Ecuaciones Generales y el Planteamiento del Problema

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CAPíTULO 2
Ecuaciones Generales y el Planteamiento del
Problema
2.1.
Introducción
En el capítulo anterior describimos algunos conceptos sobre la acústica misma, y sobre la acústica oceánica. En este capítulo, empezando
con la derivación de la ecuación de la onda, vamos a plantear el problema. En la próxima sección se describe matemáticamente el fenómeno
del sonido. Después seguimos con la descripción de las ondas planas,
las cuales encuentran mucho uso en denición de la física de las ondas.
Con estas descripciones dadas, seguiremos con el planteamiento del
problema. Empezando desde el principio, vamos a proceder utilizando el concepto de
las series de Fourier
y
la transformada de Fourier .
Finalmente, vamos a introducir los parámetros adimensionales que gobiernan el problema, el cual es el último paso antes de empezar a resolver
.
2.2.
Las Ecuaciones y Variables de Acústica Lineal
El sónido es el resultado de la propagación de una perturbación variable en el espacio y en el tiempo de variables dinámicas y termodinámicas que describen el medio. Si las perturbaciones son muy pequeñas con
respecto a los valores de las variables en el medio no perturbado, las
ecuaciones de Navier-Stokes que gobiernan la propagación de dichas
perturbaciones pueden linealizarse dando lugar a las ecuacionesde la
acústica lineal. Puesto que en los campos acústicos en que estamos interesados, los valores característicos de las perturbaciones de presión y
de velocidad son, respectivamente, del orden
, donde
po
y
p0 ∼ 10−3 po
y
0
u ∼ 10−7 c
c son valores característicos de la presión y de la velocidad
del sónido no perturbados, dicha liealización está justicada. Además,
15
2.3. ONDAS PLANAS EN FLUIDOS
16
los rangos de longitudes de onda y frecuencia de las perturbaciones son
táles que
ωo λ2o /ν 1
, donde
ν
es el coeciente de la viscocidad cin-
emática, los fenómenos disipativos (viscosidad y conducción de calor)
pueden despreciarse en las ecuaciones linealizadas[ 17] . En este, puede
demostrarse fácilmente que las ecuaciones de continuidad, cantidad de
movimiento y entropía para las perturbaciones
ρ 0 , p0 , u 0
son
∂ρ0
+ ∇ · (u0 ρ0 ) = 0,
∂t
(2.2.1)
ρo
(2.2.2)
∂u0
= −∇p0 ,
∂t
p 0 = c2 ρ 0 .
(2.2.3)
Cambiando dichas ecuaciones, es fácil obtener la ecuación de ondas
, que para un medio homogéneo como el que se va a considerar aquí
resulta
∇ 2 p0 −
(2.2.4)
1 ∂ 2 p0
= 0,
c2 ∂t2
siendo la densidad del ambiente independiente de la posición de la
onda.
A continuación, se considerará la evolución particular más simple
de(2.2.4), la de una onda plana monocromática.
2.3.
Ondas Planas En Fludos
La propiedad característica de la onda plana es, que cada variable
acústica tiene amplitúd y fase constante en cualquier plana perpendicular a la dirección de la propagación. Ya que la supercie de fase
constante, para cualquier onda divergente, se convierte cuasi-planar
cuanto más lejos de la fuente, se puede decir que a gran distancia la
onda se comporta como una onda plana. En el sistema de coordenadas
elegido, si la onda se propaga a lo largo de la coordenada x, la ecuación
de onda tiene la forma
2.3. ONDAS PLANAS EN FLUIDOS
(2.3.1)
donde
1∂
∂
−
∂x c ∂t
∂
1∂
+
∂x c ∂t
17
p=0
p = p (x, t). Entonces en la forma compleja, la solución harmóni-
ca para la presión acústica de una onda plana es
p = Aei(ωt−kx) + Bei(ωt+kx) .
