Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión 1.3 Ecuación de Boltzmann y Aproximación del tiempo de relajación Cuantización Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización Ecuación de Boltzmann (I) Describe la acción conjunta sobre gn (r̄, k̄, t) de los dos mecanismos que caracterizan el transporte: 1. Los campos externos cambian la distribución de portadores que tenemos en equilibrio termodinámico. 2. Las colisiones tienden a llevar al sistema de nuevo al equilibrio. Las colisiones crean y mantienen el equilibrio termodinámico a la temperatura local T (r̄) impuesta por las condiciones del experimento, llevando el sistema a la distribución de equilibrio gn,0 (r̄, k̄) 1 gn,0 (r̄, k̄) = f (r̄, k̄) = exp εn (k̄)−µ(r̄) kB T (r̄) +1 ¿Cómo varia gn por efecto de los campos externos y las colisiones? (notación gn ≡ g) g(r̄, k̄, t) = g(r̄ − v̄(k̄)dt, k̄ − F̄dt , t − dt) + ~ ∂g(r̄, k̄, t) ∂t col Teorema de Liouville: volumenes en el espacio de fases se mantienen en la evolución con la dinámica semiclásica g(r̄, k̄, t)d r̄(t)d k̄(t) = g(r̄ − v̄(k̄)dt, k̄ − F̄dt , t − dt)d r̄(t − dt)d k̄(t − dt) ~ El Tma. permite la cancelación de los elementos de volumen del espacio de fases en ambos lados de la ecuación Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización ¿Cómo varia gn por efecto de los campos externos y las colisiones? Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Transporte con H̄ Efectos termoeléctricos Mec. de dispersión Cuantización Ecuación de Boltzmann (II) ∂g(r̄, k̄, t) ∂t =− col ∂g(r̄, k̄, t) ∂t | {z (1) + out } ∂g(r̄, k̄, t) ∂t | {z (2) in } (1) e− ’s que estaban en r̄ − v̄(k̄)dt, k̄ − F̄dt pero no han llegado a r̄, k̄ porque han sido ~ desviados por las colisiones. (2) e− ’s que no estaban en r̄ − v̄(k̄)dt, k̄ − F̄dt pero han llegado a r̄, k̄ porque han sido ~ desviados por las colisiones. Para calcular (1) y (2) necesitamos conocer las probabilidades de transición W (k̄, k̄0 ) asociadas a los diferentes mecanismos de dispersion (defectos, fonones) (ver 1.7) ∂g(r̄, k̄, t) ∂t Z =− col ZB d k̄0 W (k̄, k̄0 ) 1 − g(k̄0 ) g(k̄)+ (2π)3 Z ZB d k̄0 W (k̄0 , k̄)g(k̄0 ) 1 − g(k̄) (2π)3 Desarrollando en dt y quedandonos con los terminos de primer order (g ≡ gn (r̄, k̄, t)): 1 ∂g + v̄ · ∇r̄ g + F̄ · ∇k̄ g = ∂t ~ ∂g ∂t Ecuación de Boltzmann col Ecuación integro-diferencial dificil de resolver !!! Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización Aproximación del tiempo de relajación (I) La propiedad básica de las colisiones es que deben forzar a la distribución g a relajarse a su forma en equilibrio térmico g0 (r̄, k̄) = f (r̄, k̄) Aproximación del tiempo de relajación: las forma funcional mas sencilla para el termino de colisiones que tiene esa propiedad ∂g(r̄, k̄, t) ∂t =− col g(r̄, k̄, t) − g0 (r̄, k̄) τ (r̄, k̄) 1 g0 (r̄, k̄) = exp εn (k̄)−µ(r̄) kB T (r̄) +1 ¿Qué significa τ (r̄, k̄) ≡ tiempo de relajación? Supongamos que conectamos un campo