Continuidad. Derivabilidad

Continuidad. Derivabilidad.
CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD
1.- CONTINUIDAD
1.1 FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO
Decimos que f es continua en a si:
Lim f ( x) = f (a)
x →a
Para que una función sea continua en un punto se ha de cumplir:
1º ∃f (a )
a ∈ Df
2º ∃ Lim f ( x ) (los límites laterales tienen que ser iguales, pero no ∞)
x →a
3º Lim f ( x ) = f (a )
x →a
a
Discontinuidad evitable
a ∉ Df
a
Discontinuidad de salto infinito
lim f ( x) = ∞
x→a
a
Discontinuidad evitable
punto desplazado
a
Discontinuidad de salto finito
No ∃ lim f ( x)
x→a
1.2 FUNCIÓN CONTINUA EN UN INTERVALO
Una función es continua en un intervalo abierto, si lo es en todos los puntos de ese
intervalo
Una función es continua en el intervalo [a,b], si lo es en (a,b), en a por la derecha y
en b por la izquierda
• Cualquier función (polinómicas, trigonométricas, logarítmicas,
irracionales…) es continua en su dominio; por tanto, para estudiar la
continuidad de una función es suficiente con calcular su dominio.
• El estudio de la continuidad de una función a trozos requiere:
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Continuidad. Derivabilidad.
el estudio de la continuidad de cada función en su recinto de
definición
o El estudio de la continuidad en los puntos de empalme de los
intervalos de definición
o
EJERCICIOS:
a) Funciones racionales.
1.- Estudia la continuidad de: y =
x 3 − 2x 2 + x − 2
x2 − x − 2
;
y=
x 3 − 2x 2
x2 − x − 2
b) Funciones a trozos.
 2x
si x < 1

2.- Representa, estudia la continuidad f(x) =  2
si 1 ≤ x ≤ 2
− x 2 + 4 x si x > 2

y halla los límites cuando x → +∞ y x → −∞ de la función
3.- Estudia la continuidad y representa las funciones:
x 2 + 2x + 1
si x < −1

a) f(x) =  2 x + 2
si − 1 ≤ x ≤ 2
2
 − x + 8x
si x > 2


ex
si x ≤ 0

b) f(x) =  1
si 0 < x < 3
2
− x + 3x + 2 si x ≥ 3

4.- Calcula el valor que debe tener k para que la siguiente función sea continua:
 x + 1 si x ≤ 2
f (x ) = 
k − x si x > 2
5.- Calcula el valor de k para que cada una de las siguientes funciones sea
continua:
x 4 −1
si x ≠ 1

x
−
1
a) f(x) = 

 k si x = 1
x 2 −1
si x < 1

x
−
1
b) f(x) = 

 k si x ≥ 1
37
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Continuidad. Derivabilidad.
6.- Estudia la continuidad de cada una de las siguientes funciones para los
distintos valores del parámetro a:
7.- Calcula a y b para que la siguiente función sea continua:
x 2 + ax;
x ≤ −1

f(x)= b;
−1 < x < 3
 2 x + 4;
x≥3

8.- Representa, estudia la continuidad y halla los límites cuando x → +∞ y
x → −∞ de la función
si x < 0
 1