(2.3.2)
Dicho esto, para una onda plana arbitraria, se puede probar una
solución de la forma;
iφ(ω)
p (ω, x, y, z) = A (ω) e
(2.3.3)
nx x + ny y + nz z
exp iω
−t
c
con
ω/c = k = 2π/λ, knx = kx , kny = ky , knz = kz ,
donde
k, kx , ky , kz
son el módulo del vector de la onda (número de
onda), y sus componentes a lo largo de los ejes de coordenadas, respectivamente, y
λ
es la longitud de onda. Reescribiendo 2.3.3 obtenemos
p = A (ω) eiφ(ω) ei(k·x−ωt) .
(2.3.4)
En este trabajo tenemos un paquete de ondas, el cual comienza a
t = 0 a lo largo del canal de isovelocidad en una dirección
dada por el vector de onda κo y una frecuencia Ω. La función que vamos
propagarse en
a utilizar para el paquete de ondas es
2
2
2
P 0 (x, z, t) = Ae−µ (x +z ) ei(κo ·x−Ωt)
(2.3.5)
donde
µ
es un parámetro del tamaño de la onda. Para que (2.3.5)
represente un paquete de ondas debe vericarse
µ
1
h
y
µ κo
donde
h
es la anchura del canal.
2.4. EL PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
2.4.
18
El Planteamento Del Problema
Nuestro sistema es un sistema de 2 dimensiones, siendo x el axis
horizontal y z el axis vertical. Entonces, la ecuacion de la onda se deduce
de (2.2.4) como
∂ 2P 0
= c2
2
∂t
(2.4.1)
∂ 2P 0 ∂ 2P 0
+
∂x2
∂z 2
,
satisfaciendo las condiciones de contorno
∂P 0
|
h= 0
∂z z=± 2
(2.4.2)
Aquí,
± h2
P 0 (x → ±∞, z) 6= ∞.
y
son las paredes del recipiente, lo que son en nuestro caso ,
el fondo y la supercie del océano. Sobre estas supercies la componente
normal de la velocidad del uido debe ser cero. Obsérvese también que
la guía de onda es ilimitada en la dirección
transformada de Fourier
x,
lo que permite aplicar la
de la función de presión a lo largo del eje x
ˆ∞
0
dκ P (κ, z, t) eiκx
P (x, z, t) =
(2.4.3)
−∞
donde
κ
es el número de onda longitudinal. El uso de la transformada
de Fourier garantiza el cumplimiento de la segunda de las condiciones
(2.4.2). La ecuación (2.4.1) se puede reescribir entonces como
(2.4.4)
ˆ∞
∂ 2 P (κ, z, t) iκx
e = c2
dκ
∂t2
−∞
ˆ∞
2
iκx
dκ −κ P (κ, z, t) e
∂ 2 P (κ, z, t) iκx
+
e
∂z 2
−∞
e igualando los integrandos esta ecuación se encuentra
(2.4.5)
∂ 2 P (κ, z, t)
∂ 2 P (κ, z, t)
2
2
= c −κ P (κ, z, t) +
∂t2
∂z 2
Las condiciones de contorno para
P (κ, z, t) se obtienen de transformar
la primera de las condiciones (2.4.2), lo que proporciona
(2.4.6)
∂P (κ, z, t)
|z=± h = 0.
