representa el área de un terreno rectangular donde la base es conocida y te preguntan ¿cuánto mide la altura? A 6 x 2 12 x b 3x h h? 3x 1 Universidad Tec Milenio: Preparatoria Matemáticas Propedéutico para Bachillerato Introducción Para poder contestar la pregunta requerimos de hacer una división de polinomios, ya que se requiere encontrar el valor de la altura. Despejamos la incógnita h=? h Sustituimos los valores. A b 6 x 2 12 x h 3x Y al final de la actividad podrás obtener la respuesta. Objetivos Al terminar la actividad serás capaz de: • Determinar el uso de la división de potencias en los números reales. • Determinar la división entre expresiones algebraicas. • Calcular la evaluación de una expresión algebraica. 2 Universidad Tec Milenio: Preparatoria Matemáticas Propedéutico para Bachillerato División de potencias Antes de estudiar las divisiones de expresiones algebraicas, vamos a estudiar qué pasa con la división de las potencias con números reales por lo que tenemos el siguiente ejemplo. 25 2 2 2 2 2 23 222 22 4 Por lo que podemos concluir que Al dividir dos cantidades teniendo la misma base sus exponentes se restan. 25 2 53 2 2 4 23 ¿Qué pasa cuando divido dos cantidades iguales? 5 1 5 Todos sabemos que al dividir una cantidad entre sí misma el resultado es 1. Exponente cero Pero ahora vamos a ver y a deducir otra regla importante de exponentes. Volvamos a nuestro ejemplo anterior. 5 51 1 511 50 1 5 5 Recuerda que si no se pone exponente a un número o a una variable se asume que lleva un uno, pero no se escribe. Por lo que deducimos que: Cualquier cantidad elevada a la potencia cero es 1. 49 49 9 4 0 1 9 4 a8 a 8 8 a 0 1 8 a 3 Universidad Tec Milenio: Preparatoria Matemáticas Propedéutico para Bachillerato Exponentes negativos En ocasiones al realizar la división el exponente resultante es un valor negativo. a3 a 3 5 a 2 5 a a3 aaa 1 1 2 5 a aaaaa aa a a 2 Por lo que podemos expresar: a n 1 a2 1 an División de potencias Vamos a ver algunos ejemplos de lo que hemos aprendido: Expresión a8 a2 8a 3 b 4 2a 2 b a6 4ab 3 3ab 3 9a 2b 3 ( 2 a 4 b 3 ) 3 16a 2b 3a 5 7 6b Simplificada 1 1 a 1 3 3a 8a12b 9 a10b8 2 16a 2b 0 1 4 Universidad Tec Milenio: Preparatoria Matemáticas Propedéutico para Bachillerato División de expresiones algebraicas Ahora sí vamos a realizar divisiones con expresiones algebraicas. En esta actividad sólo veremos las divisiones de polinomios entre monomios, en cursos más avanzados verás la división de polinomio entre otro polinomio. Recuerdas el ejemplo de la introducción, vamos a retomarlo: 2 Se tiene un terreno rectangular cuya área es A 6 x 12 x Si su base es 3x, ¿cuál será su altura? Primero debemos recordar que la fórmula que involucra los datos conocidos y la incógnita es el área de un Incógnita rectángulo. A bh División de expresiones algebraicas A b 2 6 x 12 x h 3x Despejamos la incógnita: h Sustituimos los datos: Observa que en el denominador tengo un monomio, por lo cual puedo separar los términos de la división, si fuera un binomio o más términos en el denominador NO se podría realizar la separación. 2 h 6 x 12 x 2x 4 3x 3x Por lo que podemos concluir que el terreno tiene las siguientes dimensiones: 2x 4 3x 5 Universidad Tec Milenio: Preparatoria Matemáticas Propedéutico para Bachillerato Evaluación de valores con expresiones algebraicas Evaluar una expresión algebraica, significa que las variables tomen cierto valor numérico. Observa el siguiente ejemplo: Evalúa la expresión 3 x 2 4 x para cuando x = 0, ó x=2 ó x=-2 Por lo que tendremos las siguientes operaciones: Para x = 0 3(0) 2 4(0) 0 0 0 Para x = 2 3(2) 2 4(2) 12 8 4 Para x = -2 3(2) 2 4(2) 12 8 20 Evaluación de expresiones algebraicas ¿Cuál es la interpretación el que una variable tome diferentes valores? Suponte que requieres tomar un taxi y el chofer te dice que te cobra $11.00 por el banderazo y $8.00 por km que avance y tú te preguntas ¿cuánto pagaré si recorro 12 km o si son 15 km? Pues primero debes plantear tu modelo matemático y después evaluarlo para las diferentes variable. 6 Universidad Tec Milenio: Preparatoria Matemáticas Propedéutico para Bachillerato Evaluación de expresiones algebraicas costo costo final costo inicial km avanzado km Vamos a asignarle nombres: cos to km C f Costo final C1 Co Costo inicial x km avanzado Por lo que nuestro modelo matemático queda: C f Co C1 x Evaluación de expresiones algebraicas Observa bien los datos que nos dieron y la incógnita ¿cuáles son coeficientes? ¿cuáles son constantes? ¿cuál es la variable? Variable C f Co C1 x Constante Sustituimos los valores conocidos variable Coeficiente C f 11 8 x Si x = 12 km entonces C f 11 8(12) $107 Si x = 15 km entonces C f 11 8(15) $131 7 Universidad Tec Milenio: Preparatoria Matemáticas Propedéutico para Bachillerato Bibliografía Zamora Muñóz, Salvador, Gerardo Vázquez Monroy y Lorenzo Sánchez Álvarez. Matemáticas 1 Álgebra Bachillerato. México: ST Editorial, 2007. (ISBN 970 9807 36 6). Créditos Diseño de contenido: Ing. Raquel Ramírez Peláez Coordinador de área: Lic. José de Jesús Romero Álvarez, MC y MED Edición de contenido: Lic. Miriam Gómez Moore, MED Edición de texto: Lic. Alejandra Zaragoza Scherman Diseño Gráfico: Miguel Angel Reynosa Castro, MANM 8