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Electrones libres
Electrones Bloch
Ec. Boltzmann
Cond. Eléctrica
Efectos termoeléctricos
Transporte con H̄
Mec. de dispersión
1.6 Transporte en presencia de campos magneticos.
Superficies de Fermi. Efecto Hall y Magnetoresistencia.
Cuantización
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Transporte con H̄
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Cuantización
Dinámica semiclásica en H̄ uniforme
r̄˙ = v̄n (k̄)= ~1 ∇k̄ εn (k̄)
l
~k̄˙ = −e 1 v̄ (k̄) × H̄
c n
=⇒ k̄˙ ⊥ ∇k̄ εn (k̄) y k̄˙ ⊥ H̄ ⇒
l
k̄k = k̄ · H̄ y εn (k̄) son constantes de movimiento
Los e− se mueven en curvas dadas por la intersección de superficies de energía constante
con planos perpendiculares al campo magnético
Superficie de Fermi cerrada
⇒ orbitas cerradas
Superficie de Fermi abierta (corta los bordes
de la zona de Brillouin) ⇒ orbitas abiertas
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Transporte con H̄
Mec. de dispersión
Orbitas de electrón y de hueco en presencia de H̄ uniforme.
Las orbitas se recorren de tal manera que los estados de
energía mas baja están a nuestra izquierda
Cuantización
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Transporte con H̄
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Cuantización
Movimiento en espacio real en presencia de H̄ uniforme.
Es facil determinar r̄⊥ = r̄ − Ĥ(Ĥ · r̄) ≡ Proyección de la orbita en espacio real en un
plano ⊥ H̄.
e
eH ˙
˙ = − eH r̄˙ ⊥
Ĥ · ~k̄˙ = − Ĥ × r̄˙ × H̄ = −
r̄ − Ĥ(Ĥ · r̄)
c
c
c
e integrando
r̄⊥ (t) − r̄⊥ (0) = −
~c
Ĥ × k̄(t) − k̄(0)
eH
la proyección de la órbita en espacio real es simplemente la orbita en k̄ rotada π/2
~c
alrededor de la dirección del campo y escalada por eH
.
La componente paralela al campo, suponiendo Ĥ = ẑ:
Z
z(t) = z(0) +
t
vz (t)dt con vz =
0
1 ∂ε
~ ∂kz
que no es necesariamente uniforme pues vz no es constante.
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Transporte con H̄
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Movimiento en espacio real en presencia de H̄ uniforme (II)
Electrones "libres" (ε = ~2 k 2 /2m∗ ): superficies de energía constante son esferas,
cuya intersección con planos son siempre circulos, que rotados 90o siguen siendo
circulos ⇒ recuperamos el resultado clasico
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Relación entre el periodo de las orbitas y la estructura de bandas
Z
t2 − t1 =
t2
Z
k2
dt =
t1
k1
~2 c
dk
=
˙
eH
k̄
Z
k2
k1
~2 c 1
dk
⇒ t2 − t1 =
(∇ ε)⊥ eH ∆ε
k̄
Z
k2
∆(k̄)dk
k1
¯ k̄) = (∇ ε)⊥ · ∆(
¯ k̄) = (∇ ε)⊥ ∆(k̄)
∆ε = ∇k̄ ε · ∆(
k̄
k̄
Tomando el límite ∆ε → 0:
t2 − t1 =
~2 c ∂A1,2
eH ∂ε
∂A1,2
∂ε
≡ velocidad a la que la porción de
la orbita entre k̄1 y k̄2 barre el area en un
plano cuando ε aumenta.
Para orbitas cerradas:
T (ε, kz ) =
~2 c ∂A(ε, kz )
eH
∂ε
que podemos poner en terminos de una
masa ciclotron efectiva m∗ (ε, kz ):
T (ε, kz ) =
2π
2πc ∗
=
m (ε, kz )
ωc
eH
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Recordatorio: Construcción de las Zonas de Brillouin (2D)
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Superficie de Fermi: Electrones libres en 2D.
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Superficie de Fermi: Electrones libres en 3D, Red FCC.
