Cálculos matemáticos

 Cálculos matemáticos
POR EL MÉTODO DE PROLONGACIÓN DE ALINEAMIENTOS
Para realizar este cálculo es necesario contar con el croquis dibujado en la hoja de
registro y trazado, con los promedios de las mediciones recabadas durante el
trabajo de campo en los levantamientos planimétricos con longímetro.
En el dibujo hay dos polígonos: el director (es de forma rectangular) y el interno
(con forma de un cuadrilátero irregular). Estas características facilitan los cálculos
matemáticos que dan a conocer el área y el perímetro de una construcción
terminada o un terreno de difícil acceso.
A continuación observarás la figura que utilizaremos en este ejemplo, el cual fue
obtenido de la hoja de registro anexa a este subtema:
Paso 1. Cálculo del área del polígono director
Primero se determinará el área del polígono director, es decir, el de vértices A, B,
C y D que, como puedes observar en la imagen, tiene forma de rectángulo; por
tanto, la fórmula que emplearemos será ! = !×ℎ.
Sustituyendo los valores en la fórmula y realizando la operación correspondiente,
determinamos que el área del polígono director es:
!!"#í!"#" !"#$%&'# = !" !×!" ! = !, !"" !!
Paso 2. Cálculo del perímetro del polígono interno (área construida)
Para este cálculo emplearemos la siguiente fórmula:
! = !!!! + !!!! + !!!! + !!!!
De acuerdo con la fórmula, los datos que necesitamos son las cuatro medidas de
los lados del polígono interno:
Sustituyendo los valores obtenemos el siguiente resultado:
! = !". !" ! + !". !" ! + !". !" ! + !". !" ! = !"#. !" ! Paso 3. Simplificación de las figuras geométricas
Observa nuevamente el croquis que dibujaste al inicio. Recuerda que al prolongar
cada uno de los lados del polígono interno interceptando al polígono director se
formaron ocho figuras geométricas.
Ya que tienes las ocho figuras, deberás descartar el mayor número de éstas para
formar figuras regulares, como podrás observar a continuación:
Puedes observar que obtuvimos dos trapecios (a la izquierda y derecha de la
figura) cuyas áreas se pueden calcular sin ningún problema. Las dos formas
geométricas restantes (parte superior e inferior de la figura) corresponden a dos
polígonos irregulares que dividiremos en triángulos oblicuángulos, como se
muestra en la siguiente imagen:
Simplificar en figuras geométricas simples nuestro croquis facilitará la resolución
de los cálculos matemáticos.
Es importante que en una hoja de papel bond tamaño carta elabores un croquis de
cada una de estas figuras, anota también los datos que se obtuvieron en el trabajo
de campo. Esto se realiza con la finalidad de calcular sus áreas, como te
explicamos en los siguientes pasos.
Paso 4. Cálculo de las áreas de las figuras geométricas
Ahora calcularás el área de los dos trapecios y los cuatro triángulos oblicuángulos,
de acuerdo con los siguientes puntos:
Cálculo del área del trapecio 1 (B-C-c’-b’)
Para calcular el área del primer trapecio utilizaremos la siguiente fórmula:
! = !"′ + !"′ ℎ
2
De acuerdo con la fórmula, los datos que necesitamos son:
Base mayor (Bb’) = 14.62 m
Base menor (Cc’) = 3.85 m
Altura (h) = 40 m
Sustituye los valores en la fórmula:
! = 14.62 ! + 3.85 ! 40 !
2
Ahora suma los datos que se encuentran en el paréntesis. Obtendrás el siguiente
resultado:
! = 18.47 ! 40 !
2
Enseguida deberás realizar la multiplicación solicitada (no olvides representar
correctamente las unidades de longitud):
738.8 !!
! = 2
Para finalizar, realiza la división; obtendrás el área del primer trapecio cuyo
resultado será el siguiente:
! = !"#. ! !"
