UNIDAD 1 Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss 1. Ejercicios de refuerzo: interpretación geométrica de sistemas de dos y de tres incógnitas Soluciones Resuelve e interpreta geométricamente los siguientes sistemas: 1 3x + 5y = –1 ° ¢ –x + 2y = 4 £ Resolución ( 3 –1 5 2 –1 4 ) (1.ª) 3 · (2.ª) + (1.ª) ( 3 0 5 –1 11 11 ) ÄÄÄÄ8 3x + 5 = –1 8 x = –2 8 y=1 El sistema es compatible determinado. Son dos rectas que se cortan en el punto (–2, 1). 2 7x + 3y = – 4 ° ¢ 14x + 6y = – 8 £ Resolución ( 7 14 3 6 –4 –8 ) (1.ª) (2.ª) – 2 · (1.ª) ( 7 0 3 0 –4 0 ) El sistema es compatible indeterminado. Es una recta (las dos rectas coinciden). 3 x – 5y = – 4 ° ¢ 3x + 5y = 8 £ Resolución ( 1 3 –5 –4 5 8 ) (1.ª) (2.ª) – 3 · (1.ª) ( 1 0 ) –5 –4 ÄÄÄÄ8 x – 5 = –4 8 x = 1 20 20 8 y = 1 El sistema es compatible determinado. Son dos rectas que se cortan en el punto (1, 1). 4 7x + 3y = 8 ° § x + 5y = – 8 ¢ § x + y = 0£ Resolución ( 7 1 1 3 5 1 8 –8 0 ) (1.ª) – 7 · (3.ª) (2.ª) – (3.ª) (3.ª) ( 0 –4 0 4 1 1 8 8 0 ) las dos primeras Ä8 dicen lo mismo 4y = –8 ° 8 y = –2 ¢ x + y = 0£ 8 x = 2 El sistema es compatible determinado. Son tres rectas que se cortan en el punto (2, –2). ( 0 1 4 1 –8 0 ) Pág. 1 de 5 UNIDAD 1 Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss 1. Ejercicios de refuerzo: interpretación geométrica de sistemas de dos y de tres incógnitas Soluciones 5 5x + 3y = 7 ° ¢ 15x + 9y = 18 £ Resolución ( 5 15 3 9 7 18 ) (1.ª) (2.ª) – 3 · (1.ª) ( 5 0 3 0 7 –3 ) ( 0 9 0 2 0 5 ) El sistema es incompatible. Son dos rectas paralelas. 6 18x + 4y = 10 ° ¢ 9x + 2y = 5 £ Resolución ( 18 9 4 2 10 5 ) (1.ª) – 2 · (2.a) (2.ª) El sistema es compatible indeterminado. Es una recta (las dos rectas coinciden). 7 3x + 2y = 13 ° ¢ –2x + 5y = –15 £ Resolución ( 3 –2 2 5 13 –15 ) (1.ª) 3 · (2.ª) + 2 · (1.ª) ( 3 0 2 19 13 –19 ) El sistema es compatible determinado. Son dos rectas que se cortan en el punto (5, –1). 8 3x + 6y = 13 ° ¢ –2x – 4y = –5 £ Resolución ( 3 6 –2 –4 13 –5 ) (1.ª) 3 · (2.ª) + 2 · (1.ª) El sistema es incompatible. Son dos rectas paralelas. ( 3 0 6 0 13 11 ) ÄÄÄÄ8 3x = 15 8 x = 5 8 y = –1 Pág. 2 de 5 UNIDAD 1 Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss 1. Ejercicios de refuerzo: interpretación geométrica de sistemas de dos y de tres incógnitas Soluciones 9 3x + 2y – z = 2 ° § 6x – y + z = 7 ¢ § –3x – 5y + 4z = 1 £ Resolución ( ( 3 2 –1 6 –1 1 –3 –5 4 2 7 1 3 2 –1 0 –5 3 0 0 6 2 3 6 ) ) (1.ª) (2.ª) – 2 · (1.a) (3.ª) + (1.ª) ( 3 2 –1 0 –5 3 0 –3 3 2 3 3 ) (1.ª) (2.ª) 5 · (3.ª) – 3 · (2.ª) ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ8 3x = 3 8 x = 1 ÄÄÄÄ8 –5y = 0 8 y = 0 8 z=1 El sistema es compatible determinado. Son tres planos que se cortan en el punto (1, 0, 1). 