f(x) = x + 1
si 0 < x < 1
 x 2 − 2x si 1 ≤ x

38
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Continuidad. Derivabilidad.
2.- DERIVABILIDAD
2.1
TASA DE VARIACIÓN MEDIA
Dada una función y = f(x), se llama tasa de variación media al siguiente cociente
incremental:
TVM [a , b ] =
f ( b ) − f (a )
b−a
Ejercicios: Halla TVM[-1, 3] en las siguientes funciones.
a) f(x) = x2
b) f(x) = 3 x
1
c) f(x )=
x−2
2.2
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. TASA DE VARIACIÓN
INSTANTÁNEA
La derivada de una función f(x) en el punto x = a (tasa de variación instantánea)es un
número que se representa por f ' (a), y que se define como:
f (a + h ) − f (a )
f ( x ) − f (a )
= Lim
f '(a ) = TVI(a ) = Lim
h →0
x →a
h
x−a
Ejercicios: Calcula, aplicando la definición, la derivada de las siguientes funciones
en los puntos que se indican:
a) f(x)=x2 en x = - 1
b) f(x)= 3 x en x =0
1
en x =3
c) f(x)=
x−2
2.3
DERIVADAS LATERALES
Como la derivada es un límite, se dice que f es derivable en a, cuando existe ese
límite por la izquierda, por la derecha, y ambos son iguales (no infinitos).
Correspondiéndose con el concepto de límites laterales, están las derivadas laterales,
por la izquierda y por la derecha. Y, de la misma manera, aparecen los conceptos de
semitangentes en los puntos en los que las derivadas laterales existen (una o ambas).
En la gráfica de la figura existen las derivadas
laterales en a, pero no coinciden las semitangentes
laterales en x =a, por tanto, diremos que la función no es
derivable en x =a. Esto sucederá siempre en los puntos
angulosos de las funciones.
a
39
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Continuidad. Derivabilidad.
2.4
FUNCIÓN DERIVADA
Diremos que f es derivable en (a,b) si lo es ∀x0∈(a,b)
Se llama función derivada f ' de la función f, en (a,b)⊆Dom f, a una función que hace
corresponder a cada punto x0∈(a,b) el número real f ' (x0)
2.5
REGLAS DE DERIVACIÓN
FUNCIÓN
1.2.3.4.-
y = f(x) + g(x)
y = k · f(x)
y = f(x) · g(x)
f (x )
y=
g( x )
5.6.7.8.9.10.11.-
y = f [g( x )]
y=k
y=x
y = xk
y = sinx
y = cosx
y = tanx
12.13.14.-
y = ax
y = ex
y = logax
15.-
y = lnx
16.-
y = f (g(x) )
FUNCIÓN DERIVADA
y' = f’(x) + g’(x)
y' = k · f’(x)
y' = f’(x) · g(x) + f(x) · g’(x)
f ' ( x )·g( x ) − f ( x )·g' ( x )
y' =
[g(x )]2
y' = f ' [g( x )] · g' ( x )
y' = 0
y' = 1
y' = k · xk-1
y' = cosx
y' = -sinx
y' =1+ tan2x
1
y' =
cos 2 x
y' = ax · lna
y' =ex
1 1
y' = ·
x ln a
1
y' =
x
y' = f ' (g(x)) · g '(x)
Ejercicio: Halla la función derivada de las siguientes funciones:
1
a) y = x5
b) y = 4
c) y =
x
Regla de la cadena.
5
x3
d) y = 3 7 x 2
e) y = 3x4 – 5x2 + 7x +1
f) y = x3 -
g) y = x2 · e-x
x2 − 3
j) y = 2
x +3
h) y = (x3 – 5x) · lnx
x3
k) y =
( x + 1) 2
i) y = sinx · 53x+5
5
l) y = 3
x − 3x 2
40
2x +
3
x
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Continuidad. Derivabilidad.
x 3 + 4x − 5
m) y =
7
sin x
p) y =
cos x
s) y = sin2x
t) y = sin x2
v) y = 2 sinx cos x
w) y = sin(sinx)
y) y = sin2(cos7x)
1 − cos x
ab) y =
1 + cos x
 x + 2
ae) y = ln 

