Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión 1.5 Efectos termoeléctricos (Dinámica en presencia de gradientes de temperatura y potencial eléctrico) Cuantización Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización Distribución de portadores en presencia de gradientes de temperatura y potencial eléctrico ∂∇ T Condiciones estacionarias ∂∂tĒ = 0, ∂tr̄ = 0, ∂g = 0 pero sistema no homogeneo: ∂t T (r̄) !! (∃ distribución de temperaturas dentro del material, ∇r̄ T , ∇r̄ µ 6= 0) En la aproximación del tiempo de relajación: gn (r̄, k̄) = g0,n (r̄, k̄) + e τn (k̄)Ē · ∇k̄ gn (r̄, k̄) − τn (k̄)v̄n (k̄) · ∇r̄ gn (r̄, k̄) ~ Teniendo en cuenta que: ∇r̄ g(k̄, T (r̄), µ(r̄)) = ∂g ∂g ∇r̄ T + ∇r̄ µ ∂T ∂µ y asumiendo que podemos quedarnos a 1er orden (respuesta lineal ≡ sustituimos g → g0 en lado derecho de la ecuación para gn ): ∂f εn (k̄) − µ gn (r̄, k̄) = g0,n (k̄) + τn (k̄) − (−∇r̄ T ) v̄n (k̄) · −eĒ0 + ∂ε ε=εn (k̄) T con Ē0 = Ē + ∇r̄ µ . e (no incluimos explicitamente las dependencias en r̄ para aligerar la notación !!) Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización Densidades de corriente térmica j̄q , entrópica j̄s y de energía j̄ε j̄q ≡ flujo neto de calor por unidad de tiempo y superficie j̄s ≡ flujo neto de entropía por unidad de tiempo y superficie Utilizamos las ecuaciones termodinámicas para relacionarlas: dQ = TdS TdS = dU − µdN j̄ε (r̄, t) = X Z 2 n ZB ⇒ ⇒ d k̄ εn (k̄)v̄n (k̄)gn (r̄, k̄, t) (2π)3 j̄q (r̄, t) = X Z 2 n ZB j̄q = T j̄s T j̄s = j̄ε − µj̄N j̄N (r̄, t) = X Z 2 n ZB d k̄ v̄n (k̄)gn (r̄, k̄, t) (2π)3 d k̄ εn (k̄) − µ(r̄, t) v̄n (k̄)gn (r̄, k̄, t) (2π)3 Condiciones estacionarias: Sustituimos la expresión para gn (r̄, k̄) ¯ 11 Ē0 + L̄ ¯ 12 − ∇r̄ T j̄ = L̄ T ¯ 21 Ē0 + L̄ ¯ 22 − ∇r̄ T j̄q = L̄ T ¯ 11 = L0 , L̄ ¯ 12 = L̄ ¯ 21 = − 1 L1 , L̄ ¯ 22 = 1 L2 con los tensores L̄ e e2 Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización Densidades de corriente térmica j̄q , entrópica j̄s y de energía j̄ε (II) Lα = X Z 2 ZB n α d k̄ ∂f v̄n (k̄)v̄n (k̄) εn (k̄) − µ(r̄, t) τ ( k̄) − n (2π)3 ∂ε ε=εn (k̄) Tratamos de relacionarlo con la conductividad eléctrica. Asumiendo τn = τn (εn (k̄)), definimos: Z X d k̄ ¯ (ε) = σ̄ 2e2 τn (ε) δ ε − εn (k̄) v̄n (k̄)v̄n (k̄) 3 (2π) ZB n y obtenemos: Lα = Z +∞ −∞ ∂f ¯ (ε) dε − (ε − µ)α σ̄ ∂ε ∂f ¯ (εF ) (tensor ∼ δ(ε − εF )) con µ ' εF tenemos L0 = σ̄ ∂ε 1 2 conductividad!!), pero L = L = 0 !! Necesitamos ir mas alla de esa aproximación sencilla: Desarrollo de Sommerfeld ([?],p. 46, 760) Z +∞ Z µ π2 7π 4 kB T 6 dεH(ε)f (ε) = dεH(ε)+ (kB T )2 H 0 (µ)+ (kB T )4 H 000 (µ)+O 6 360 µ −∞ −∞ Tomando − Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización Densidades de corriente térmica j̄q , entrópica j̄s y de energía j̄ε (III) Z +∞ Z +∞ ∂f dεH(ε)f (ε) = dεK (ε) − Podemos calcular integrales como: con ∂ε −∞ −∞ Z ε dK (ε) H(ε) = ⇐⇒ K (ε) = dε0 H(ε0 ) con un desarrollo cerca de µ dε −∞ Como T TF , f (ε) se diferencia de su valor a T=0 sólo en un entorno del orden de R +∞ R εF KB T de ε = µ ⇒. La diferencia entre −∞ dεH(ε)f (ε) y su valor a T = 0 −∞ dεH(ε) esta determinada por la variación de la función en ese entorno. Si no varia muy rapidamente podemos calcular esa diferencia reemplazando H(ε) por los primeros terminos de su desarrollo de Taylor. Usando el desarrollo de Sommerfeld: ¯ 11 = σ̄ ¯ (εF ) L̄ 2 ¯ 22 = π (k T )2 σ̄ ¯ (εF ) L̄ B 3e2 2 ¯ 21 = − π (k T )2 σ̄ ¯ 12 = L̄ ¯ 0 (εF ) L̄ B 3e ¿Por qué es suficiente quedarse con µ ' εF ? Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización Conductividad térmica. Ley de Wiedemann-Franz ¯ 12 − ∇r̄ T ¯ 11 Ē0 + L̄ = L̄ T ¯ 21 Ē0 + L̄ ¯ 22 − ∇r̄ T = L̄ j̄ j̄q T ¯ relaciona la corriente térmica con el ∇r̄ T en ausencia de corriente eléctrica κ̄ ¯ ∇T j̄q = −κ̄ ∃ acumulación de carga en uno de los extremos debido a la corriente eléctronica inducida por ∇r̄ T hasta que se alcanza el estado estacionario en el que el campo creado por esa carga acumulada cancela el efecto del ∇r̄ T ¯ 11 −1 L̄ ¯ 12 − ∇r̄ T j̄ = 0 ⇒ Ē0 = − L̄ T −1 ¯ 22 − L̄ ¯ 21 L̄ ¯ 11 ¯ 12 ¯ = L̄ y sustituyendo en la expresión de j̄q : κ̄ L̄ ¯0 ∼ Para metales, como σ̄ ¯ σ̄ εF εF 2 ) BT ⇒ el 1er termino es mayor que el 2o por un factor ( k ¯ 22 + O ¯ = L̄ κ̄ kB T εF 2 = π2 3 kB e 2 ¯ (εF ) T σ̄ Recuperamos la ley de Wiedemann-Franz !! κ π2 = σT 3 kB e 2 = 2.44 × 10−8 watt-ohm/K2 Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Experimentos: Desviaciones de la Ley de Wiedemann-Franz Cuantización Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización Efecto Seebeck. Termopares Diferencia de potencial debida a un gradiente de temperaturas. ¯∇ T Ē0 = Q̄ r̄ ¯ 12 2 2 ¯ = L̄ ¯ 11 −1 L̄ = − π kB T σ̄ ¯ −1 σ̄ ¯0 Q̄ T 3 e Efecto utilizado en los termopares para medir temperaturas. Sistema conductor formado por dos metales conectados a través de un voltimetro con una resistencia muy grande (j̄ ' 0). Considerando x la distancia a lo largo de los hilos metálicos el voltaje medido es: 1 Z V = 0 1 Z V = QB 2 Ē0B · d x̄ + 2 Z 1 Ē0A · d x̄ + Z 2 0 Ē0B · d x̄ Z 2 Z T2 ∂T ∂T dx+ QA dx = (QA −QB )dT ∂x ∂x 1 T1 Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización Efecto Peltier (efecto inverso al Seebeck) T cte en el circuito ⇒ ∂T ∂x = 0. ∃ una corriente térmica que acompaña a la corriente eléctrica j̄ j̄q ¯ 11 Ē0 = L̄ ¯ = L̄21 Ē0 ¯ 11 −1 j̄ = Π̄ ¯ 21 L̄ ¯ j̄ j̄q = L̄ ¯ : Coeficiente Peltier Π̄ Flujo de calor (ΠA − ΠB )j̄ que entra en el circuito en (1) y sale en (2) (suponemos ΠA > ΠB : (1) se enfria y (2) se calienta (Enfriamiento controlado).