Relacion 4.CONTINUIDAD Y LÍMITE FUNCIONAL

Relacion 4.CONTINUIDAD Y
LÍMITE FUNCIONAL
1 Demuestrese
i) que si una función tiene límite, éste es único.
ii) aplicando la de…nición de límite, que
1
a) limx!0 xsen x1 = 0
b) limx!1 (x¡1)
4 = 1
iii) que no existe limx!0 cos x1
2 Estúdiese la continuidad de la funcion f :R¡!R; de…nida por:
f (x ) =
(
x
si
x2Q
1 ¡ x si x 2 R ¡ Q
3 Sean f y g funciones de R en R, continuas en todo R. Supongamos
que f (x) = g(x); 8x 2 Q. Pruébese que f = g: En particular, si f :R
¡!R es continua en R y f restringida a Q es constante, entonces f es
constante.
4 Sea A un conjunto no vacío de números reales : Sea f :R ¡!R la
función de…nida por
f (x ) := inf fj x ¡ a j; a 2 Ag :
Pruébese que
j f(x) ¡ f(y) j·j x ¡ y j; 8x; y 2 R:
Dedúzcase que f es continua en todo R:
5 Estúdiese la continuidad de las funciones f; g :R¡!R de…nidas por:
1
2
8x 2 R
f (x) = E (x2 )
8
<
xE
g (x) = :
1
µ ¶
1
x
si x 2 R¤ = R ¡ f0g
si x = 0
6 Pruébese que toda función de N en R es continua, esto es, que las
sucesiones de números reales son funciones continuas.
7 Pruébese que si A es un conjunto …nito no vacío de números reales,
toda función real de…nida en A es continua en A.
8 Consideremos el conjunto de números reales:
½
¾
1
A=
: n 2 N [ f0g.
n
Pruébese que toda función real de…nida en A es continua en
½
¾
1
:n2N :
n
Dése un ejemplo de una función real f de…nida en A que no sea continua
en 0.
9 Utilícese la caracterización " ¡ ± de la continuidad para probar que la
función f : R¡!R dada por f (x) = x2 ; 8x 2R; es continua en R.
10 Compruébese la continuidad de las funciones
i) f (x) = x2 ¡ 2x
ii) f (x) = Ln x + 1
(x > 0)
en un punto cualquiera x0, determinando para cada " > 0 un número
± > 0 tal que
jf (x) ¡ f (x0 )j · " siempre que sea jx ¡ x0 j · ±.
11 Sean f1 y f2 funciones de R en R continuas en R. Estúdiese la
continuidad de la función
f : R ¡!R, de…nida por:
(
f1(x); si x 2 R¡
f (x ) =
f2(x); si x 2 R+
0
12 Dado un número real positivo a, pruébese que existe x 2R+ tal que
x = a: El tal x es único. (Existencia y unicidad de la raíz cuadrada para
reales positivos).
13 Dése un ejemplo de una función continua cuya imagen no sea un
intervalo.
2
3
14 Dése un ejemplo de una función de…nida en un intervalo cuya imagen
sea otro intervalo y que no sea continua.
15 Dése un ejemplo de una función continua en todo R, no constante y
cuya imagen sea un intervalo acotado.
16 Dése un ejemplo de una función continua de…nida en un intervalo
abierto y acotado y cuya imagen sea un intervalo cerrado y acotado.
17 Dése un ejemplo de una función continua en [0; 1[ tal que f ([0; 1[)
sea no acotado.
18 Pruébese que si I es un intervalo y f : I ¡!R es una función que
veri…que f (I) ½ Q, entonces f es constante.
19 Sea A un conjunto no vacío de números reales. Supongamos que toda
función continua de A en f0; 1g (es decir cuya imagen esté incluída en el
conjunto f0; 1g) es constante. Pruébese que A es un intervalo.
20 Pruébese que todo polinomio de grado impar admite al menos una
raiz real.
21 Sea f : [0; 1] ¡! [0; 1] una función continua en [0; 1]. Pruébese que
f tiene un único punto …jo: 9x 2 [0; 1] tal que f(x) = x:
22. -Determínese un r 2R + tal que la función polinómica p; dada por
p (x) := x 9¡100x 4+3x 3 ¡2 ;
se anule en, al menos, un punto del intervalo [¡r; r].