2
∂z
2.4. EL PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
19
Los modos discretos de la guía de onda
Figura 2.4.1.
con sus propios números de onda.(adaptado de [ 18])
P (κ, z, t)mediante
Las condiciones de contorno (2.4.6) permiten expresar
una
serie de Fourier de senos
(2.4.7)
de la forma
∞
X
h
πz i
,
P (κ, z, t) =
Pn (κ, t) sen (2n + 1)
h
n=0
que introducida en (2.4.5), proporciona la ecuación diferencial ordinaria
para
Pn (κ, t)
(2.4.8)
2
d2 Pn (κ, t)
2 π
2
2
+ c κ + (2n + 1) 2 Pn (κ, t) = 0.
dt2
h
Llamando la expresión
(2.4.9)
c
2
π2
κ + (2n + 1) 2 = ωn2 (κ) ,
h
2
2
(2.4.8) vale
(2.4.10)
d2 Pn (κ, t)
+ ωn2 (κ) Pn (κ, t) = 0.
dt2
La expresión (2.4.9) dene la
relación de dispersión
o dependencia
de las frecuencias naturales del sistema con los números de onda espa(2n+1)
ciales κ y
π . Como se verá, las ondas que se propagan en guías
h
de onda son dispersivas debido a la presencia del contorno.
Para la función
Pn (κ, t),
la ecuación de onda se reduce a una
ecuación con derivadas ordinarias cuya solución es
2.4. EL PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Pn (κ, t) = Pn◦ (κ) cos (ωn t) +
(2.4.11)
donde
Pn◦ (κ)
y
Ṗn◦ (κ)
20
1
Ṗn◦ (κ) sen (ωn t) ,
ωn
se obtienen al transformar las condiciones
iniciales del pulso.
Introduciendo esta expresión en 2.4.7 se obtiene
(2.4.12)
P (κ, z, t) =
∞ X
n=0
h
πz i
1
.
Ṗn◦ (κ) sen (ωn t) sen (2n + 1)
Pn◦ (κ) cos (ωn t) +
ωn
h
que introducida en 2.4.3 proporciona
(2.4.13)
ˆ∞ h
πz i
1
sen (2n + 1)
P (x, z, t) =
Ṗn◦ (κ) sen (ωn t) eiκx .
dκ Pn◦ (κ) cos (ωn t) +
h
ω
n
n=0
∞
X
0
−∞
Para resolver la integral (2.4.13), el siguiente paso en el desarrollo
Pn◦ (κ) yṖn◦ (κ), los cuales
son los valores iniciales de Pn (κ, t)y de Ṗn (κ, t). Una vez que expresamos estos dos coecientes en función de κ, podremos ser capaces de
es encontrar los valores de los coecientes
encontrar valores para la función de la presión, mediante los métodos
numéricos ó los métodos asintóticos. Sabemos que estos dos coecientes
previenen de la forma de
la serie de Fourier
P (κ, z, t),
P (κ, z, t) |t=0 , y
de la función
en tiempo inicial. A continuación vamos a expresar
∂P(κ,z,t)
|t=0 en forma de
y utilizando expresiones del
∂t
series de Fourier,
pulso en el instante inicial
(2.4.14)
2
2
2
P 0 (x, z, t) = Ae−µ (x +z ) cos (κ◦x x + κ◦z z − Ωt) .
vamos a buscar expresiones convenientes para los coecientes
Pn◦ (κ)
y
Ṗn◦ (κ).
Pues, la
(2.4.15)
transformada de Fourier inversa
1
P (κ, z, t) =
2π
de la función
ˆ∞
dxP 0 (x, z, t) e−iκx .
−∞
P (κ, z, t) es
2.4. EL PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
21
y su derivada por tiempo
∂P (κ, z, t)
1
=
∂t
2π
(2.4.16)
ˆ∞
dx
∂P 0 (x, z, t) −iκx
e
.
∂t
−∞
Cuando
t = 0,
teniendo en cuenta (2.4.15) y (2.4.16), llamamos
P (κ, z, t) |t=0 = Fκ (z)
(2.4.17)
y
∂P (κ, z, t)
|t=0 = Gκ (z)
∂t
(2.4.18)
Los valores de
(2.4.19)
P 0 (x, z, t) |t=0 ,
y
∂P 0 (x,z,t)
|t=0 son, mediante (2.4.14)
∂t
2
2
2
P 0 (x, z, 0) = Ae−µ (x +z ) cos (κ◦x x + κ◦z z)
y
(2.4.20)
∂P 0 (x, z, 0)
2
2
2
= AΩe−µ (x +z ) sen (κ◦x x + κ◦z z) .
