Problemas

LECCIÓN 7: Ecuaciones diferenciales de primer orden: Aplicaciones a la Ingenierı́a Quı́mica
Problema 1 .- Plantea y resuelve los problemas de condiciones iniciales que modelizan
la evolución de la concentración de una sustancia A en las reacciones de primer y segundo
orden con A como único reactante (ver teorı́a). Haz una gráfica aproximada de la función
que da la evolución de la concentración de A. En ambos casos supón que la concentración
inicial de A es [A]0 = a.
Problema 2 .- Demuestra que la ecuación diferencial para la evolución de la concentración de los reactantes en una reacción irreversible de tercer orden (a volumen constante)
de la forma A + 2B → productos con una constante de velocidad k es:
dx
= k(a − x)(b − 2x)2
dt
donde a y b representan las concentraciones iniciales de A y B, respectivamente, y x(t)
expresa la concentración (en moles/ cm3 ) de sustancia que ha reaccionado después de t
minutos. Plantea el correspondiente problema de condiciones iniciales con a = 1 y b = 1,
calcula su solución y haz las gráficas aproximadas de las concentraciones de las sustancias
A y B a lo largo del tiempo.
Problema 3 .- Se denomina reacción autocatalı́tica aquella en la que uno de los productos actúa como catalizador. La reacción autocatalı́tica más sencilla es
A+R→R+R
Para esta reacción la ecuación cinética es:
dCA (t)
= kCA CR
dt
donde CA y CR son las concentraciones de las sustancias A y R. Sabiendo que la suma de
los moles de las especies A y R permanece constante a medida que A va desapareciendo,
y suponiendo que las concentraciones iniciales de A y R son CA (0) = a y CR (0) = r,
plantea y resuelve el correspondiente problema de condiciones iniciales que de la evolución
de la concentración de A en cada instante de tiempo. Haz una gráfica aproximada de las
a+r
a+r
concentraciones de A y R sabiendo que a ≤
. ¿Cuál serı́a la situación si a ≥
?.
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Problema 4 .- Un tanque de 500 litros contiene originalmente 100 litros de agua limpia.
A partir de un instante dado, agua que contiene un 50 % de sustancia contaminante entra
en el tanque a razón de 2 l/min., y la mezcla abandona el tanque a razón de 1 l/min..
Calcula la concentración de la sustancia contaminante cuando se llene el tanque.
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Problema 5 .-Un tanque contiene 240 litros de agua con 12 Kgr de sal disuelta. A partir
de ese momento comienza a entrar en el tanque una solución salina que contiene 00 3 Kgr/l
de sal a razón de 8 l/min, y, al mismo tiempo, la solución bien disuelta y uniformemente
distribuı́da comienza a salir a razón de 10 l/min.
(a) Halla la concentración de sal en el tanque en cualquier instante.
(b) Determina la concentración de sal cuando el depósito contenga 120 litros de agua
salina.
(c) Encuentra la cantidad de lı́quido en el tanque cuando la concentración de sal sea
máxima.
(d) ¿Cuál es la concentración de sal en el tanque en el instante en el que la cantidad
de sal en el tanque es máxima? ¿Cuál es ese instante? ¿Cuál es dicha cantidad de sal
máxima?.
(e) Si la cantidad inicial en el tanque fuera 72 Kgr (en vez de los 12 Kgr considerados
hasta ahora) ¿En qué momento serı́a máxima la cantidad de sal en el tanque? ¿Cuánto
serı́a dicha cantidad?.
Problema 6 .- Aplica la ley de enfriamiento de Newton para resolver el siguiente problema: Un objeto caliente colocado en una estancia que mantiene una temperatura constante
de 20◦ C se enfrı́a en 20 min desde 100◦ hasta 60◦ .¿ Dentro de cuánto tiempo su temperatura descenderá hasta 30◦ ?.
Problema 7 .- Una barra de hierro de 2 cm × 3 cm × 10 cm a una temperatura de
95o C se introduce en un barril de agua a 25o C. El barril es lo suficientemente grande
como para que el aumento de la temperatura del agua sea insignificante a medida que se
enfrı́a la barra de hierro. El coeficiente de transferencia de calor entre el hierro y el agua
es α = 00 050 J/(min·cm2 ·o C) y la capacidad calorı́fica de la barra es c = 00 460 J/(g·o C).
Finalmente, la densidad del hierro es ρ = 7’87 g/cm3 . Se supone que la conducción del
calor en la barra es suficientemente rápida como para que en todo instante la temperatura
de la misma sea igual en todos sus puntos.
(i) Escribe el problema de condiciones iniciales que dé la temperatura de la barra en
todo instante. Hazlo utilizando los dos procedimientos que se mencionan a continuación y comprueba que se obtiene, en ambos casos, la misma ecuación diferencial:
(a) La Ley de enfriamiento de Newton tal y como se expuso en la Lección 1.
(b) Un balance de energı́a calorı́fica para la barra.
(ii) Calcula la temperatura de estado estacionario de la barra; es decir, lı́m T (t). ¿Podrı́as
t→∞
haber obtenido este valor sin necesidad de calcular T (t) explı́citamente?. Explı́calo.
(iii) Halla el tiempo que se requiere para que la temperatura de la barra sea 30o C.
Problema 8 .- Se utiliza un CSTR con un serpentı́n para calentar un solvente cuya
capacidad calorı́fica es 20 30 kJ/(kg ◦ C). A partir de un cierto instante en el que en el tanque
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hay 760 kg de solvente a una temperatura de 25◦ C, se comienza a alimentar el CSTR con
dicho solvente a una temperatura de 25◦ C y a razón de 12 kg/min, y, simultáneamente, se
hace circular por el interior del serpentı́n vapor de agua que lo mantiene constantemente a
una temperatura de 120 ◦ C. El solvente, una vez calentado, abandona el tanque a la misma
velocidad que entra. Suponiendo que α es el coeficiente de transmisión de calor entre el
serpentı́n y el solvente, que A es el área del serpentı́n y que α · A = 110 5 KJ/(min·◦C):
(a) Realiza un balance de energı́a calorı́fica para derivar una ecuación diferencial que
permita expresar la temperatura del solvente a la salida del tanque en cada instante de
tiempo.
(b) ¿Cuál es la temperatura en estado estacionario del solvente?
(c) Calcula el tiempo requerido para que el solvente salga del CSTR a una temperatura
de 50◦ C.
(d) Haz una gráfica aproximada de la evolución de la temperatura del solvente.
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