Tema 5 Optimización dinámica: el modelo de Ramsey-CassKoopmans 5.1 La teoría del control óptimo. 5.2 Diferentes escenarios: mercado, familias productoras, planificador. 5.3 La dinámica de transición. 5.4 Convergencia entre países Bibliografía: Sala i Martin 3 y apéndice matem. Crecimiento Económico Segundo ciclo de la Licenciatura de Economía Prof. Julio López Díaz 5.1 La teoría del Control Óptimo Supuestos Consumo y ahorro: resultado de un comportamiento óptimo. Problema estándar El agente económico quiere controlar una serie de variables: variables de control. El agente económico quiere maximizar una función objetivo (de utilidad, beneficio, etc.) sujeto a determinadas restricciones. Las restricciones son dinámicas, y explican la evolución de las variables de estado, las cuales describen el estado de la economía. Ejemplo: T max V (0) = ∫ u (ct , k t , t )dt 0 [1] sujeto a: kt = f (k t , c t , t ) [2] k0 [3] kT e V(0) dada − rT ≥0 [4] función objetivo Es la suma (o integral) de las funciones objetivo instantáneas u(.), las cuales dependen a su vez de las variables de control, de estado, y del tiempo. 0 momento inicial T momento final (finito o infinito) kt variable de estado ct variable de control [2] ecuación de transición o de movimiento Representa como la variable de control afecta la evolución de la variable de estado. [3] condición inicial Expresa que la variable de estado tiene un valor inicial dado, consecuencia de decisiones pasadas. [4] condición terminal T finito: kT no negativo. T infinito: Evita esquemas de Ponzi 1 Crecimiento Económico Segundo ciclo de la Licenciatura de Economía Prof. Julio López Díaz 5.2 Diferentes escenarios: mercado, familias productoras, planificador. A. EL MODELO DE MERCADO Supuestos de comportamiento Familias: Determinan óptimamente consumo y ahorro. Propietarias factores productivos y de activos financieros Empresas: Alquilan trabajo y capital Venden su producto. 3 mercados: Capital, trabajo y producto Familias Preferencias ∞ U (0) = ∫ e −ρ t 0 ∞ =∫ e u (ct ) Lt dt = ∫ e 0 −( ρ − n ) t 0 ∞ −ρ t ct1−θ − 1 Lt dt 1−θ ct1−θ − 1 dt 1−θ [5] Suma descontada de funciones instantáneas de utilidad. Horizonte temporal: infinito. Tasa de descuento: egoísmo paterno. Concavidad función instantánea de utilidad. Restricción presupuestaria Poseen activos financieros Bt → Prestan, r B ingresos → Piden prestado, r B pagos Poseen trabajo Lt → Reciben salario w L Destino renta total → Consumir o adquirir más activos. bt = wt + rt bt − ct − nbt [6] Comportamiento familias Maximizar [1] s. a. [2] Hamiltoniano H =e −( ρ − n ) t ct1−θ − 1 + λt ( wt + (rt − n)bt − ct ) 1−θ 2 [7] Crecimiento Económico Segundo ciclo de la Licenciatura de Economía Prof. Julio López Díaz λ: Precio implícito de los activos financieros. Condiciones de primer orden Hc = 0 → e − ( ρ −n ) t ct−θ = λt [8] → λt (rt − n) = −λCt H b = −λCt [9] Condición de transversalidad lim λt bt = 0 t →∞ Interpretación: [10] Un comportamiento óptimo no permite dejar, al final, nada de valor. Tasa crecimiento del consumo [4] y [5] → γ c ≡ cDt 1 = (rt − ρ ) ct θ [11] Ecuación de Euler. Interpretación. Valor mg consumo = Valor mg. inversión θ ct + ρ = rt ct [12] Empresas Alquilan trabajo al salario w y capital a la tasa R. Nota: Se cumple la paridad de rentabilidades R - δ = r Venden su producto a precio 1. Son competitivas. Utilizan tecnología neoclásica: función de producción F(K,L) con: - Rendimientos constantes de escala. - Rendimientos factoriales decrecientes. - Condiciones de Inada. Objetivo: maximización de los beneficios Π = F ( K t , Lt ) − (rt + δ ) K t − wt Lt - En términos per capita π = f (kt ) − (rt + δ )kt − wt - [13] Condiciones maximización del beneficio: 3 [14] Crecimiento Económico Segundo ciclo de la Licenciatura de Economía Prof. Julio López Díaz f ' (kt ) = (rt + δ ) wt = f (kt ) − f ' (kt )kt [15] [16] Equilibrio Existe equilibrio en los mercados de trabajo, capital y producto. También en el mercado financiero. - No existe ni sector público ni sector exterior. - Lo que los individuos prestan y piden prestado debe coincidir. - El tipo de interés se ajusta