23 Determínense los valores del número real k para los cuales la función
p(x) = x3 ¡ 3x + k se anula en algún punto del intervalo [¡1; 1] :
24 Suponiendo que la temperatura varía de manera continua a lo largo del
Ecuador, pruébese que, en cualquier instante, existen dos puntos antípodas
sobre el Ecuador que se hallan a la misma temperatura.
25 Sean f : ]0; 1[ ¡! R y g :R¡! R , de…nidas por:
a) f (x) = x; 8x 2 ]0; 1[
8
>
>
>
>
<
b) g (x) = >
>
>
>
:
x
si x 2 R+
0
1+x
x
si x 2 R¡
1¡x
Compruébese que f y g son continuas y acotadas pero no tienen extremos
absolutos.
4
26 Dése un ejemplo de función continua en un punto x0 ; que no tenga signo constante en ningún entorno ]x0 ¡ ±; x0 + ±[ ; con ± > 0; de dicho
punto.
27 Pruébese que si f :R¡!R es una función continua en cero, entonces
exsite un número real positivo ±; tal que la restricción de f al intervalo [¡±; ±]
está acotada.
28 Sea I un intervalo cerrado y acotado y f : I !R una función continua
en I . Supongamos que existe una sucesión (xn) de puntos de I, tal que
f (xn ) =
1
, 8n 2N .
n
Pruébese que 0 2 f (I) : Muéstrese con ejemplos que la hipótesis de que
el intervalo sea cerrado y acotado no puede suprimirse.
29 Sea f : [¡1; 1] ! R , la función de…nida por:
f (x ) =
x2
1 + x2
8x 2 [¡1; 1]
Determínese la imagen de f.
30 Sea f : [¡1; 1] ¡!R, la función de…nida por
f (x) =
2x
; 8x 2 [¡1; 1] :
1 + jxj
Determínese la imagen de f:
31 Sea f :R¡!R una función continua en R. Pruébese que si la restricción de f a Q es monótona, entonces f es monótona.
32 Sea I un intervalo y f : I ¡!R una función inyectiva. Analícese la
relación entre las siguientes a…rmaciones:
a) f es continua
b) f (I) es un intervalo.
c) f es estrictamente monótona.
d) f ¡1 es continua.
33 Pruébese que si A es un conjunto …nito no vacío de números reales,
toda función de A en R es uniformemente continua.
34 Pruébese que la suma de dos funciones uniformemente continuas es
uniformemente continua.
35 Pruébese que si f y g son funciones uniformemente continuas y acotadas, entonces fg es uniformemente continua. Póngase de mani…esto, con
5
un ejemplo, la necesidad de la condición de acotación de f y g. Basta que lo
esté sólo una de ellas?
36 Sea f : A ¡!R una función real de variable real. Supongamos que
existe un número real positivo k, tal que:
jf (x) ¡ f (y)j · k jx ¡ yj ;
8x; y 2 A:
Pruébese que f es uniformemente continua.
1
37 Compruébese que la función f : R+ ¡!R dada por f (x) =
x
8x 2R+ no es uniformemente continua.
38 Sea f : Q ¡!R, una función uniformemente continua. Pruébese que
existe una función g :R¡!R, uniformemente continua, cuya restricción a Q
coincide con f:
39 Sean a y b números reales con a < b y sea f : ]a; b[ ¡!R una función.
Pruébese que f es uniformemente continua sí, y sólo si, f es la restricción
al intervalo ]a; b[ de una función continua en el intervalo [a; b] :
40 Pruébese la siguiente versión del teorema de Bolzano:
i) Sea f : A¡! R una función continua tal que limx!a+ f (x) < 0 y
limx!b¡ f (x) > 0. Entonces, existe c 2 (a; b) tal que f (c) = 0:
ii) Pruébese que la ecuación tgx = x tiene in…nitas soluciones.
x
41 Pruébese que la función f(x) =
; con x 2R, es uniformemente
1 + x2
continua.
