Integración de funciones racionales mediante separación en fracciones simples Marcelo Fiori R P (x) El objetivo es resolver integrales de la forma: Q(x) dx donde P (x) y Q(x) son polinomios de coeficientes reales. Observemos que si gr(P ) > gr(Q), entonces podemos escribir P (x) R(x) = S(x) + Q(x) Q(x) donde gr(R(x)) < gr(Q(x)) De lo anterior, resulta Z P (x) dx = Q(x) Z Z S(x)dx + R(x) dx Q(x) R El término S(x)dx se resuelve fácil (es un polinomio), por lo que nos concentraremos en R R(x) resolver Q(x) dx. R(x) La idea será descomponer la expresión Q(x) en una suma de términos que podamos integrar, llamadas fracciones simples. A Bx+C Las fracciones simples son expresiones con esta forma: (x−r) ; [(x−p) donde los k 2 +q 2 ]k denominadores que aparecen, son los factores de Q(x). Los factores (x − r)k aparecen si Q(x) tiene una raı́z real r. Mientras que los factores [(x − p)2 + q 2 ]k aparecen si Q(x) tiene raı́ces complejas z = p ± qi Cuando Q(x) tiene una raı́z r con multiplicidad k o sea Q(x) = (x − r)k Q1 (x) , aparecen k factores: (x − r)i con i = 1 . . . k (ver ejemplo) Observemos que cuando el factor tiene una raı́z real, el numerador es simplemente un número (A), y cuando tiene raı́ces complejas aparece un polinomio de grado 1 (Bx + C). Ejemplo: x−1 (x−2)2 (x−3) Los factores de (x − 2)2 (x − 3) son: (x − 2) , (x − 2)2 y (x − 3) Por lo tanto descompondremos de la siguiente forma x−1 A B C = + + 2 2 (x − 2) (x − 3) x − 2 (x − 2) x−3 Los coeficientes A,B, y C se determinan, por ejemplo, haciendo denominador común y resolviendo el sistema lineal. En este caso para hallar C podrı́amos multiplicar la ecuación por (x − 3) y tomar lı́mite cuando x tiende a 3: x−1 A(x − 3) B(x − 3) + = +C 2 (x − 2) x−2 (x − 2)2 A(x − 3) B(x − 3) x−1 x−1 3−1 = lim + + C ⇒ C = lim = =2 2 2 2 x→3 (x − 2) x→3 x→3 (x − 2) x−2 (x − 2) (3 − 2)2 lim Este método se conoce como “la tapadita”, pero sirve sólo para calcular los coeficientes correspondientes a los términos (x − r)k , donde k es la multiplicidad de la raı́z r (en el ejemplo, se puede calcular B de esta manera). 1 Ejemplo: 1 (x−2)(x2 −x+1) El polinomio x2 − x + 1 tiene raı́ces z = descomposición quedarı́a entonces: √ 1±i 3 2 . Por lo tanto p = 1 2 √ y q = 3 2 . La 1 1 A Bx + C = = + 1 3 2 2 (x − 2)(x − x + 1) x − 2 [(x − 12 )2 + 43 ] (x − 2)[(x − 2 ) + 4 ] Ya sabemos separar en fracciones simples, veamos ahora cómo integramos cada una de ellas. ¿Cómo se calcula R Adx ? (x−r)k • k=1 Z • k>1 Z ¿Cómo se calcula R Adx = A ln |x − r| x−r 1 A Adx = k 1 − k (x − r)k−1 (x − r) (Bx+C)dx ? [(x−p)2 +q 2 ]k • k=1 Hagamos algunas cuentas para volver a separar en dos integrales: Z Z Z C C (x + B )dx − p + p)dx (x + B (Bx + C)dx = B = B 2 2 2 2 (x − p) + q (x − p) + q (x − p)2 + q 2 Z Z C (B + p)dx (x − p)dx = B + B 2 2 (x − p) + q (x − p)2 + q 2 La primera