hasta que b = k. Si b = k, a partir de [2], [11] y [12]: kDt = f (k t ) − ct − (n + δ )k t Sustituyendo en las FOC y en la condición de transversalidad, se obtiene: γc ≡ cCt 1 = ( f ' (kt ) − (δ + ρ )) ct θ [18] lim λt kt = 0 [19] yt = f (kt ) = Aktα [20] 1 (αAktα −1 − (δ + ρ )) θ [21] kt = Ak tα − ct − (n + δ )k t [22] t →∞ [17] Función Cobb-Douglas: γc = Estado estacionario El modelo queda determinado por: ct 1 = (αAktα −1 − (δ + ρ )) ct θ kt = Ak tα − ct − (n + δ )k t lim λt kt = 0 t →∞ En estado estacionario, las tasas de crecimiento de las variables per capita son cero. 4 Crecimiento Económico Segundo ciclo de la Licenciatura de Economía Prof. Julio López Díaz γ c* = γ k* = 0 [23] En este caso, los valores del capital y del consumo son: 1 /(1−α ) αA k = ( δ ρ ) + * [24] α c * = Ak * − (n + δ )k * [25] B. EL MODELO DE FAMILIAS-PRODUCTORAS (ROBINSON CRUSOE) Supuestos Familias: Determinan óptimamente consumo y ahorro. Se dedican a la producción de bienes. Economía Cerrada (ahorro e inversión coinciden) Ahorro es igual a producción menos consumo La inversión bruta es igual a la inversión neta más la depreciación Comportamiento Preferencias ∞ U (0) = ∫ e −( ρ − n ) t 0 ct1−θ − 1 dt 1−θ [26] Restricción presupuestaria kt = f (k t ) − ct − (δ + n)k t [27] Hamiltoniano H =e −( ρ − n ) t ct1−θ − 1 + λt ( f (kt ) − ct − (δ + n)kt ) 1−θ Condiciones de primer orden Hc = 0 → e − ( ρ −n ) t ct−θ = λt [29] H b = −λCt → λt ( f ' (kt ) − δ − n) = −λCt [30] Condición de transversalidad lim λt k t = 0 t →∞ [28] Tasa crecimiento del consumo 5 [31] Crecimiento Económico Segundo ciclo de la Licenciatura de Economía Prof. Julio López Díaz γc ≡ ct 1 = ( f ' (k t ) − δ − ρ ) ct θ [32] Esta condición, junto con [27] y la condición de transversalidad [31], determinan la dinámica del capital y del consumo del modelo. Estas tres condiciones son idénticas a las del escenario de mercado. C, EL ESCENARIO DEL PLANIFICADOR ¿Qué es el planificador? Es un “mecanismo” que para una economía adopta siempre las decisiones correctas. ¿Para qué sirve? Para definir lo óptimo y bueno, y poder comparar así si los mercados adoptan la decisión óptima, o no. Propiedades Tendrá el mismo objetivo que los individuos (maximiza la misma función de utilidad). Tendrá como única restricción la restricción física que dice que todo el producto utilizado (para consumo, inversión, etc.) debe ser producido por la propia economía. Tendrá en cuenta todos los mecanismos, todas las externalidades y toda la información que existe en la economía a la hora de tomar sus decisiones. Solución Coincide con la del escenario de familias productoras. Cuestiones 5.2.1 Demuestra que la solución del planificador coincide con la solución de las familias productoras. Justifica el porqué. 5.2.2 Determina la expresión de la tasa de crecimiento del consumo bajo los tres escenarios existentes suponiendo que la función instantánea de utilidad es de la forma Ln ct , y al función de producción adopta la siguiente especificación: Yt = AK tα Lβt 6 Crecimiento Económico Segundo ciclo de la Licenciatura de Economía Prof. Julio López Díaz 5.3 Dinámica de transición y la forma de la trayectoria estable La dinámica de transición puede analizarse mediante un diagrama de fases. Pasos para la construcción de un diagrama de fases Construcción de la curva de valores de c y k para los cuales el aumento de capital es cero, en un gráfico que relaciona capital y consumo. Análisis dinámica del capital asociado a: kt = Ak tα − ct − (n + δ )k t Construcción de la curva de valores de c y k para los cuales el aumento del consumo es cero, en un gráfico que relaciona capital y consumo. Análisis dinámica del consumo asociado a: ct = ct 1 (αAk tα −1 − (δ + ρ )) θ Análisis de los tres estados estacionarios, con tres estabilidades: - Inestable. - Estable. - Punto de silla. Análisis de la dinámica de transición Existen cuatro regiones diferentes, cada una con su dinámica propia. Influencia de θ. 5.4 Convergencia entre países Al igual que el modelo de Solow y Swan, el modelo de Cass y Koopmans predice convergencia absoluta –o condicional- entre los países. 7