42 Sea A un conjunto no vacío de números reales y sea ® un número
real. Pruébese que ® es un punto de acumulación de A si, y sólo si, existe
una sucesión estrictamente monótona de puntos de A que converge a ®.
43 Sea A un conjunto de números reales no vacío, mayorado y que no
tiene máximo. Pruébese que Sup(A) es un punto de acumulación de A.
44 Determínese el conjunto de puntos de acumulación de cada uno de
los conjuntos siguientes:
a) ;
b)R
c) N
d) Q e)R½¡ Q
f) ]0; 1]
¾
1
g)
:n2N
n
45
Sea f : A ¡!R y ® 2 A0 : Pruébese que f tiene límite en el
punto ® sí, y sólo si, para toda sucesión (an ) de puntos de A, distintos de ®;
6
convergente a ®, la sucesión la sucesión (f (an )) es convergente. ¿Es cierto
el mismo enunciado, pero considerando sólo sucesiones monótonas?.
46 Sea f : A ¡!R y ® 2 A0: Pruébese que las siguientes a…rmaciones
son equivalente:
a) f tiene límite en el punto ®:
b) 8" 2R +, existe ± 2R + : x; y 2 A,
0 < jx ¡ ®j < ±
0 < jy ¡ ®j < ±
=) jf (x) ¡ f (y)j < "
47 Sea f : A ¡!R, ® 2 A0 y supongamos que limx!® f (x) = l 6= 0:
Pruébese que existe un número real positivo ± tal que: x 2 A, 0 < jx ¡ ®j <
±=) lf (x) > 0 : (Otra versión del lema de conservación del signo).
48 Sea f : R ¡!R, ® 2R y consideramos la función g : R ¡!R,
de…nida por g (x) = f (® + x) ¡ f (® ¡ x) para todo x en R . Pruébese
que si f tiene límite en el punto ®, entonces limx!0 g (x) = 0: ¿Es cierto el
recíproco?.
49 Consideremos el conjunto de números reales:
½
¾
1
A=
: n 2 N [ f0g.
n
y sea f : A ¡!R
función. Pruébese que f tiene límite en cero, si y sólo
µ una
µ ¶¶
1
si, la sucesión f
es convergente: Dedúzcase que f es continua en A,
µ ¶ n
1
sí y sólo si, f
¡! f (0) :
n
50 Sea f : ]¡1; 1[ ¡!R , de…nida por:
8
>
>
>
<
1
si ¡1 < x < 0
1
+
x
f (x) = > a
si
x=0
>
>
: 1 + x2 si
0<x <1
¿Tiene f límite en cero? ¿Existe algún valor de a para el cual f sea continua
en cero? ¿Puede extenderse f de manera continua al intervalo ]¡1; 1]? ¿Y
al intervalo [¡1; 1]?
51 Sean a y b números reales con a < b y sea f : ]a; b[ ¡!R una función
continua. Pruébense que las siguientes a…rmaciones son equivalentes:
7
i) f es uniformemente continua
ii) f tiene límite en los puntos a y b.
iii) f admite una extensión continua en el intervalo [a; b] :
52 Sea f : Q ¡!R una función continua y supongamos que f tiene
límite en todo punto de R. Pruébese que f admite una extensión continua a
todo R .
53 Sea f una función continua en R tal que limx!1 f (x) = 0 =
limx!¡1 f (x). Pruébese que f está acotada y que f posee máximo ó mínimo.
54 Sea A = ]Ã; ¡1] [ f0g [ [1; 2[ [ [3; 5] y sea f : A !R la función
de…nida por:
8
>
>
>
>
>
>
>
<
f (x ) = >
>
>
>
>
>
>
:
1
1+x
0
1
1 + x2
E(x)
si
x < ¡1
si x = ¡1
si
x=0
si 1 · x < 2
si 3 · x · 5
Estúdiese la existencia de límites y la continuidad de f clasi…cando sus
discontinuidades.