Cálculo del área del triángulo 1 (E-a’-b’)
Calcularemos el área de este triángulo oblicuángulo aplicando la fórmula de
Herón, como lo estudiaste en el método de diagonales. La fórmula, de acuerdo
con las variables que utilizaremos, es la siguiente:
! = ! (! − !)(! − !)(! − !)
Antes de sustituir los datos será necesario obtener los resultados que se
encuentran entre paréntesis.
A) Cálculo del perímetro del triángulo 1 (E-a’-b’)
Primero debes obtener el perímetro (P) de la figura triangular, empleando la
siguiente fórmula:
! = !! + !! + !!
Ahora debes sustituir las tres medidas de los lados del triángulo (E-a’-b’) que se
muestra a continuación:
Obteniendo el siguiente resultado:
! = 35.61 ! + 34.74 ! + 4.05 ! = 74.4 !
B) Cálculo del semiperímetro del triángulo 1 (E-a’-b’)
Ahora ya podrás calcular el semiperímetro (S) utilizando la siguiente fórmula:
!
! = 2
Al sustituir en la fórmula el resultado del perímetro del triángulo (E-a’-b’),
obtenemos el siguiente valor:
! = 74.4 !
= 37.2 ! 2
C) Asignación de literales del triángulo 1 (E-a’-b’)
La asignación de literales a cada lado del triángulo se hará de la siguiente forma:
D) Resta del semiperímetro con los lados del triángulo 1 (E-a’-b’)
Para los siguientes valores se resta el valor del semiperímetro (37.2 m) a cada uno
de los lados de la figura triangular (a = 35.61 m, b = 4.05 m y e = 34.74 m), como
se muestra a continuación:
s - a (resta S al lado a) = 37.2 m – 35.61 m = 1.59 m
s - b (resta S al lado b) = 37.2 m – 4.05 m = 33.15 m
s - e (resta S al lado e) = 37.2 m – 34.74 m = 2.46 m
E) Sustitución de los datos
Ahora sustituimos los resultados en la fórmula:
! = 37.2 ! (1.59 !)(33.15 !)(2.46 !)
Y multiplicamos los datos de los paréntesis (recuerda que m*m*m*m = m4):
! = 4,823.460252 !!
Para finalizar, se calcula la raíz cuadrada del resultado obteniendo el área total del
triángulo 1. Respecto a las unidades, la raíz cuadrada de m4 es igual a m2:
! = !". !" !!
Observa que el área se expresa en metros cuadrados. Recuerda redondear tu
cifra a dos decimales.
Paso 4. Cálculo del área parcial
Una vez calculadas las áreas de todos los trapecios y triángulos que se formaron
alrededor del polígono interno (E-F-G-H), se deberán sumar para obtener el área
parcial.
Los datos recabados son:
Área del trapecio 1 = 369.4 m2
Área del trapecio 2 = 297.6 m2
Área del triángulo 1 = 69.45 m2
Área del triángulo 2 = 109.53 m2
Área del triángulo 3 = 207.83 m2
Área del triángulo 4 = 323.25 m2
La suma se representará de la siguiente manera:
!!"#$%"& = 369.4 !! + 297.6 !! + 69.45 !! + 109.53 !! + 207.83 !! + 323.25 !!
Al realizar la operación, obtenemos el siguiente resultado:
!!"#$%"& = !, !"". !" !!
Paso 4. Cálculo de las áreas del polígono interior (área construida)
Para finalizar, restarás el área del polígono director (A-B-C-D) que calculaste en el
paso 2, con el área parcial que calculaste en el paso 4; con la finalidad de obtener
el área del polígono interno (E-F-G-H).
Los datos solicitados son los siguientes:
!!"#í!"#" !"#$%&'# = !, !"" !!
!!"#$%"& = !, !"". !" !!
Representamos la resta como se muestra a continuación:
!!"#í!"#" !"#$%"& = !!"#í!"#" !"#$%&'# − !!"#$%"&
Sustituimos los datos:
!!"#í!"#" !"#$%"& = !, !"" !! − !, !"". !" !!
Para finalmente obtener el área de la zona construida, que será:
!!"#í!"#" !"#$%"& = !, !"". !" !!