La conjetura de Goldbach - Universidad de los Andes

[ notas. MATEMÁTicas ]
La conjetura de Goldbach
“Todo número impar mayor o igual a 5 se puede escribir como la suma de a lo más tres números primos”.
Este famoso enunciado es conocido como la conjetura débil de Goldbach, de la cual Harald Helfgott, un joven
matemático peruano radicado en Francia, ha anunciado una demostración. Esta conjetura, ahora aparentemente
teorema, está muy relacionada con la conjetura de Goldbach, aquella célebre observación que hizo Christian
Goldbach a Leonhard Euler en una carta fechada 7 de junio de 1742, donde le propone que todo número par
mayor que 2 se puede escribir como la suma de dos primos. Debemos hacer notar al lector, y lo dejamos
como ejercicio, que la conjetura de Goldbach implica la conjetura débil de Goldbach. Además, para aquellos
interesados en resolver problemas famosos, aclaramos también que hasta el día de hoy el enunciado original de
Goldbach permanece abierto.
Jean Carlos Cortissoz
Ph. D. Profesor asociado del
Departamento de Matemáticas de
la Universidad de los Andes
jcortiss@uniandes.edu.co
Las primeras ideas para llegar a una demostración de la conjetura débil de Goldbach se remontan a Hardy y
a Littlewood en 1923. Basándose en el trabajo del mismo Hardy y de Ramanujan sobre las particiones de un
número, utilizaron herramientas novedosas del análisis complejo y del análisis armónico (conocidas hoy en día
como el método del círculo) para demostrar que todo número impar suficientemente grande se puede escribir
Herald Goldbach
Fuente: http://www.filarmonia.org/post/2013/05/17/Entrevista-al-matematico-peruano-Harald-Helfgott.aspx
Universidad de los Andes, Facultad de Ciencias 13
como la suma de a lo más tres números primos. Su demostración suponía la validez
de la hipótesis de Riemann —actualmente el problema más célebre de las matemáticas—, hasta que en 1937, Iván M. Vinogradov, refinando dichos métodos, logró
eliminar la necesidad de la hipótesis de Riemann para demostrar que todo número
impar suficientemente grande se puede escribir como la suma de a lo sumo tres
números primos.
El teorema de Vinogradov puede parecer satisfactorio incluso al más purista de los
matemáticos, y tal vez algún optimista, luego de leer su enunciado, podría creer que
para obtener una demostración de la conjetura débil de Goldbach basta con verificar
un número finito de casos con un computador, algo que no requiere de mucho ingenio.
Sin embargo, ese número finito de casos que había que verificar era tan grande que no
había forma de hacerlo en un tiempo razonable. Siendo más precisos, hasta 2002 se
sabía que la conjetura débil de Goldbach era cierta para cualquier número impar mayor
a e 3100 (aproximadamente 101000). Así que para demostrarla bastaría que un computador verificara la conjetura para cada uno de los impares menores que 101000, tantos
que aun si el computador se demorara solo 10-100 segundos en verificar cada caso (una
cifra fantástica para cualquier computador moderno), se tardaría 10900 segundos en
verificarlos todos, lo que equivale a por lo menos 10892 años, muchos, comparado con
la edad del universo, que es del orden de 1010. De este análisis se desprende que con
el poder computacional actual sería imposible saber si la conjetura débil de Goldbach
es cierta, a menos que se baje el número de casos se que deben verificar.
Después de los trabajos de Vinogradov, varias generaciones de matemáticos continuaron la búsqueda de un mejor resultado. Debemos mencionar los trabajos del matemático francés Olivier Ramaré, quien, utilizando métodos de cribado descendientes
directos de la famosa criba de Eratóstenes y resultados sobre la densidad de subconjuntos de los números naturales obtenidos por el matemático ruso Lev Schnirelmann,
logró demostrar en 1996 que todo número par se puede escribir como la suma de a
lo sumo 6 primos; y del matemático australiano Terence Tao, quien en 2012, mediante
el método del círculo y verificación directa de un número finito de casos con el uso de
computadores, mostró que todo número impar se puede escribir como la suma de a
lo sumo cinco números primos. Finalmente, Helfgott, usando los métodos de Hardy,
Ramanujan, Littlewood y Vinogradov, pudo bajar el número de casos por verificar en el
teorema de Vinogradov hasta hacerlo accesible al cálculo desapasionado y efectivo del
computador. Esto, sin la menor duda, es un gran logro. •
14 Hipótesis, Apuntes científicos uniandinos, núm. 15, noviembre del 2013
Herald Goldbach
Fuente: http://www.madrimasd.org/blogs/matematicas/files/2013/06/
harald.jpg
REFERENCIAS
[1] Helfgott H. Major Arcs for Goldbach’s Theorem, http://arxiv.org/abs/1305.2897.
[2]Nathanson M. B. Additive number theory. The
classical bases. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag; 1996.
[3]Ramaré O. On šnirel›man›s constant. Annali
della Scuola Normale Superiore di Pisa Classe di Scienze. Serie, 4, Tomo 4, no. 22;
1995: 645-706.
[4]Tao T. Every odd number greater than 1 is the
sum of at most five primes, http://arxiv.org/
abs/1201.6656