 x 
ah) y = ln(cosx2)
z) y =
2.6
n) y =
ln x
ex
1− x
1+ x
5x 2 − 3x + 2
r) y = cos
2x
u) y = sin2 x2
1
x) y = cos 3 2 x
3
o) y =
q) y = sin2x
(2 x − 3) 7
aa) y =
3
(5x 2 − 3) 2
ac) y = ln(x2+3x+1)
ad) y = ln(2x )+lnx2-(lnx)2
af) y = e3x + 4x
ag) y = 3sinx
ai) y = ln cos2 x
aj) y = e3x · cos(x2+1)
DERIVACIÓN Y CONTINUIDAD
Si una función f es derivable en un punto a, entonces es continua es dicho punto
De esta afirmación podemos extraer las siguientes consecuencias:
1) Si una función no es continua en x = a, entonces no es derivable en dicho punto.
2) Si f(x) es continua en x = a puede ser derivable en x = a o no derivable en x = a
3) Si f(x) es no derivable en x =a puede ser continua en x = a o no continua.
2.7
ESTUDIO DE LA DERIVABILIDAD
Distinguimos entre funciones simples y a trozos.
• SIMPLES (dadas por una sola expresión): polinómicas, racionales
logarítmicas, exponen-ciales, seno, coseno…Todas ellas son derivables
en su dominio, luego el estudio de la derivabilidad queda reducido al
cálculo del dominio. En la función irracional y = x es distinto, pues
Dom= [0,+ ∞) y es derivable en (0, + ∞) Ante la duda siempre se puede
derivar y estudiar el dominio de la función derivada.
• A TROZOS. Se procede del siguiente modo:
1.- Se estudia la continuidad de cada función, por separado, en su recinto
de definición
2.- Se estudia la continuidad en los puntos de empalme (si en alguno de
ellos no es continua, tampoco será derivable. Si es continua hay que
seguir con el estudio
3.- Se halla la función derivada sin poner el signo igual en los intervalos
de definición
4.- Se estudian las derivadas laterales en los puntos de empalme.
41
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EJERCICIOS
1.- Estudia la derivabilidad de las siguientes funciones en los puntos que se indican:
x 2 + 2, x ≤ 1
a) f(x) = 
 x + 2, x > 1
=2
 2 − 3x , x ≤ 2
c) f(x) =  2
x − 8, x > 2
 2 − 3x ,
b) f(x) =  2
x − 3,
en x =1
x≤2
x>2
en x
en x = 2
2.- Estudia la continuidad y la derivabilidad de las siguientes funciones y
represéntalas:
x 2 − 2x, x < 2
 e −x , x ≤ 0
b) f(x) = 
a) f(x) = 
 2x − 4, x ≥ 2
1 − x, x > 0
3.- Comprueba que f (x) es continua pero no derivable en x = 2:
4.- Estudia la continuidad y derivabilidad de esta función:
5.- Estudia la continuidad y la derivabilidad de las siguientes funciones y
represéntalas:
a. f(x) = | x - 1|
c) f(x) = |x – 3 |
e) f(x) = x 2 + 6 x + 8
b) f(x) = |x2- 4 |
d) f(x) = |x2 – 2x |
6.- Sea la función: f(x) =
Calcula m y n para que f sea derivable en todo R.
7.- Calcula a y b para que la siguiente función sea derivable en todo R:
42
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3.- APLICACIÓN DERIVADAS
3.1 RECTA TANGENTE A UNA FUNCIÓN EN UNO DE SUS PUNTOS.
EJERCICIOS:
1.- Halla la ecuación de la recta tangente a las funciones siguientes en los puntos
cuya abscisa se indica:
x 2 − 2x
5x 3 + 7 x 2 − 16 x
a) y =
en x =3
b) y =
en x = 1
x+3
x−2
x + 12 en x = -3
c) y =
e) y = Ln(x +1) en x = 0
d) y = e-x en x = 0
f) y = x lnx
en x = e
2.- Halla las ecuaciones de las rectas tangente a y = x3 + x2 + 2, paralelas a la bisectriz del 1er y 3er cuadrante.
3.- Halla la ecuación de la recta tangente a y = x3 – 4x + 3, paralela a la bisectriz del
2º y 4º cuadrante.
4.- Halla la ecuación de la recta tangente a y =
2x
, paralela a la recta 2x + y = 0.
x −1
3.2 RELACIÓN ENTRE LA MONOTONÍA DE UNA FUNCIÓN Y SU
DERIVADA
•
•
Si f ´(x0) > 0→ f es creciente en x0.
Si f ´(x0) < 0→ f es decreciente en x0.
EJERCICIOS:
1º.- Estudia la monotonía de las siguientes funciones:
a) f(x) = x3 – 3x2 – 9x + 5,
b) f(x) = –3x4 + 4x3
c) f(x) =
8 − 3x
x 2 − 2x
43
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3.3 EXTREMOS ABSOLUTOS Y RELATIVOS
Una función f presenta un máximo absoluto (mínimo absoluto) en x0∈A
si f(x0)≥f(x) ∀x∈A [f(x0)≤f(x) ∀x∈A]
Una función f presenta un máximo relativo (mínimo relativo) en x0∈A
cuando ∃E(x0) tal que
f(x0)≥f(x) ∀x∈ E(x0)
( f(x0)≤f(x) ∀x∈E(x0) )
(A⊂D)
(A⊂D)
3.4 ESTUDIO DE LOS EXTREMOS EN UNA FUNCIÓN
Como se observa en la figura, una función definida en el intervalo [a,b] y continua en
él, puede presentar extremos en:
•Los Puntos Interiores
(absolutos o relativos)
 Derivables