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Bandas de energía: Cu
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Superficie de Fermi: Metales nobles (FCC)
Transporte con H̄
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Dinámica semiclásica en campos Ē y H̄ perpendiculares
Si Ē < H̄ podemos cambiar a un sistema de referencia en el que Ē0 = 0, y el
problema se reduce al de sólo un campo H̄.
Deshaciendo el cambio, la proyección de la órbita en espacio real es:
~c
r⊥ (t) − r⊥ (0) = −
Ĥ × k̄(t) − k̄(0) + w̄t
eH
w̄ = c
E
(Ê × Ĥ)
H
w̄ ≡ velocidad con la que se mueve el sistema
de referencia en el que Ē0 = 0.
Podemos reescribir la ecuación para k̄˙ en terminos de w̄:
~k̄˙ = −
e
∇k̄ ε0 (k̄) × H̄
c~
con ε0 (k̄) = ε(k̄) − ~k̄ · w̄
órbitas en k̄: intersección de las superficies con ε0 constante con planos ⊥ H̄.
Si Ē > H̄ podemos cambiar a un sistema de referencia que se mueve con w̄ = c H
(Ê × Ĥ) en el que H̄0 = 0.
E
Movimiento hiperbólico: el campo Ē es tan intenso que la partícula es acelerada continuamente en la dirección del
campo y su energía media aumenta.
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Efecto Hall. Magnetoresistencia
Simetría cúbica: j̄ = σ Ē; Si H̄ 6= 0, los portadores son deflectados y en general j̄ ∦ Ē
¯ (H)Ē ⇔ Ē = ρ̄
¯(H)j̄ con ρ̄
¯(H) = σ̄
¯ −1 (H)
j̄ = σ̄
¯ (H), ρ̄
¯(H) ≡ tensores magnetoconductividad y magnetoresistencia
σ̄
Con la geometría del experimento (H̄ k z
⇒ j̄, Ē en el plano xy) y cond. estacionarias (jy = 0):
Ex
jx
Ey
Ex
Coeficiente Hall: RH =
=−
jx H
jy H
Ey ≡ campo Hall
VH = Ey dy ≡ Voltaje Hall
Magnetoresistencia: ρxx (H) =
1
Modelo de Drude: ρxx = σ0 (la resistencia no depende de H̄) y RH = + nqc
¿Que dicen los experimentos?
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Cuantización
Efecto Hall y Magnetoresistencia: fenomenología experimental
−1/RH nec para Al como función de ωc τ
I
I
eH
ωc = mc
: frecuencia ciclotron (freq.
angular de la órbita clásica)
ωc τ es una buena medida de la
intensidad del campo magnético:
I
I
ωc τ : los e− pueden completar
sólo una parte pequeña de la orbita
entre colisiones. (H̄ deforma poco las
órbitas electrónicas)
ωc τ : los e− completan muchas
orbitas entre colisiones. (H̄ cambia
drásticamente las órbitas electrónicas)
(un único portador con carga positiva !!)
Magnetoresistencia
I
metales alcalinos, semiconductores dopados (p o n): ρxx (H) → cte (satura)
|{z}
H→∞
para cualquier orientación cristalina. (comportamiento "clásico")
I
semiconductores intrínsecos ([p] = [n]) y metales como Bi, Sb, (con número igual
de huecos y de electrones): ρxx (H) no se satura para ninguna dirección y crece
indefinidamente con H̄.
I
metales nobles (Au, Ag, Cu): ρxx (H) se satura para ciertas direcciones pero no
para otras.
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Transporte con H̄
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Cuantización
Distribución de portadores en presencia de campos magnéticos (I)
Exploramos el régimen ωc τ : La dinámica es muy rápida y no valen las aproximaciones
para el cálculo de g ≡ gn (r̄, k̄, t) que usamos en los efectos termoeléctricos.