externo, que crea una distribución estacionaria de no equilibrio gs tat(k̄), y lo desconectamos rapidamente: La Ec. de Boltzmann se reduce a: F̄ = 0 ∂g g − g0 =− ∇r̄ g = 0 ⇒ ∂t τ (homogeneo, por simplicidad) τ (r̄, k̄) = τ cte condición de contorno: g(k̄, t = 0) = gstat (k̄) g(k̄, t) − g0 (k̄) = gstat (k̄) − g0 (k̄) e−t/τ τ mide la velocidad a la que la distribución de no equilibrio relaja a la distribución de equilibrio a través de las colisiones (al cabo de un tiempo τ el sistema ha perdido toda la memoria de lo que ha pasado) Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización Aproximación del tiempo de relajación (II) La aproximación del tiempo de relajación convierte una ecuación integro-diferencial en una ecuación diferencial: ∂g 1 g − g0 + v̄ · ∇r̄ g + F̄ · ∇k̄ g = − ∂t ~ τ con g ≡ gn (r̄, k̄, t) y τ ≡ τn (k̄, r̄) I En principio τ ≡ τn (k̄, r̄) al igual que g. En la mayoria de los casos podemos considerarlo independiente de r̄ (mecanismos de dispersion (scattering) homogeneos) No se verifica si, p.e., tenemos una distribución de defectos muy inhomogenea. I En general no podemos despreciar la dependencia de τ en k̄ si queremos ser cuantitativos, pero en muchos casos es suficiente considerar que depende de k̄ a través de la energía τn (k̄) ≡ τn (εn (k̄)) Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización Soluciones estacionarias de la ecuación de Boltzmann en la Aprox. del tiempo de relajación Condiciones estacionarias: g(r̄, k̄) = g0 (r̄, k̄) + ∂ Ē ∂∇r̄ T ∂g = 0, = 0, =0 ∂t ∂t ∂t e τ (k̄)Ē · ∇k̄ g(r̄, k̄) − τ (k̄)v̄(k̄) · ∇r̄ g(r̄, k̄) ~ Podemos resolver esta ecuación iterativamente: 1. Aproximamos los terminos en ∇k̄ g y ∇r̄ g por ∇k̄ g0 y ∇r̄ g0 ⇒: solución de 1er orden (lineal) en los campos externos: Ecuación de Boltzmann linealizada g(r̄, k̄) ' g (1) (r̄, k̄) = g0 (r̄, k̄) + e τ (k̄)Ē · ∇k̄ g0 (r̄, k̄) − τ (k̄)v̄(k̄) · ∇r̄ g0 (r̄, k̄) ~ 2. Aproximamos los terminos en ∇k̄ g y ∇r̄ g por ∇k̄ g (1) y ∇r̄ g (1) ⇒: aproximación de 2o orden g (2) , cuadrática (∝ Ē · Ē) en los campos externos. En general tendriamos una serie de potencias en los campos externos. La conducción ohmica es lineal en Ē !!: podemos quedarnos con g (1) y suponiendo un sistema homogeneo ∇r̄ g = 0, se reduce a: g(k̄) ' g (1) (k̄) = g0 (k̄) + e τ (k̄)Ē · ∇k̄ g0 (k̄) ~ Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión Cuantización Soluciones estacionarias en la Aprox. del tiempo de relajación (II) e τ (k̄)Ē · ∇k̄ g0 (k̄) Podemos interpretar esta ecuación ~ e como un desarrollo de g0 (k̄) cerca de k̄: g(k̄) ' g0 k̄ + τ (k̄)Ē ~ Distribución de Fermi desplazada ~e τ (k̄)Ē con respecto a la posición de equilibrio ⇒ asimetría en k̄ que da lugar a una corriente. g(k̄) ' g (1) (k̄) = g0 (k̄) + Electrones libres Electrones Bloch Ec. Boltzmann Cond. Eléctrica Efectos termoeléctricos Transporte con H̄ Mec. de dispersión La relajación al estado de equilibrio requiere procesos inelasticos Cuantización