2x – 5y + 3z = 6 ° § 10 2x + 3y – z = 2 ¢ § – 4x – y – 5z = –2 £ Resolución x ( 2 –5 3 6 2 3 –1 2 –4 –1 –5 –2 x ( z ) (1.ª) (2.ª) – (1.a) (3.ª) – 2 · (1.ª) ( x 6 –4 10 ) (1.ª) (2.ª) 4 · (3.ª) + (2.ª) z 2 –5 3 0 8 –4 0 –11 1 y 2 3 –5 0 –4 8 0 1 –11 y ( z 6 –4 10 ) y 5z ÄÄÄ8 y 3 3 –5 0 –4 8 0 0 –36 6 –4 36 ) 8 ° ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ8 2x – 3 + 6 = 6 8 x = 2 § ¢ ÄÄÄÄ8 –4z – 8 = –4 8 z = –1 § £ 8 y = –1 El sistema es compatible determinado. Son tres planos que se cortan en el punto (2, –1, –1). Pág. 3 de 5 UNIDAD 1 Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss 1. Ejercicios de refuerzo: interpretación geométrica de sistemas de dos y de tres incógnitas Soluciones x – y + 3z = 8 ° § 11 3x + y + 5z = 16 ¢ § –2x + 3y – z = 0 £ Resolución ( ( 1 –1 3 3 1 5 –2 3 –1 1 –1 3 0 0 –24 0 1 5 8 16 0 ) 8 –72 16 (1.ª) (2.ª) – 3 · (1.a) (3.ª) + 2 · (1.ª) ) ( 1 –1 3 0 4 –4 0 1 5 8 –8 16 ) (1.ª) (2.ª) – 4 · (3.a) (3.ª) ÄÄÄÄÄÄÄÄ8 x = 8 + 1 – 9 8 x = 0 ÄÄÄÄ8 z = 3 8 y=1 El sistema es compatible determinado. Son tres planos que se cortan en el punto (0, 1, 3). x – y + z = 3° § 12 2x + y – 2z = 3 ¢ § 3x – 2y – z = 0 £ Resolución ( ( ) 1 –1 1 2 1 –2 3 –2 –1 3 3 0 1 –1 1 0 3 –4 0 0 –8 3 –3 –24 (1.ª) (2.ª) – 2 · (1.a) (3.ª) – 3 · (1.ª) ) ( 1 –1 1 0 3 –4 0 1 –4 3 –3 –9 ) (1.ª) (2.ª) 3 · (3.ª) – (2.ª) ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ8 x = 3 ÄÄÄÄ8 3y = 9 8 y = 3 8 z=3 El sistema es compatible determinado. Son tres planos que se cortan en el punto (3, 3, 3). x – 2y + 2z = – 6 ° § 13 5x + 3y + z = 0 ¢ § y – z = 2£ Resolución ( ( 1 –2 2 5 3 1 0 1 –1 1 –2 2 0 13 –9 0 0 –4 –6 0 2 ) –6 30 –4 (1.ª) (2.ª) – 5 · (1.a) (3.ª) ) ( 1 –2 2 0 13 –9 0 1 –1 –6 30 2 ) ÄÄÄÄÄÄÄÄ8 x = –2 ÄÄÄÄ8 y = 3 8 z=1 El sistema es compatible determinado. Son tres planos que se cortan en el punto (–2, 3, 1). (1.ª) (2.ª) 13 · (3.ª) – (2.ª) Pág. 4 de 5 UNIDAD 1 Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss 1. Ejercicios de refuerzo: interpretación geométrica de sistemas de dos y de tres incógnitas Pág. 5 de 5 Soluciones –x + 3y = 6° § 14 2x + y – z = 1 ¢ § –3x + 2y + z = 5 £ Resolución ( ( –1 3 0 2 1 –1 –3 2 1 6 1 5 ) (1.ª) (2.ª) + 2 · (1.a) (3.ª) – 3 · (1.a) ( –1 3 0 6 0 7 –1 13 0 –7 1 –13 ) (1.ª) (2.ª) (3.ª) + (2.ª) ) –1 3 0 6 0 7 –1 13 0 0 0 0 El sistema es compatible indeterminado. Son tres planos con una recta común. x – 3y + z = 1 ° § 15 2x – 7y + 3z = 2 ¢ § 3x – 10y + 4z = 5 £ Resolución ( 1 –3 1 2 –7 3 3 –10 4 1 2 5 ) (1.ª) (2.ª) – 2 · (1.a) (3.ª) – 3 · (1.a) ( 1 –3 1 0 –1 1 0 –1 1 1 0 2 ) (1.ª) (2.ª) (3.ª) – (2.ª) ( 1 –3 1 0 –1 1 0 0 0 1 0 2 ) El sistema es incompatible. Son tres planos sin ningún punto común. Cada dos de ellos se cortan en una recta. Por tanto, las tres rectas de corte son paralelas.