∂g
1
g − g0
+ v̄ · ∇r̄ g + F̄ · ∇k̄ g = −
∂t
~
τ
La ec. de Boltzman en la aproximación del tiempo de relajación puede integrarse
formalmente (el lado izquierdo es simplemente dg/dt):
Z t
Z t
P(t, t 0 )
dt 00
dt 0 g0 (t 0 )
g(r̄, k̄, t) =
; P(t, t 0 ) = exp −
0
00
τ (t )
t 0 τ (t )
−∞
g0 , τ dependen implicitamente del tiempo (g0 (t 0 ) = g0 (r̄(t 0 ), k̄(t 0 )))
Integrando por partes y usando que g0,n (r̄, k̄) = f (r̄, k̄) ≡ distribución de Fermi
Z
t
g(r̄, k̄, t) = f (r̄, k̄) −
dt 0 P(t, t 0 )
−∞
df (t 0 )
dt 0
f depende de t a través de ε(k̄(t 0 )), T (r̄(t 0 )) y µ(r̄(t 0 )) ⇒
df (t 0 )
∂f
d k̄(t 0 )
∂f
d r̄(t 0 )
∂f
d r̄(t 0 )
=
∇ ε(k̄) ·
+
∇r̄ T ·
+
∇r̄ µ ·
dt 0
∂ε k̄
dt 0
∂T
dt 0
∂µ
dt 0
y usando las ecuaciones semiclásicas:
Z t
∂f
∇r̄ T
g(r̄, k̄, t) = f (r̄, k̄) −
dt 0 P(t, t 0 )
−
v̄ · −eĒ − ∇r̄ µ − (ε − µ)
∂ε
T
−∞
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Distribución de portadores en presencia de campos magnéticos (II)
0
1. Si suponemos que τ (k̄) = τ (ε(k̄)),
como
ε(k̄) es conservado ⇒ τ (t ) no
depende de t 0 ⇒ P(t, t 0 ) = exp
t−t 0
τ (ε)
.
2. Podemos despejar v̄ en función de k̄˙ de las ecs. semiclásicas:
H̄ × ~k̄˙ + eH̄ × Ē = −eH̄ ×
v̄
× H̄
c
~c H̄ × k̄˙
e
H̄ × Ē
= − H 2 v̄ ⇒ v̄ = −
−c
c
e H2
H2
Usamos (1) y (2) para evaluar la integral sobre trayectorias:
Z
g =f +
t − t 0 ~c H̄ × k̄˙
∂f
dt 0 exp
· eĒ −
2
τ (ε)
e H
∂ε
−∞
t
=
|{z}
(Ā×B̄)·C̄=(C̄×Ā)·B̄
t − t 0 ~c ˙ ∂f
=f +
dt 0 exp
k̄
·
Ē
×
H̄
−
τ (ε) H 2
∂ε
−∞
Z
t
Integrando por partes:
g=f+
Z t
~c
∂f
1
t − t0
0
k̄−
<
k̄
>
Ē
×
H̄
dt
exp
·
−
con
<
k̄
>=
k̄(t 0 )
H2
∂ε
τ (ε) −∞
τ (ε)
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Densidad de corriente en presencia de campos magnéticos (I)
j̄(r̄, t) =
X
Z
−2e
ZB
n
~c
d k̄
∂f
v̄
(
k̄)g
(
r̄,
k̄,
t);
g
=
f
+
k̄−
<
k̄
>
·
Ē
×
H̄
−
n
n
n
n
(2π)3
H2
∂ε
(1) Todas las orbitas sobre la superficie de Fermi son cerradas:

 0 si t = nT
Z t
0
t −t
1
0
0
dt exp
k̄(t ) =
< k̄ >=
< τ T(ε) k̄(t) acotado!!