 No Derivables
→
•Los Extremos del Intervalo (Absolutos)
a
xo
x1
x2
x3
b
3.4.1 EXTREMOS EN PUNTOS DERIVABLES
Llamamos puntos singulares a las raíces de la ecuación f ´(x) = 0. En ellos la recta
tangente es horizontal
•
Si una función alcanza un Máximo en un punto c∈(a,b) en el que es
derivable, se cumple:
- f´(c) = 0
- creciente a la izquierda de x = c, decreciente a la derecha de x = c
44
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Continuidad. Derivabilidad.
•
Si una función alcanza un mínimo en un punto c∈(a,b) en el que es
derivable, se cumple:
- f´(c) = 0
- decreciente a la izquierda de x = c, creciente a la derecha de x = c
EJERCICIO: Halla los máximos y mínimos relativos de las funciones:
a) y = x3 – 3x2 – 9x + 5.
b) y = –3x4 + 4x3
c) f(x) =
8 − 3x
x 2 − 2x
3.4.2 EXTREMOS ABSOLUTOS
Para calcular los extremos absolutos de una función en un intervalo [a,b]:
1º.- Se hallan los extremos relativos en (a,b), según se explica en la pregunta
anterior
2º.- se calcula f(a) y f(b)
3º.- se comparan los valores de f(a) y f(b) con los valores máximos o mínimos de
la función en (a,b). El mayor de ellos será el máximo absoluto y el menor el
mínimo absoluto.
EJERCICIOS:
1.- Determinar el valor máximo y mínimo absoluto de la función f(x)= 3x3 - x - 9 en el
intervalo [0,3].
8
calcula a y b de modo que f pase por el punto
x
(-2, -6) y tenga tangente horizontal en ese punto.
2.- Dada la función f(x) = ax + b +
3.- Determina la parábola y = ax2 + bx + c que es tangente a la recta y =2x-3 en el
punto A(2, 1) y que pasa por el punto B(5, -2)
4.- De la función f(x) =mx3+ nx sabemos que pasa por (1, 1) y que en ese punto tiene
tangente paralela a la recta 3x + y =0.
a) Halla m y n.
b) Determina sus extremos relativos y sus intervalos de
crecimiento y decrecimiento.
5.- De la función f(x) = x2+ ax + b se sabe que:
- Tiene un mínimo en x =2.
- Su gráfica pasa por el punto (2, 2).
Teniendo en cuenta estos datos, ¿cuánto vale la función en x = 1?
45
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3.5 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
Ejercicios de selectividad.
3.6 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES
EJERCICIOS:
1.- a)Representa la función y = f(x), sabiendo que:
· Dominio: ℜ − {0} · Corta a OX en x = 1
· Asíntota horizontal y = 0
si x → +∞, y < 0
si x → −∞, y > 0
· Asíntota vertical x = 0
si x → 0 − , y → +∞
si x → 0 + , y → +∞
· Mínimo en (2, -1)
b)Di donde crece y donde decrece.
2.- Representa una función que no está definida en x = -3 y tal que:
lim f ( x ) = +∞
y
lim f ( x ) = −∞
x →( − 3 )−
x →( −3 )+
si x → +∞, f ( x ) < 1

x → ±∞
si x → −∞, f ( x ) > 1
No tiene puntos singulares y es creciente.
lim f ( x ) = 1
3.- De una función y = f(x) tenemos la siguiente información:
D = ℜ − {1, 4}
lim f ( x ) = +∞
y
lim f ( x ) = −∞
x →1−
x →1+
lim f ( x ) = −∞
y
x →4−
lim f ( x ) = 0
x → ±∞
lim f ( x ) = +∞
si x → +∞,

si x → −∞,
x →4+
f (x) > 0
f (x) < 0
f’(2) = 0; f(2) = -1
f´(-1) = 0; f(-1) = -1
Represéntala.
46
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Continuidad. Derivabilidad.
4.- Dibuja la gráfica de una función cuyas características son las siguientes:
lim f ( x ) = −∞
lim f ( x ) = +∞
y
x →− ∞
x →+ ∞
f´(x) = 0 si x = -2, x = 0, x = 3, x = 4
f(-2) = 2 ; f(0) = 0; f(3) = 5; f(4) = 4
5.- Dibuja la gráfica de una función que cumple las siguientes propiedades:
lim f ( x ) = −∞ ;
x →− ∞
lim f ( x ) = −3 ;
x →+ ∞
lim f ( x ) = −∞
x → −5
f(-8) = -2 ; f(0) = 0 es el único punto donde la función se anula.
f´(-8) = 0 y la derivada no se anula en ningún otro punto. Además, f(x)<0 para todo
x positivo.
La función es continua en toda la recta real, excepto en los puntos x = -5 y x = 0.
6.- Representación gráfica de las funciones:
a ) f(x) = 3x5 – 5x3.
b) f(x) = x3- 3x2 – 9x –5
c) f(x) =
d) f(x) =
e) f(x) =
2x + 2
3x − 3
x
(x − 1)2
(x + 2)2
x2 +1
47
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