sale con el cambio de variable u = (x − p)2 + q 2 (ejercicio). En la segunda, buscando que resulte una expresión del estilo de x21+1 (que sabemos integrar), primero realizamos el cambio de variable u = (x − p) y luego sacamos q 2 de factor común en el denominador: Z Z Z dx du du C B( + p) = (C + Bp) = (C + Bp) u 2 2 2 2 2 2 B (x − p) + q u +q q [( q ) + 1] Luego realizamos un nuevo cambio de variable: z = uq Z Z x − p C + Bp dz C + Bp C + Bp du = = arctan q2 ( uq )2 + 1 q z2 + 1 q q Finalmente: Z C + Bp x − p (Bx + C)dx B 2 2 = ln (x − p) + q + arctan (x − p)2 + q 2 2 q q Naturalmente, no hay que memorizar este resultado. Basta con entender los pasos y saber realizarlos en un caso particular, como hacemos en el último ejemplo. • k>1 Nos limitaremos a contar brevemente como calcularla. Mediante R dz el mismo procedimiento que para k = 1, debemos llevar la integral a la forma K (z 2 +1)k : Z Z (Bx + C)dx dz =K [(x − p)2 + q 2 ]k (z 2 + 1)k 2 Donde K es una constante que dependerá de B,C,p,q y k. Ahora, si definimos In de la siguiente forma: Z dx In = 2 (x + 1)n Se puede observar integrando por partes (ejercicio) que: In = x 1 2n − 3 + In−1 2 n−1 2n − 2 (x + 1) 2n − 2 Observando que I1 = arctan(x), podemos conocer Ik ∀k dado que conocemos el primero (I1 ) y conocemos la relación que nos lleva al In desde el In−1 . Ejemplo 1 Calculemos: Z x4 + 3x2 + x + 1 dx x3 + x Llamemos P (x) = x4 + 3x2 + x + 1 y Q(x) = x3 + x Como gr(P ) > gr(Q), tenemos que hacer la división. 4 2 +x+1 2 Resulta: x +3x = x + 2xx3+x+1 x3 +x +x Descomponemos entonces la segunda expresión en fracciones simples: 2x2 + x + 1 2x2 + x + 1 A Bx + C = = + 2 x3 + x x(x2 + 1) x x +1 Hallemos A,B y C. 2x2 + x + 1 Ax2 + A + Bx2 + Cx = x(x2 + 1) x(x2 + 1) de donde A = B = C = 1 Por lo tanto: Z 4 Z Z Z x + 3x2 + x + 1 1 x+1 dx = xdx + dx + dx 3 x +x x x2 + 1 Calculemos la tercer integral. Z x+1 dx = x2 + 1 Z x dx + 2 x +1 Z x2 1 dx +1 La primera se resuelve con el cambio de variable u = x2 + 1 y la segunda es directamente arctan(x). Resulta al final: Z 4 x + 3x2 + x + 1 x2 1 dx = + ln |x| + ln x2 + 1 + arctan(x) 3 x +x 2 2 3 Ejemplo 2 Calculemos: Z Z 2x2 + 2x − 1 dx = x3 − 1 Z 2x2 + 2x − 1 dx x3 − 1 2x2 + 2x − 1 dx = (x − 1)(x2 + x + 1) Z A dx + x−1 Z Bx + C dx x2 + x + 1 Resulta que: A = 1 , B = 1 , C = 2 Z Z Z Z Z Z 2x + 1 dx 2x2 + 2x − 1 dx x+2 dx 1 3 dx = + dx = + dx+ 3 2 2 2 x −1 x−1 x +x+1 x−1 2 x +x+1 2 x +x+1 Z 2x + 1 dx = 2 x +x+1 Z du u Donde hicimos el cambio de variable u = x2 + x + 1. Por otro lado: Z Z Z dx dx dx = h 2 i 1 2 3 = x2 + x + 1 (x + 2 ) + 4 3 √2 (x + 1 ) + 1 4 2 3 Hagamos u = Z √2 x 3 + √1 3 √ Z √ 4 3 du 2 3 2 1 = arctan( √ x + √ ) 2 i= h 2 3 2 u +1 3 3 3 3 √2 (x + 1 ) +1 4 2 3 dx Por lo que finalmente llegamos a: Z √ 2x2 + 2x − 1 1 2 + 3 arctan( √2 x + √1 ) x + x + 1 dx = ln |x − 1| + ln x3 − 1 2 3 3 4