τ (ε) −∞
τ (ε)
En el lim
τ
T
= τ ω → ∞ podemos despreciar el efecto de < k̄ > y nos queda:
Z
j̄n = − 2e
ZB
=
|{z}
Z
d k̄
~c
∂f
d k̄ ∂f ~c
v̄n (k̄) −
k̄ · Ē × H̄ = 2e
k̄ · Ē × H̄
3
2
3
2
(2π)
∂ε H
ZB (2π) ∂~k̄ H
Z
Z
2ec
nec
d k̄
d k̄
∇k̄ f k̄ · Ē × H̄
− 2 Ē × H̄ , con n = 2
f
2
3
3
H
H
ZB (2π)
ZB (2π)
int. por partes
Podemos convertir la integral de volumen en una integral de superficie sobre el borde
de la Zona de Brillouin
"
#
Z
2ec
nec
j̄n =
dS
f
k̄
·
Ē
×
H̄
− 2 Ē × H̄
H 2 ΣZB
H
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Densidad de corriente en presencia de campos magnéticos (II)
"
j̄n =
2ec
H2
Z
#
nec
dS f k̄ · Ē × H̄ − 2 Ē × H̄
H
ΣZB
Si todas las orbitas en la superficie de Fermi son cerradas, los bordes de zona pueden
localizarse de tal manera que no haya órbitas que crucen los bordes de zona ⇒ todos
los estados del borde de zona están ocupados o desocupados
Si todos están desocupados ⇒ f se anula sobre el borde de zona:
necE Ex
1
nec
Ê × Ĥ = −new̄ ⇒ RH = −
=−
j̄n = − 2 Ē × H̄ = −
(electrones)
H
H
Hz jy
nec
I
Si todos los estados en el borde de zona están ocupados podemos reescribir la
integral anterior en terminos de f − 1 y repetir el argumento anterior para obtener:
pecE Ex
1
pec
j̄n = + 2 Ē × H̄ = +
Ê × Ĥ = +pew̄ ⇒ RH = −
=+
(huecos)
H
H
Hz jy
pec
I
Si contribuyen varias bandas, sumamos sus contribuciones:
j̄ =
X
n
j̄n = −
neff ecE 1
Ê × Ĥ ⇒ RH = −
H
neff ec
con neff ≡ suma de las densidades de portadores para cada banda.
¿Qué pasa si tenemos igual número de huecos y electrones neff = 0? (ver problema)
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Coeficiente Hall para Aluminio(I): Sup. de Fermi para electrones libres
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Coeficiente Hall para el Aluminio(II)
Cuando se incluyen los efectos del potencial periódico:
1. Los pequeños "bolsillos" en la IV Zona de Brillouin desaparecen.
2. Los estados de la III Zona se convierten en un conjunto de anillos desconectados
(1) + (2) ⇒ órbitas cerradas en ambas ramas de la superficie de Fermi !!
RH = −
(nIII
1
(nIII − pII )ec
≡ concentración de electrones en la III ZB y pII ≡ concentración de huecos en la II ZB)
n
nII + nIII = 1 = 30
2n
nII + pII = 2 = 30
)
⇒ nIII − pII = −
n0
= −1
3
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Densidad de corriente en presencia de campos magnéticos (III)
(2) Existen orbitas abiertas sobre la superficie de Fermi:
I
Los e− en esas órbitas no estan forzados por H̄ para seguir un mov. periódico en la dirección del campo
eléctrico como ocurre con las órbitas cerradas.
I
H̄ no es efectivo en prevenir que esos e− puedan adquirir energía de Ē : corriente en la dirección n̂ de la
orbita abierta caracterizada por ρxx (H) = EJ x : magnetoresistencia
x
¿Por qué @ corriente asociada a las orbitas abiertas cuando Ē = 0?
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Órbitas abiertas: Dependencia angular de la magnetoresistencia
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Magnetoresistencia y carácter de las órbitas: Resumen
I
metales alcalinos, semiconductores dopados (p o n): ρxx (H) → cte (satura)
|{z}
H→∞
para cualquier orientación cristalina. (comportamiento "clásico") (sólo órbitas
cerradas)
I
semiconductores intrínsecos ([p] = [n]) y metales como Bi, Sb, (con número igual
de huecos y de electrones): ρxx (H) no se satura para ninguna dirección y crece
indefinidamente con H̄. (ver problema)
I
metales nobles (Au, Ag, Cu): ρxx (H) se satura para ciertas direcciones pero no
para otras (existen órbitas abiertas)
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