∂t
Por otro lado podemos escribir
P (κ, z, t)
Fourier
(2.4.21)
P (κ, z, t) =
y
∂P(κ,z,t)
en
∂t
series de
∞
X
h
zi
Pn (κ, t) sen (2n + 1) π
h
n=0
y
∞
(2.4.22)
h
∂P (κ, z, t) X
zi
=
Ṗn (κ, t) sen (2n + 1) π .
∂t
h
n=0
Vamos a utilizar la propiedad de ortogonalidad de los senos en este
punto. Integramos (2.4.21) y (2.4.22)
(2.4.23)
ˆh/2
−h/2
h
zi
dz sen (2m + 1) π P (κ, z, t)
h
2.4. EL PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
ˆh/2
= Pn (κ, t)
22
h
h
zi
zi
dz sen (2n + 1) π sen (2m + 1) π
h
h
−h/2
y
(2.4.24)
ˆh/2
h
z i ∂P (κ, z, t)
dz sen (2m + 1) π
h
∂t
−h/2
ˆh/2
= Ṗn (κ, t)
h
h
zi
zi
dz sen (2n + 1) π sen (2m + 1) π .
h
h
−h/2
Imponiendo la regla de ortogonalidad de las funciones seno, obtenemos
(2.4.25)
ˆh/2
2
Pn (κ, t) =
h
h
zi
dz sen (2n + 1) π P (κ, z, t)
h
−h/2
y
(2.4.26)
2
Ṗn (κ, t) =
h
ˆh/2
h
z i ∂P (κ, z, t)
.
dz sen (2n + 1) π
h
∂t
−h/2
Cuando
t = 0,
(2.4.27)
se obtienen
2
Pn◦ (κ) =
h
ˆh/2
h
zi
dz sen (2n + 1) π Fκ (z)
h
−h/2
y
(2.4.28)
2
Ṗn◦ (κ) =
h
ˆh/2
−h/2
respectivamente.
zi
dz sen (2n + 1) π Gκ (z)
h
h
2.4. EL PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
23
Con (2.4.27) y (2.4.28), hemos obtenido las expresiones necesarias
para
Pn◦ (κ) y Ṗn◦ (κ). Nos queda expresar Fκ (z) y Gκ (z) en tal forma
que podamos integrar (2.4.27) y (2.4.28). Consideremos las relaciones
(2.4.15) , (2.4.16) , (2.4.19) y (2.4.20) en
t = 0.
Vamos a utilizar estas
relaciones con (2.4.27) y (2.4.28) para cumplir el objetivo. Poniendo
el (2.4.19) en el (2.4.15) teniendo en cuenta el (2.4.17), y poniendo el
(2.4.20) en el (2.4.16) teniendo en cuenta el (2.4.18) se obtienen
ˆ∞
1
Fκ (z) =
2π
(2.4.29)
2
2
2
dxAe−µ (x +z ) cos (κ◦x x + κ◦z z) e−iκx ,
−∞
y
(2.4.30)
1
Gκ (z) =
2π
ˆ∞
2
2
2
dxΩAe−µ (x +z ) sen (κ◦x x + κ◦z z) e−iκx .
−∞
El cálculo de
Pn◦ (κ)
y
Ṗn◦ (κ)
realizado en detalle en el apéndiceA
proporciona
[(2n+1) h −κ◦z ]
−κ)2
iA −(κ◦x
−
4µ2
4µ2
e
e
Pn◦ (κ) =
4hµ2
π
(2.4.31)
2
y
2
[(2n+1) h −κ◦z ]
−κ)2
ΩA −(κ◦x
−
4µ2
4µ2
e
e
.