55 Sea A un conjunto no vacío de números reales y f : A !R una
función monótona. Pruébese que f tiene límites laterales en todo punto de
A donde tenga sentido hablar de tales límites laterales. Por tanto todas las
discontinuidades de una función monótona son evitables o de salto. dedúzcase
que el conjunto de puntos de discontinuidad de una función monótona es
numerable.
56 Sea f : ]0; 1] ¡!R la función de…nida por f (x) = 1=x. Estúdiese si
f es uniformemente continua en ]0; 1] :
57 Demuéstrese que una función uniformemente continua en un subcto
A de R; tb es continua en A.
58 Estudiese la continuidad uniforme de la función f : (0; 1) ! R de…nida por f (x) = senx=x:
59 Sea f : R ¡!R una función. Supongamos que existe un número real
positivo ® tal que f (x) = f (® + x) para todo x en R . Pruébese que si f
tiene límite en +1 ó en ¡1, entonces f es constante.
60 Pruébese que las sucesiones convergentes de números reales son las
funciones de N en R que tienen límite en +1.
8
61 Sea A un conjunto de números reales no mayorado y f : A !R una
función. Probar que f(x) ! ¡1 (x ! +1) , si y solo si, 8k 2R; 9 m 2R
tal que si x 2 A y x > m ) f (x) < k.
62 Enúnciense y demuéstrense caracterizaciones análogas a las del ejercicio anterior para los casos siguientes:
i) f(x) ! +1 (x ! ®; x > ®)
ii) f (x) ! ¡1 (x ! ®)
63 Sea f : [0; 1[ ¡!R , una función continua y supongamos que
f(x) ¡! 1 (x ¡! 1). Pruébese que la imagen de f contiene la semirrecta
cerrada de origen f (0):
64 Sea f : ]0; 1[ !R , de…nida por:
f(x) =
2x ¡ 1
x(x ¡ 1)
8x 2 ]0; 1[
Pruébese que
f(x) ¡! 1 (x ! 0) y f(x) ¡! ¡1 (x ! 1)
y dedúzcase que la imagen de f es todo R.
65 Sea f : R ¡!R una función polinómica no constante. Pruébese que
f diverge en +1 y en ¡1:
66 Sea f : R ¡!R una función polinómica de grado impar. Pruébese
que la imagen de f es todo R.
67 Sean f; g : R ¡!R funciones polinómicas no constantes. Sea
B := fx 2 R : g (x) 6= 0g(Obsérvese que B no está mayorado ni minorado). Estúdiese el comportamiento en +1 y ¡1 de la función racional
f
: B ¡!R .
g
68 Sea f : A ¡! R una función real de variable real, tal que f (x) 6= 0;
para todo x en A. Sea ® un punto de acumulación de A. Pruébese que:
limx!® f (x) = 0 ,
1
(x) ¡! 1
jfj
(x ¡! ®)
69 Estúdiese la existencia y la continuidad de la función inversa f ¡1 de
la función
9
f(x) = (1 +
70
71
a)
b)
c)
d)
72
p
3
x) ;con x ¸ 0.
1 ¡ x3
Idem para la función f(x) =
; x > 0.
x3
Calcúlense
los siguientes límites:
p
3
x¡1
x2 (1 ¡ cos x)
limx!1
e) limx!0
x¡1
sen4 x
2
p
x
¡ 2x
limx!1 ( 4 x4 + 1 ¡ x)
f ) limx!2 2
x ¡ 4x + 4
µ
1 ¡ tg x
1
3 ¶
¼
limx! 4
g) limx!1
¡
cos 2x
1 ¡ x p 1 ¡ x3
p
2 x ¡ senx
x¡ a
limx!0 p
h) limx!a
1 ¡ cos x
x¡a
Calcúlense los siguientes límites:
x2 ¡ 1
2x2 ¡ x ¡ 1
2x ¡ 1
(b) limx!1 2
(x ¡ 1)(x ¡ 4)
senx
(c) limx!1
x
tan x ¡ senx
(d) limx!0
sen 3x
(a) limx!1
x
(e) limx!0+ p
1 ¡ cos x
cos x ¡ cos3 x
(f) limx!0
2
p x
p
1 + senx ¡ 1 ¡ senx
(g) limx!0
x