CONTINUIDAD. Se dice que una función es contínua cuando es posible hacer su gráfica sin separar el lápiz del papel. Esta definición coloquial de continuidad permite establecer una idea intuitiva de su significado. Al obtener el Limxa f x , se busca aproximarse al valor de x=a más no llegar a ese punto, esto es, acercarcarse mucho pero manteniendo x a . Puede ser que el límite de una función exista aún cuando la función no está definida en ese punto. Una función f x es contínua en un número a si se cumplen los siguientes requisitos: f está definida en un intervalo abierto que contiene al número a el Limxa f x existe, y Limxa f x f a Ejemplo 1. Sea la función f x 1 . Determinar si es contínua. x La función no está definida en cero, por lo tanto, existe un intervalo abierto que contiene a 0 en el cual la función NO está definida y, entonces, no es contínua, es discontínua. Ejemplo 2. Sea la función f x 2x3 3x 2 . Determinar si es contínua. Este polinomio está definido para todos los números reales, por lo tanto, lo está para un intervalo abierto cualquiera, sin restringir a un valor particular de a. Se cumple el primer requisito, entonces, hay que analizar el límite a un valor arbitrario a. Limxa f x Limx a 2 x 3 3x 2 2a 3 3a 2 El límite cuando x a existe y su valor es el mismo que la función f x 2x3 3x 2 evaluada en el punto x=a. El polinomio es contínuo. Ejemplo 3. 2 x 3 Sea la función f x x2 3 x0 . Determinar si es contínua. x0 Esta es una función por partes que está definida para todo número real. Hay un cambio de comportamiento en el punto x=0, por lo tanto, habrá que analizar lo que pasa en dicho punto. Dado que el comportamiento a la izquierda y a la derecha de x=0 es diferente, se utilizarán los límites unilaterales. Limx0 f x Limx0 2 x 3 3 Limx0 f x Limx0 x 2 3 3 Dado que los límites unilaterales tienen el mismo resultado, se dice que Limx0 f x 3 . Por lo tanto, el límite cuando x a existe y vale 3. Ahora, falta hallar el valor de la función en el punto x=0, se evalúa y f 0 3 Limx0 f x . Se cumplen los tres requisitos para la continuidad: la función es contínua. Ejemplo 4. 2 x 3 Sea la función f x 7 x2 3 x0 x 0 . Determinar si es contínua. x0 Al igual que en el caso anterior, la función por partes que está definida para todo número real. Hay un cambio de comportamiento en el punto x=0, por lo tanto, habrá que analizar lo que pasa en dicho punto. Dado que el comportamiento a la izquierda y a la derecha de x=0 es diferente, se utilizarán los límites unilaterales. Limx0 f x Limx0 2 x 3 3 Limx0 f x Limx0 x 2 3 3 Dado que los límites unilaterales tienen el mismo resultado, se dice que Limx0 f x 3 . Por lo tanto, el límite cuando x a existe y vale 3. Ahora, falta hallar el valor de la función en el punto x=0, se evalúa y f 0 7 Limx0 f x . No se cumple el tercer requisito de la continuidad: la función es discontinua. Ejemplo 5. x2 Sea la función f x 2 x 3 x 1 . Determinar si es contínua. x 1 La función está definida para todos los reales: se cumple el primer requisito de la continuidad. El cambio de comportamiento de la función es alrededor del punto x=1. Los límites unilaterales dan como resultado Limx1 f x Limx1 2 x 3 2 3 5 Limx1 f x Limx1 x 2 1 Los límites dan diferentes resultados. El límite x 1 no existe, por lo tanto, la función es discontinua. Existen diferentes tipos de discontinuidad. En la discontinuidad de salto los límites unidireccionales existes pero son diferentes. Esto quiere decir que al acercarse al valor de x=a por la derecha se llega a un valor de la función f diferente al que se llega al acercarse por la izquierda. Esto se puede observar en la siguiente figura. a a En la discontinuidad evitable el límite cuando x a existe pero no coincide con el valor de la función en el punto x=a. Puede ser que la función esté o no esté definida en ese punto. a a En la discontinuidad infinita se tiene que la función no está definida para un intervalo abierto que contiene a a, el límite es infinito (como no llega a un número real, se dice que no existe) y, por lo tanto, no se puede cumplir que Limxa f x f a . a Ejemplo 6. Describir el tipo de discontinuidad de los ejemplos 1, 4 y 5. Ejemplo número Función Observaciones y conclusiones 1 1 f x x La función no está definida para ningún intervalo abierto que contenga al punto x=0. El límite cuando x 0 no existe y la función no está 4 2 x 3 f x 7 x2 3 5 x2 f x 2 x 3 x0 x0 x0 x 1 x 1 definida en ese punto. No se cumple ningún requisito de la continuidad. La discontinuidad es infinita. La función está definida para todos los reales; el límite cuando x 0 existe, pero no es igual al valor de la función evaluada en x=0. Esta es una discontinuidad evitable. La función está definida para todos los reales. Los límites unilaterales son diferentes, por lo tanto, el límite no existe. Dado que los límites por derecha e izquierda dan diferentes resultados, la discontinuidad es de salto.