Ṗn◦ (κ) = −
2
4hµ
π
(2.4.32)
Entonces (2.4.13) se escribe
(2.4.33)
∞
X
πz i
P 0 (x, z, t) =
sen (2n + 1)
h
n=0
h
ˆ∞
"
dκeiκx
2
[(2n+1) h −κ◦z ]
−κ)2
iA −(κ◦x
−
4µ2
4µ2
e
e
cos (ωn t)
4hµ2
π
−∞
#
2
[(2n+1) πh −κ◦z ]
−κ)2
1 ΩA −(κ◦x
−
4µ2
−
e 4µ2 e
sen (ωn t)
ωn 4hµ2
q 2
donde ωn (κ) =
c2 κ2 + (2n + 1)2 πh2 que aparece en (2.4.9).
P 0 (x, z, t) una función real podemos reescribir (2.4.33) como;
Siendo
2.4. EL PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
P 0 (x, z, t) =
(2.4.34)
2<
∞
ˆ

"
dκeiκx ie
24
∞
h
A X
πz i
sen
(2n
+
1)
·
4hµ2 n=0
h
−(κ◦x −κ)2
4µ2
0
#
2
2

(2n+1) π −κ◦z ]
(2n+1) π −κ◦z ]
2
[
[
−(κ
−κ)
h
h
◦x
Ω
−
−
2
2
2
4µ
4µ
4µ
e
e
cos (ωn t) −
e
sen (ωn t)

ωn
Con (2.4.35) ya denimos la función de la presión. Sin embargo
antes de analizarla y llevar a cabo su cálculo, es conveniente escribirla
en términos adimensionales. Esta permitirá ver más claramente el orden de magnitud de las variables del problema y reducir el número de
constantes que aparecen en el mismo. Se adimensionalizará
P 0 (x, z, t) =
(2.4.35)
2<
∞
ˆ

"
dκeiκx ie
∞
h
A X
πz i
sen
(2n
+
1)
4hµ2 n=0
h
−(κ◦x −κ)2
4µ2
0
#
2
2

(2n+1) π −κ◦z ]
(2n+1) π −κ◦z ]
2
[
[
−(κ
−κ)
h
h
◦x
Ω
−
−
2
2
2
4µ
4µ
4µ
e
cos (ωn t) −
e
e
sen (ωn t)

ωn
introduciendo las siguientes variables y parámetros adimensionales:
η=
x
h
,
χ = κh
,
z
h
χ◦z = κ◦z h
,
ξ=
ν = 2µh
,
Λ=Ω
(2.4.36)
τ =t
c
h
,
χ◦z = κ◦z h
P0
P̂ =
A2h2 µ2
0
,
,
q
ω̂n (χ) = χ2 + (2n + 1)2 π 2 .
Entonces, la ecuación(2.4.35) se escribe
h
c
2.4. EL PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
P̂ 0 (η, ξ, τ ) =
(2.4.37)
∞
X
sen [(2n + 1) πξ] e
25
−[(2n+1)π−χ◦z ]2
ν2
n=0
ˆ
i
∞
dχeiχη e
−(χ◦x −χ)2
ν2
0
ˆ
∞
dχe
+i
iχη
e
eiω̂n τ
Λ
(1 +
)
2
ω̂n
−(χ◦x −χ)2
ν2
0
Λ
e−iω̂n τ
(1 −
)
2
ω̂n
donde se ha hecho uso de la forma exponencial de las funciones
trigonométricas
cos (ω̂n τ )
y
sen (ω̂n τ ).
Los integrandos involucrados en (2.4.37) son altamente oscilatorios
para valores de
η
y/o
τ
grandes. En el próximo apartado se calcu-
larán dichas integrales mediante una adaptación eciente del método
de Simpson para funciones altamente oscilantes. Asimismo dichos cálculos se compararán con los proporcionados por el método de la fase
estacionaria en la sección 3.3 en la página 32.